Zerfallsgesetz und Halbwertszeit
Im Pfahlbau-Museum am Bodensee liegen Holzpfähle, die vor Jahrtausenden eingerammt wurden. Und in der Nuklearmedizin eines Klinikums muss ein Präparat innerhalb eines Tages verwendet werden, weil es sonst „verbraucht“ ist. In beiden Fällen entscheidet derselbe Zusammenhang: Wie schnell nimmt die Zahl radioaktiver Kerne ab, und wie können wir das berechnen? Am Ende dieser Seite können Sie das Alter einer Holzprobe bestimmen.
Das Zerfallsgesetz
Ein einzelner instabiler Atomkern zerfällt zufällig. Sie können nicht vorhersagen, ob er in der nächsten Sekunde oder erst in einer Million Jahren zerfällt. Bei sehr vielen Kernen gilt aber eine feste Regel: In jedem kurzen Zeitabschnitt zerfällt immer derselbe Bruchteil der noch vorhandenen Kerne.
Daraus folgt: Die Abnahme $\Delta N$ in einem kurzen Zeitabschnitt $\Delta t$ ist proportional zur Zahl $N$ der noch vorhandenen Kerne. Mit der nuklidspezifischen Zerfallskonstanten $\lambda$ gilt in differentieller Form
$$\dot{N}(t) = -\lambda \cdot N(t).$$Je mehr Kerne vorhanden sind, desto mehr zerfallen pro Sekunde. Die Lösung dieser Gleichung ist eine Exponentialfunktion.
Im Interaktiv sehen Sie 100 Kerne, die zufällig zerfallen. Starten Sie den Versuch mehrmals: Die Einzelzerfälle schwanken, die Kurve $N(t)$ bleibt im Mittel gleich.
Ein radioaktives Präparat enthält zu Beginn $N_0 = 8,0\cdot 10^{12}$ Atomkerne eines Nuklids mit der Halbwertszeit $T_{1/2} = 6,0\ \text{h}$. a) Berechnen Sie die Anzahl…
Ein radioaktives Präparat enthält zu Beginn $N_0 = 8,0\cdot 10^{12}$ Atomkerne eines Nuklids mit der Halbwertszeit $T_{1/2} = 6,0\ \text{h}$.
- a) Berechnen Sie die Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne nach $18\ \text{h}$.
- b) Berechnen Sie den Anteil der zerfallenen Kerne nach $12\ \text{h}$.
Das Zerfallsgesetz lautet $N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}$ mit $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$. Für Iod-131 beträgt die Halbwertszeit $8,0\ \text{d}$. a) Berechnen Sie die…
Das Zerfallsgesetz lautet $N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}$ mit $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$. Für Iod-131 beträgt die Halbwertszeit $8,0\ \text{d}$.
- a) Berechnen Sie die Zerfallskonstante in $\text{d}^{-1}$.
- b) Berechnen Sie, wie viel Prozent der Kerne nach $24\ \text{d}$ noch vorhanden sind.
Halbwertszeit
Mit $\lambda$ lässt sich schlecht „fühlen“, wie lange ein Nuklid hält. Anschaulicher ist die Halbwertszeit $T_{1/2}$: die Zeit, in der sich die Zahl der noch nicht zerfallenen Kerne halbiert. Sie ist für jedes Nuklid konstant, egal wie viele Kerne gerade vorhanden sind (siehe Diagramm oben: Nach jeder weiteren $T_{1/2}$ halbiert sich der Wert erneut).
Den Zusammenhang erhalten Sie aus $N(T_{1/2}) = \tfrac{1}{2}N_0$:
$$\tfrac{1}{2} = \mathrm{e}^{-\lambda T_{1/2}} \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}.$$Soll die Zeit $t$ aus einem bekannten Restanteil bestimmt werden, lösen Sie nach $t$ auf (Logarithmus):
$$t = \frac{T_{1/2}}{\ln 2}\cdot \ln\frac{N_0}{N(t)}.$$Aktivität
Messen können Sie nicht direkt die Kernzahl, sondern die Zahl der Zerfälle pro Zeit. Diese Größe heißt Aktivität.
