Elektromagnetischer Schwingkreis
Beim Drehen am Abstimmknopf eines alten Radios springt man von WDR 2 zu einem anderen Sender. Im Gerät ändert sich dabei nur die Kapazität eines Kondensators. Warum reicht das, um einen Sender aus Tausenden herauszufiltern? Die Antwort liefert der elektromagnetische Schwingkreis.
Energiependel zwischen Kondensator und Spule
Ein Pendel tauscht ständig potenzielle und kinetische Energie aus. Ein Schwingkreis macht dasselbe mit elektrischer und magnetischer Feldenergie: Ein aufgeladener Kondensator (Kapazität $C$) wird mit einer Spule (Induktivität $L$) verbunden.
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Start: Der Kondensator ist voll geladen, die ganze Energie steckt im elektrischen Feld: $E_\mathrm{el} = \tfrac12 C U_0^2$. Es fließt noch kein Strom.
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Entladung: Der Kondensator entlädt sich über die Spule. Die Spule bremst den Stromanstieg, denn nach dem Induktionsgesetz entsteht eine Gegenspannung. Der Strom wächst allmählich.
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Nach $\tfrac14 T$: Der Kondensator ist leer ($U = 0$), der Strom ist maximal. Die ganze Energie steckt im Magnetfeld der Spule: $E_\mathrm{mag} = \tfrac12 L I_0^2$.
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Weiter: Die Spule hält den Strom aufrecht: Ihre Induktivität $L$ beschreibt, wie stark sie sich gegen Stromänderungen wehrt, denn der sich ändernde Strom induziert in der Spule selbst eine Spannung (Selbstinduktion) und lädt den Kondensator mit umgekehrter Polung wieder auf.
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Nach $\tfrac12 T$: Der Kondensator ist voll geladen, aber umgekehrt gepolt, $I = 0$. Danach läuft alles rückwärts.
Ohne Verluste ist die Gesamtenergie konstant:
$$\tfrac12 C U_0^2 = \tfrac12 L I_0^2 = E_\mathrm{ges}$$Die Animation zeigt das mechanische Analogon, ein Federpendel: Die Induktivität $L$ entspricht der Masse $m$, die Kapazität wirkt wie die Federhärte $k\sim 1/C$. Die Spannung entspricht der Auslenkung, der Strom der Geschwindigkeit.
Ein Kondensator wird aufgeladen und dann mit einer Spule verbunden. Beschreiben Sie qualitativ die Energieumwandlungen während einer vollständigen Schwingung und nennen…
Ein Kondensator wird aufgeladen und dann mit einer Spule verbunden. Beschreiben Sie qualitativ die Energieumwandlungen während einer vollständigen Schwingung und nennen Sie, in welchem Bauteil die Energie jeweils zu Beginn, nach einer Viertelperiode und nach einer halben Periode gespeichert ist.
Die Thomson-Gleichung
Wie schnell pendelt die Energie? Eine große Induktivität bremst den Strom stärker, eine große Kapazität braucht mehr Ladung zum Aufladen. Beides verlängert die Periodendauer. Die Rechnung (Kondensator- und Spulengleichung zusammen) liefert die Thomson-Gleichung:
Das passt zur Anschauung: Vervierfacht man $C$ (oder $L$), so verdoppelt sich $T$ und die Frequenz halbiert sich, denn die Wurzel „halbiert“ den Faktor 4.
Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit $L = 50\ \text{mH}$ und einem Kondensator mit $C = 2,0\ \mu\text{F}$. Berechnen Sie mit der Thomson-Gleichung…
Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit $L = 50\ \text{mH}$ und einem Kondensator mit $C = 2,0\ \mu\text{F}$. Berechnen Sie mit der Thomson-Gleichung $T = 2\pi\sqrt{LC}$ die Periodendauer und die Eigenfrequenz.
Ein Schwingkreis hat die Eigenfrequenz $f = 800\ \text{Hz}$ bei $L = 0,10\ \text{H}$. Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators.
Ein Schwingkreis hat die Eigenfrequenz $f = 800\ \text{Hz}$ bei $L = 0,10\ \text{H}$. Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators.
