Ángulos orientados y circunferencia trigonométrica
Hasta ahora el seno, el coseno y la tangente solo tenían sentido para ángulos agudos, los que caben en un triángulo rectángulo. Pero la rueda de la fortuna del parque de diversiones gira sin parar: una cabina puede recorrer $750°$ y seguir. Y las aspas de un molino de viento pasan por arriba, por abajo y por los lados. ¿Qué altura tiene la cabina después de girar $750°$? Hace falta una definición que funcione para cualquier ángulo, grande, pequeño o negativo. Esa es la circunferencia trigonométrica.
Ángulos de más de una vuelta y ángulos negativos
Un ángulo no tiene por qué quedarse entre $0°$ y $360°$. Si algo sigue girando, el ángulo recorrido puede ser $750°$ o $2\,000°$: cada $360°$ es una vuelta completa. Por convenio, los ángulos se miden desde el semieje positivo de $X$ (el lado inicial), y son positivos si el giro es antihorario y negativos si es horario. El lado donde termina el giro se llama lado terminal.
Para reducir un ángulo $\alpha$ a uno coterminal en $[0°; 360°)$, se divide $\alpha$ entre $360$: el cociente son las vueltas y el resto es el ángulo buscado. Un ángulo negativo se pasa a positivo sumando $360°$ las veces que haga falta.
Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:…
Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:
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$\alpha = 750º$
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$\beta = 1180º$
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$\gamma = 2000º$
Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:…
Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:
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$\alpha = -60º$
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$\beta = -150º$
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$\gamma = -400º$
Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$. ¿Cuántas…
Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$.
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¿Cuántas vueltas completas ha dado la cabina?
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¿Qué ángulo menor de $360º$ describe su posición final respecto a la de partida?
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Si el giro hubiera sido de $1500º$, ¿dónde acabaría la cabina?
La circunferencia trigonométrica: seno y coseno como coordenadas
Dibuja una circunferencia de radio $1$ con centro en el origen. Para cualquier ángulo $\alpha$ medido desde el semieje positivo de $X$, su lado terminal corta a la circunferencia en un único punto $P$. La idea clave: el coseno de $\alpha$ es la abscisa de $P$ y el seno de $\alpha$ es su ordenada.
Para un ángulo agudo esta definición coincide con la del triángulo rectángulo: la hipotenusa es el radio, que mide $1$, así que cateto opuesto entre hipotenusa es directamente la ordenada de $P$. La definición nueva es la misma idea, ampliada.
Como $P$ está en una circunferencia de radio $1$, sus coordenadas cumplen $x^2 + y^2 = 1$, y de ahí sale la identidad fundamental: $\operatorname{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. También se ve que $-1 \le \operatorname{sen}\alpha \le 1$ y $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra…
En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra en la figura.
A la vista de la figura, calcula razonadamente el valor de:
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$\sin 90º$ y $\cos 90º$
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$\sin 180º$ y $\cos 180º$
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$\sin 270º$ y $\cos 270º$
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$\sin 360º$ y $\cos 360º$
Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta: Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$. Si $\sin \alpha > 0$,…
Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta:
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Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$.
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Si $\sin \alpha > 0$, entonces $\alpha$ pertenece al primer cuadrante.
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La tangente de $90º$ no existe.
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$\sin(-40º) = \sin 40º$.
Los cuatro cuadrantes y el signo de las razones
Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, numerados en sentido antihorario desde el semieje positivo de $X$. El cuadrante donde cae el lado terminal decide, sin calcular nada, el signo de las razones: basta mirar el signo de la abscisa y de la ordenada en esa zona.
Si el ángulo es mayor de $360°$ o negativo, primero se busca su coterminal en $[0°; 360°)$ y se mira ese cuadrante.
Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos: $\alpha = 95º$ $\beta = 262º$ $\gamma = 310º$ $\delta = -80º$ $\varepsilon = 500º$
Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos:
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$\alpha = 95º$
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$\beta = 262º$
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$\gamma = 310º$
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$\delta = -80º$
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$\varepsilon = 500º$
Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo: $\sin 130º$…
Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo:
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$\sin 130º$
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$\cos 200º$
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$\tan 320º$
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$\cos 95º$
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$\sin 350º$
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$\tan 140º$
En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes. A la vista de la figura,…
En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes.
A la vista de la figura, indica el signo de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$, justificando cada respuesta a partir de las coordenadas del punto $P$.
Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que: $\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$ $\cos \beta > 0$ y…
Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que:
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$\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$
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$\cos \beta > 0$ y $\sin \beta < 0$
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$\cos \gamma < 0$ y $\tan \gamma < 0$
Indica también el signo de la razón trigonométrica que falta en cada caso.
Ángulos mayores de 90°: el ángulo de referencia
¿Cómo se calcula $\operatorname{sen}135°$ sin calculadora? Se usa el triángulo de referencia: el triángulo rectángulo que forman el lado terminal, la proyección de $P$ sobre el eje $X$ y el propio eje $X$. Su ángulo agudo en el origen es el ángulo de referencia.
Cómo hallarlo: en el cuadrante II, $180° - \alpha$; en el III, $\alpha - 180°$; en el IV, $360° - \alpha$.
En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia. Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$…
En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia.
Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calcula el valor exacto de $\sin 135º$ y de $\cos 135º$, atendiendo al cuadrante en el que está el punto $P$.
Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a…
Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a partir del este (semieje $X$ positivo).
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Expresa el rumbo del velero como un ángulo matemático $\alpha$ entre $0º$ y $360º$.
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Indica en qué cuadrante navega el velero y el signo de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$.
Considera el ángulo $\alpha = 215º$. Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal. Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$. Escribe…
Considera el ángulo $\alpha = 215º$.
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Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal.
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Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$.
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Escribe $\alpha$ como $180º$ más un ángulo agudo, y también como un ángulo negativo comprendido entre $-360º$ y $0º$.
Un alumno ha escrito en su cuaderno la siguiente resolución: > «$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$» Encuentra el error que ha cometido, explica por…
Un alumno ha escrito en su cuaderno la siguiente resolución:
«$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$»
Encuentra el error que ha cometido, explica por qué es un error y calcula correctamente el valor de $\cos 130º$ con la calculadora, con cuatro cifras decimales.
En la figura se han representado dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$, de la circunferencia goniométrica cuyos puntos del lado terminal están a la misma altura. ¿Qué relación…
En la figura se han representado dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$, de la circunferencia goniométrica cuyos puntos del lado terminal están a la misma altura.
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¿Qué relación guardan entre sí los ángulos $\alpha$ y $\beta$? Exprésala con una igualdad.
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Si $\sin \alpha = 0,42$ y $\alpha \approx 25º$, halla otro ángulo de $[0º, 360º)$ que tenga el mismo seno.
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¿Qué relación guardan dos ángulos de $[0º, 360º)$ que tienen el mismo coseno? Razona tu respuesta con la circunferencia goniométrica.
Cuando la tangente no existe, y la identidad fundamental
La tangente es $\tan\alpha = \dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}$. Como toda división, falla cuando el denominador es $0$: si $\cos\alpha = 0$, la tangente no existe. Ocurre cuando el lado terminal cae sobre el eje $Y$.
La tangente vale $0$ cuando el numerador es $0$: si $\operatorname{sen}\alpha = 0$, es decir, en $0°$ y $180°$ (y en $360°$ si se incluye).
Ahora la identidad fundamental permite hallar una razón conociendo otra y el cuadrante.
El punto $P$ de la figura pertenece a la circunferencia goniométrica, está en el tercer cuadrante y verifica $\cos \alpha = -0,8$. ¿Cuál es el signo de $\sin \alpha$? ¿Y…
El punto $P$ de la figura pertenece a la circunferencia goniométrica, está en el tercer cuadrante y verifica $\cos \alpha = -0,8$.
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¿Cuál es el signo de $\sin \alpha$? ¿Y el de $\tan \alpha$?
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Calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ utilizando la identidad fundamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
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Calcula $\tan \alpha$.
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Sea $\beta = \alpha - 180º$. Indica en qué cuadrante está $\beta$ y calcula sus tres razones trigonométricas.
A partir de la definición $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que no existe $\tan \alpha$,…
A partir de la definición $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
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Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que no existe $\tan \alpha$, justificando la respuesta.
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Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que $\tan \alpha = 0$.
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Escribe, usando un número entero $k$ cualquiera, la expresión general de todos los ángulos para los que la tangente no existe.
Vuelve al principio: el giro de $750°$ de la cabina equivale a $2$ vueltas más $30°$, porque $750° = 2\cdot 360° + 30°$. Su altura sobre el centro es $\operatorname{sen}750° = \operatorname{sen}30° = 0{,}5$ veces el radio de la rueda.