Weil $A$ proportional zu $N$ ist, folgt dasselbe Gesetz:
$$A(t) = A_0\cdot \mathrm{e}^{-\lambda t} = A_0\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}.$$Die Aktivität halbiert sich ebenfalls in jeder Halbwertszeit. Aus der Aktivität erhalten Sie die Kernzahl mit $N = A/\lambda$ (λ in $\mathrm{s^{-1}}$ einsetzen!).
Die Aktivität einer Probe beträgt $A_0 = 2,4\cdot 10^6\ \text{Bq}$. Die Halbwertszeit des Nuklids beträgt $30\ \text{min}$. a) Erläutern Sie, was die Einheit Becquerel…
Die Aktivität einer Probe beträgt $A_0 = 2,4\cdot 10^6\ \text{Bq}$. Die Halbwertszeit des Nuklids beträgt $30\ \text{min}$.
- a) Erläutern Sie, was die Einheit Becquerel bedeutet.
- b) Berechnen Sie die Aktivität nach $2,0\ \text{h}$.
In der Nuklearmedizin eines Klinikums wird Technetium-99m ($T_{1/2} = 6,0\ \text{h}$) mit einer Anfangsaktivität von $600\ \text{MBq}$ geliefert. Für eine Untersuchung…
In der Nuklearmedizin eines Klinikums wird Technetium-99m ($T_{1/2} = 6,0\ \text{h}$) mit einer Anfangsaktivität von $600\ \text{MBq}$ geliefert. Für eine Untersuchung benötigt man zum Zeitpunkt der Injektion mindestens $150\ \text{MBq}$.
- a) Berechnen Sie, bis wann nach Lieferung das Präparat verwendbar ist.
- b) Berechnen Sie die Anzahl der zu Beginn vorhandenen Kerne.
- c) Begründen Sie, warum für die Diagnostik ein Nuklid mit kurzer Halbwertszeit gewählt wird.
Messung mit dem Zählrohr
Ein Geiger-Müller-Zählrohr registriert die Teilchen, die in das Rohr gelangen, als Impulse. Die Zählrate (Impulse pro Minute oder Sekunde) ist proportional zur Aktivität der Probe. Die Proportionalitätskonstante hängt von Abstand und Geometrie ab, ändert sich aber während der Messung nicht. Deshalb nimmt die Zählrate mit derselben Halbwertszeit ab wie die Aktivität.
Das Zählrohr zeigt aber auch ohne Probe Impulse an: den Nulleffekt (natürliche Strahlung aus Boden, Baumaterial, Höhenstrahlung usw.). Er muss vor der Auswertung von allen Messwerten abgezogen werden. Nur die Nettozählrate nimmt exponentiell ab, der Nulleffekt dagegen bleibt konstant.
Liegen die Messwerte nicht bei genauen Halbierungen, nutzen Sie ein beliebiges Wertepaar: $T_{1/2} = \dfrac{t\cdot\ln 2}{\ln\frac{N_0}{N(t)}}$. Mitteln Sie über mehrere Wertepaare oder bestimmen Sie $\lambda$ aus der Steigung der Geraden im $\ln$-Diagramm; dann ist $T_{1/2}=\ln 2/\lambda$.
Mit einem Geiger-Müller-Zählrohr wird die Zählrate einer Probe gemessen. Nach Abzug des Nulleffekts ergeben sich: | $t$ in min | 0 | 10 | 20 | 30 | |---|---|---|---|---|…
Mit einem Geiger-Müller-Zählrohr wird die Zählrate einer Probe gemessen. Nach Abzug des Nulleffekts ergeben sich:
| $t$ in min | 0 | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|
| Zählrate in $\text{min}^{-1}$ | 960 | 600 | 375 | 235 |
- a) Bestimmen Sie aus den Messwerten die Halbwertszeit.
- b) Berechnen Sie die zu erwartende Zählrate nach $50\ \text{min}$.
- c) Erklären Sie, warum der Nulleffekt vor der Auswertung abgezogen werden muss.