Ein Radioempfänger enthält einen Schwingkreis mit $L = 2,0\ \mu\text{H}$ und einem Drehkondensator, dessen Kapazität zwischen $50\ \text{pF}$ und $500\ \text{pF}$…
Ein Radioempfänger enthält einen Schwingkreis mit $L = 2,0\ \mu\text{H}$ und einem Drehkondensator, dessen Kapazität zwischen $50\ \text{pF}$ und $500\ \text{pF}$ eingestellt werden kann.
- a) Berechnen Sie den Frequenzbereich, auf den der Schwingkreis abgestimmt werden kann.
- b) Prüfen Sie, ob damit ein Sender mit $f = 10\ \text{MHz}$ empfangen werden kann.
Energie und Stromstärke im ungedämpften Kreis
Aus der Energieerhaltung folgt, wie groß der maximale Strom ist. Zu jedem Zeitpunkt gilt
$$\tfrac12 C U^2 + \tfrac12 L I^2 = \tfrac12 C U_0^2 = \tfrac12 L I_0^2$$Daraus: $I_0 = U_0\sqrt{C/L}$. Wer $U$ und $I$ zu einem Zeitpunkt kennt, bekommt den Rest über die konstante Gesamtenergie.
Ein ungedämpfter Schwingkreis mit $C = 10\ \mu\text{F}$ und $L = 0,25\ \text{H}$ beginnt mit einem geladenen Kondensator, $U_0 = 20\ \text{V}$. a) Berechnen Sie die…
Ein ungedämpfter Schwingkreis mit $C = 10\ \mu\text{F}$ und $L = 0,25\ \text{H}$ beginnt mit einem geladenen Kondensator, $U_0 = 20\ \text{V}$.
- a) Berechnen Sie die Gesamtenergie des Schwingkreises.
- b) Berechnen Sie die maximale Stromstärke, wenn die gesamte Energie im Magnetfeld der Spule steckt ($E=\tfrac12 L I^2$).
- c) Berechnen Sie die Periodendauer.
Ein Schwingkreis wird mit $L = 0,10\ \text{H}$ und $C = 1,0\ \mu\text{F}$ aufgebaut. Der Kondensator wird auf $8,0\ \text{V}$ geladen. a) Berechnen Sie die Eigenfrequenz…
Ein Schwingkreis wird mit $L = 0,10\ \text{H}$ und $C = 1,0\ \mu\text{F}$ aufgebaut. Der Kondensator wird auf $8,0\ \text{V}$ geladen.
- a) Berechnen Sie die Eigenfrequenz und die maximale Stromstärke.
- b) Berechnen Sie die Spannung am Kondensator in dem Moment, in dem die Stromstärke die Hälfte ihres Maximalwerts beträgt.
- c) Begründen Sie, wie sich die Eigenfrequenz ändert, wenn man die Kapazität vervierfacht.
Messung am Oszilloskop
Mit einem Oszilloskop wird $U_C(t)$ sichtbar. Aus mehreren Perioden bestimmt man $T$ genauer: $T = t_\mathrm{ges}/n$. Dauern zehn Schwingungen $6{,}3\,\mathrm{ms}$, so ist $T = 0{,}63\,\mathrm{ms}$ und $f = 1/T \approx 1{,}6\,\mathrm{kHz}$. Mit bekanntem $L$ folgt $C = T^2/(4\pi^2 L)$.
Die Amplitude sinkt dabei meist von Maximum zu Maximum: Die Schwingung ist gedämpft.
Ursache: Jede reale Spule und jede Leitung hat einen ohmschen Widerstand $R$. Ein Teil der Energie wird als Wärme frei ($P = R I^2$), die Gesamtenergie sinkt, also auch die Amplitude. Bei kleinem $R$ bleibt die Eigenfrequenz nahezu unverändert.
Auf dem Oszilloskop wird die Kondensatorspannung eines Schwingkreises mit $L = 40\ \text{mH}$ dargestellt. Zehn volle Schwingungen dauern zusammen $6,3\ \text{ms}$. a)…
Auf dem Oszilloskop wird die Kondensatorspannung eines Schwingkreises mit $L = 40\ \text{mH}$ dargestellt. Zehn volle Schwingungen dauern zusammen $6,3\ \text{ms}$.
- a) Bestimmen Sie Periodendauer und Frequenz.
- b) Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators.
- c) Die Amplitude der Spannung nimmt von Schwingung zu Schwingung ab. Erklären Sie dies.
Dämpfung, Entdämpfung und Anwendungen
Bei Dämpfung nehmen aufeinanderfolgende Amplituden oft um denselben Faktor $q$ ab, bilden also eine geometrische Folge. Mit $10{,}0\,\mathrm{V}$; $8{,}0\,\mathrm{V}$; $6{,}4\,\mathrm{V}$ ist $q = 0{,}80$ in beiden Schritten.
Die Energie ist proportional zum Quadrat der Amplitude ($E\sim U^2$). Pro Periode bleibt also der Anteil $q^2$, hier $0{,}64$. Es gehen $36\,\%$ verloren.
Entdämpfung: Man gleicht die Verluste im richtigen Takt aus. Ein Transistor schaltet im Rhythmus der Schwingung eine Spannungsquelle auf die Spule (Rückkopplung nach Meißner). Die Energie wird immer dann zugeführt, wenn sie zur Bewegung passt (wie Anschubsen einer Schaukel). So entsteht eine ungedämpfte Schwingung konstanter Amplitude, die Grundlage von Sendern.
Radio: Der Drehkondensator ändert $C$ und damit $f_0$. Der Kreis spricht stark auf die Senderfrequenz an, die mit $f_0$ übereinstimmt (Resonanz); andere Sender werden kaum verstärkt.
Plattenkondensator als Sensor: Mit $C = \varepsilon_0\varepsilon_r A/d$ ändert sich $C$ bei anderem Plattenabstand $d$ oder eingeschobenem Dielektrikum. Weil $f_0\sim 1/\sqrt{C}$, ist die Frequenz ein Maß dafür (Näherungs- und Füllstandssensoren).
Ein Experimentator ändert den Abstand der Platten eines Plattenkondensators in einem Schwingkreis von $d_1 = 1,0\ \text{mm}$ auf $d_2 = 4,0\ \text{mm}$. Die Spule bleibt…
Ein Experimentator ändert den Abstand der Platten eines Plattenkondensators in einem Schwingkreis von $d_1 = 1,0\ \text{mm}$ auf $d_2 = 4,0\ \text{mm}$. Die Spule bleibt unverändert, $f_1 = 5,0\ \text{kHz}$.
- a) Berechnen Sie die neue Eigenfrequenz.
- b) Anschließend wird bei $d_2$ eine Glasplatte ($\varepsilon_r = 7,0$) vollständig zwischen die Platten geschoben. Bestimmen Sie die dann auftretende Eigenfrequenz.
- c) Erläutern Sie, wie man diesen Effekt für einen Sensor nutzen könnte.
Ein Schwingkreis wird durch einen Verlustwiderstand gedämpft: Die Kondensatorspannung erreicht in drei aufeinanderfolgenden Maxima (jeweils im Abstand einer Periode) die…
Ein Schwingkreis wird durch einen Verlustwiderstand gedämpft: Die Kondensatorspannung erreicht in drei aufeinanderfolgenden Maxima (jeweils im Abstand einer Periode) die Werte $10,0\ \text{V}$; $8,0\ \text{V}$; $6,4\ \text{V}$.
- a) Zeigen Sie, dass die Amplituden eine geometrische Folge bilden, und geben Sie den Dämpfungsfaktor pro Periode an.
- b) Berechnen Sie, welchen Anteil der Energie der Schwingkreis pro Periode verliert.
- c) Beschreiben Sie, wie man durch periodisches Nachladen mit einer Rückkopplung eine ungedämpfte Schwingung erreicht.
Zurück zum Anfang: Das Radio wählt einen Sender, indem man mit dem Drehkondensator die Kapazität $C$ und damit $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ so einstellt, dass $f_0$ zur Senderfrequenz passt.