Zerfallsgleichungen und Zerfallsreihen
Es gibt drei Strahlungsarten: $\alpha$-Strahlung (He-Kerne), $\beta^-$-Strahlung (Elektronen) und $\gamma$-Strahlung (energiereiche Photonen, oft nach einem $\alpha$- oder $\beta$-Zerfall; $Z$ und $A$ ändern sich dabei nicht). Bei jedem $\alpha$- oder $\beta^-$-Zerfall wandelt sich ein Mutternuklid in ein Tochternuklid um. Dabei bleiben die Massenzahl $A$ (Summe der Nukleonen) und die Kernladungszahl $Z$ (Ladung) insgesamt erhalten.
| Zerfall | Teilchen | Änderung des Kerns | Gleichung |
|---|---|---|---|
| $\alpha$ | ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$-Kern | $Z-2$, $A-4$ | ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}\to{}^{A-4}_{Z-2}\mathrm{Y}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}$ |
| $\beta^-$ | $\mathrm{e}^-$ und Antineutrino | $Z+1$, $A$ gleich | ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}\to{}^{A}_{Z+1}\mathrm{Y}+\mathrm{e}^-+\bar{\nu}_\mathrm{e}$ |
Beim $\beta^-$-Zerfall wandelt sich im Kern ein Neutron in ein Proton um: $\mathrm{n}\to\mathrm{p}+\mathrm{e}^-+\bar{\nu}_\mathrm{e}$. Welches Element das Tochternuklid ist, lesen Sie über die Kernladungszahl $Z$ in der Nuklidkarte oder im Periodensystem ab.
Oft ist das Tochternuklid selbst radioaktiv. Es entsteht eine Zerfallsreihe, die erst bei einem stabilen Nuklid endet (bei Uran-238 ist das Blei-206). Die Nuklidkarte zeigt solche Reihen als Treppe: Mit $Z$ nach oben und $N$ nach rechts führt $\alpha$ zwei Schritte nach links und zwei nach unten ($Z-2$, $N-2$), $\beta^-$ einen Schritt nach links oben ($N-1$, $Z+1$).
Die Kernzahl einer Probe der Masse $m$ erhalten Sie aus $N = \dfrac{m}{M}\cdot N_\mathrm{A}$. Beispiel: $1{,}0\ \mathrm{g}$ Radium-226 ($M = 226\ \mathrm{g/mol}$) enthält $N = \dfrac{1{,}0}{226}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 2{,}7\cdot 10^{21}$ Kerne. Mit $\lambda$ erhalten Sie daraus die Aktivität $A=\lambda N$.
Radium-226 ($^{226}{88}\text{Ra}$) zerfällt durch $\alpha$-Zerfall. a) Stellen Sie die Zerfallsgleichung auf (Tochterkern: Radon). b) Berechnen Sie die Anzahl der Atome…
Radium-226 ($^{226}_{88}\text{Ra}$) zerfällt durch $\alpha$-Zerfall.
- a) Stellen Sie die Zerfallsgleichung auf (Tochterkern: Radon).
- b) Berechnen Sie die Anzahl der Atome in $1,0\ \text{g}$ Radium-226 ($M = 226\ \text{g/mol}$, $N_A = 6,02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$).
- c) Berechnen Sie die Aktivität dieser Probe mit $T_{1/2} = 1.600\ \text{a}$ ($1\ \text{a}=3,16\cdot 10^{7}\ \text{s}$).
Altersbestimmung
Weil $T_{1/2}$ unveränderlich ist, wirkt ein radioaktives Nuklid wie eine Uhr. Man misst, wie viel vom Anfangswert noch übrig ist, und rechnet auf die verstrichene Zeit zurück.
Radiokarbonmethode (C-14). In der Atmosphäre entsteht ständig ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$, das Pflanzen als $\mathrm{CO_2}$ aufnehmen. Solange ein Baum lebt, ist der C-14-Anteil im Holz konstant. Nach dem Absterben wird kein neues C-14 mehr aufgenommen, und die Aktivität sinkt mit $T_{1/2} = 5730\ \mathrm{a}$. Geeignet ist das Verfahren für Proben bis etwa $50\,000$ Jahre.
Uran-Blei-Methode. Für sehr alte Gesteine nutzt man Nuklide mit sehr langer Halbwertszeit wie ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ ($4{,}5\cdot 10^9\ \mathrm{a}$).
Die Nuklidkarte zeigt für Kohlenstoff-14 ($^{14}{6}\text{C}$) einen $\beta^-$-Zerfall. a) Stellen Sie die Zerfallsgleichung auf und nennen Sie das Tochternuklid. b) Eine…
Die Nuklidkarte zeigt für Kohlenstoff-14 ($^{14}_{6}\text{C}$) einen $\beta^-$-Zerfall.
- a) Stellen Sie die Zerfallsgleichung auf und nennen Sie das Tochternuklid.
- b) Eine Holzprobe aus einem Pfahlbau am Bodensee hat noch $62\ \%$ der Aktivität lebenden Holzes. Bestimmen Sie das Alter der Probe ($T_{1/2} = 5.730\ \text{a}$).
Die Zerfallsreihe von Uran-238 beginnt mit $^{238}{92}\text{U}\to{}^{234}{90}\text{Th}+\ldots$ Anschließend zerfällt $^{234}{90}\text{Th}$ durch $\beta^-$ zu…
Die Zerfallsreihe von Uran-238 beginnt mit $^{238}_{92}\text{U}\to{}^{234}_{90}\text{Th}+\ldots$ Anschließend zerfällt $^{234}_{90}\text{Th}$ durch $\beta^-$ zu Protactinium und dieses durch $\beta^-$ weiter.
- a) Vervollständigen Sie die drei Zerfallsgleichungen (Kernladungszahl, Massenzahl).
- b) Zeigen Sie, welche Nuklidart nach den drei Schritten entsteht, und vergleichen Sie sie mit dem Ausgangsnuklid.
- c) Ein Uranerz enthält Uran-238 ($T_{1/2}=4,5\cdot10^{9}\ \text{a}$). Es ist noch $87,5\ \%$ des ursprünglichen Urans vorhanden. Berechnen Sie das Alter des Erzes.
Gemische mehrerer Nuklide
Enthält eine Probe zwei verschiedene radioaktive Nuklide A und B, zerfällt jedes unabhängig nach seinem eigenen Gesetz. Die Gesamtaktivität ist die Summe:
$$A_\mathrm{ges}(t) = A_{0,\mathrm{A}}\,\mathrm{e}^{-\lambda_\mathrm{A} t} + A_{0,\mathrm{B}}\,\mathrm{e}^{-\lambda_\mathrm{B} t}.$$Diese Summe ist keine einzelne Exponentialfunktion. Anfangs fällt die Kurve steil (das kurzlebige Nuklid dominiert), später flacher (nur das langlebige bleibt übrig). In einem Diagramm mit logarithmischer Achse für $A$ sieht man einen Knick statt einer Geraden.
Eine Probe enthält zwei Nuklide A und B mit $T_A = 2,0\ \text{h}$ und $T_B = 8,0\ \text{h}$. Zu Beginn haben beide die gleiche Aktivität $A_0 = 100\ \text{kBq}$. a)…
Eine Probe enthält zwei Nuklide A und B mit $T_A = 2,0\ \text{h}$ und $T_B = 8,0\ \text{h}$. Zu Beginn haben beide die gleiche Aktivität $A_0 = 100\ \text{kBq}$.
- a) Berechnen Sie die Gesamtaktivität nach $8,0\ \text{h}$.
- b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Aktivität von A nur noch $10\ \%$ der Aktivität von B beträgt.
- c) Erläutern Sie, warum die Gesamtaktivität nicht mit einer einzigen Halbwertszeit abnimmt.
Auf einen Blick
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Zerfälle sind zufällig, aber bei vielen Kernen gilt statistisch $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ mit $\dot N = -\lambda N$.
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Halbwertszeit: $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ und $N = N_0\cdot(\tfrac{1}{2})^{t/T_{1/2}}$. Nach $n$ Halbwertszeiten bleibt $(\tfrac{1}{2})^n$ übrig.
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Aktivität: $A = \lambda N$ in Bq ($1\ \mathrm{Bq} = 1\ \mathrm{s^{-1}}$). Sie folgt dem gleichen Gesetz wie $N$. Beim Zählrohr zuerst den Nulleffekt abziehen.
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Zerfallsgleichungen: $\alpha$: $Z-2$, $A-4$. $\beta^-$: $Z+1$, $A$ gleich. Summen von $Z$ und $A$ bleiben erhalten.
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Altersbestimmung: $t = \dfrac{T_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{N_0}{N}$. Bei Gemischen addieren sich die Aktivitäten der einzelnen Nuklide.
Zurück zum Anfang: Die C-14-Probe vom Bodensee ist rund $3950$ Jahre alt, und das Präparat in der Nuklearmedizin verliert alle $6$ Stunden die Hälfte seiner Aktivität, daher muss es rasch verwendet werden.