Medidas de dispersión
En una cooperativa se envasa arroz en paquetes de $1.000$ g con una desviación estándar de $10$ g, y azúcar en bolsitas de $60$ g con una desviación estándar de $3$ g. ¿Cuál de las dos máquinas es más precisa? En gramos, la del arroz "se equivoca" más (10 g contra 3 g), pero ¿es justo comparar así un paquete de un kilo con una bolsita pequeña? Para decidirlo necesitamos medir la dispersión de manera relativa.
Rango
Dos grupos tienen promedio 7, pero en uno todos sacaron entre 6 y 8, y en el otro entre 2 y 10. La media no distingue entre ambos: hace falta una medida que diga cuánto se dispersan los datos.
Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante una semana de invierno han sido: $12$, $14$, $9$, $11$, $15$, $10$ y $13$ grados Celsius. Calcula el rango de…
Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante una semana de invierno han sido: $12$, $14$, $9$, $11$, $15$, $10$ y $13$ grados Celsius. Calcula el rango de estas temperaturas.
Una tabla de frecuencias agrupa el tiempo de uso diario del teléfono celular en los siguientes intervalos: $[0, 1)$, $[1, 2)$, $[2, 3)$ y $[3, 4)$ horas. Determina el…
Una tabla de frecuencias agrupa el tiempo de uso diario del teléfono celular en los siguientes intervalos: $[0, 1)$, $[1, 2)$, $[2, 3)$ y $[3, 4)$ horas. Determina el rango máximo posible de los datos originales que han sido agrupados en esta tabla.
Rango intercuartílico
Un solo dato muy raro (un sueldo gigante, una nota atípica) estira el rango. Para evitarlo se mide la dispersión solo del "centro" de los datos: el 50 % que queda entre el primer cuartil $Q_1$ y el tercer cuartil $Q_3$.
En un estudio estadístico sobre los salarios mensuales de una empresa, se ha determinado que el primer cuartil es $1200$ dólares y el tercer cuartil es $1800$ dólares.…
En un estudio estadístico sobre los salarios mensuales de una empresa, se ha determinado que el primer cuartil es $1200$ dólares y el tercer cuartil es $1800$ dólares. ¿Cuál es el rango intercuartílico de los salarios?
Determina el rango y el rango intercuartílico de la distribución de puntuaciones representada en el siguiente diagrama de caja y bigotes.
Determina el rango y el rango intercuartílico de la distribución de puntuaciones representada en el siguiente diagrama de caja y bigotes.
Varianza y desviación estándar
Para que todos los datos cuenten, miramos qué tan lejos está cada uno de la media $\bar{x}$. Si promediamos las distancias $x_i - \bar{x}$ directamente, los positivos y los negativos se compensan y da $0$. Por eso se elevan al cuadrado.
Las notas de un alumno en cinco exámenes de matemáticas son $5$, $6$, $7$, $8$ y $9$. Sabiendo que la media aritmética es $7$, calcula la varianza y la desviación típica…
Las notas de un alumno en cinco exámenes de matemáticas son $5$, $6$, $7$, $8$ y $9$. Sabiendo que la media aritmética es $7$, calcula la varianza y la desviación típica de sus calificaciones.
En un estudio estadístico compuesto por $20$ datos, se sabe que la suma de todos los valores es $\sum x_i = 100$ y la suma de sus cuadrados es $\sum x_i^2 = 580$.…
En un estudio estadístico compuesto por $20$ datos, se sabe que la suma de todos los valores es $\sum x_i = 100$ y la suma de sus cuadrados es $\sum x_i^2 = 580$. Calcula la varianza de la distribución.
En un equipo de fútbol, el número de goles marcados por partido a lo largo de una temporada se resume en la siguiente distribución: $0$ goles: $5$ partidos $1$ gol: $8$…
En un equipo de fútbol, el número de goles marcados por partido a lo largo de una temporada se resume en la siguiente distribución:
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$0$ goles: $5$ partidos
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$1$ gol: $8$ partidos
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$2$ goles: $4$ partidos
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$3$ goles: $3$ partidos
Calcula la varianza y la desviación típica del número de goles por partido.
Tablas e intervalos
Cuando los datos vienen en una tabla de frecuencias, cada valor $x_i$ se cuenta $f_i$ veces. Si vienen en intervalos, se usa la marca de clase (el punto medio de cada intervalo) como si fuera el valor de todos los datos del intervalo.
Para un ejemplo con datos sueltos y frecuencias, y para ver cómo se usan las sumas, mira la sección de abajo.
Un histograma es una tabla de intervalos dibujada: la altura de cada barra es la frecuencia $f_i$, y el centro de la base es la marca de clase.
Comparar sin calcular
Dos distribuciones con la misma media: la que tiene los datos más concentrados alrededor de la media tiene menor desviación; la que tiene más datos lejos de la media (colas largas, barras en los extremos) tiene mayor desviación.
El tiempo, en minutos, que tardan varios clientes en ser atendidos en la caja de un supermercado se agrupa en los siguientes intervalos: $[0, 5)$: $4$ clientes…
El tiempo, en minutos, que tardan varios clientes en ser atendidos en la caja de un supermercado se agrupa en los siguientes intervalos:
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$[0, 5)$: $4$ clientes
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$[5, 10)$: $10$ clientes
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$[10, 15)$: $6$ clientes
Halla la varianza y la desviación típica del tiempo de espera.
Calcula la varianza y la desviación típica de los datos representados en el siguiente histograma, sabiendo que el eje horizontal representa la edad en años y el eje…
Calcula la varianza y la desviación típica de los datos representados en el siguiente histograma, sabiendo que el eje horizontal representa la edad en años y el eje vertical el número de personas. Utiliza las marcas de clase para tus cálculos.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Observa los polígonos de frecuencias de las distribuciones A y B representadas en el siguiente gráfico. Ambas distribuciones tienen la misma media aritmética. ¿Cuál de…
Observa los polígonos de frecuencias de las distribuciones A y B representadas en el siguiente gráfico. Ambas distribuciones tienen la misma media aritmética. ¿Cuál de las dos distribuciones presenta mayor desviación típica? Justifica tu respuesta analizando la concentración de los datos respecto a la media, sin necesidad de realizar cálculos numéricos.
Coeficiente de variación
Una desviación de $10$ g es enorme para una bolsita de $60$ g y casi nada para un paquete de $1.000$ g. Para comparar hay que medir la desviación en relación con la media.
El peso medio de un modelo de tornillos fabricado industrialmente es de $15$ gramos, con una desviación típica de $0,45$ gramos. Calcula el coeficiente de variación y…
El peso medio de un modelo de tornillos fabricado industrialmente es de $15$ gramos, con una desviación típica de $0,45$ gramos. Calcula el coeficiente de variación y exprésalo en porcentaje.
En un bosque de pinos, la altura media es de $12$ metros con una desviación típica de $1,5$ metros. En un bosque de robles, la altura media es de $8$ metros con una…
En un bosque de pinos, la altura media es de $12$ metros con una desviación típica de $1,5$ metros. En un bosque de robles, la altura media es de $8$ metros con una desviación típica de $1,2$ metros. ¿Qué especie de árbol presenta una mayor dispersión relativa en su altura?
Dos ciclistas, Ana y Carlos, han registrado sus tiempos (en minutos) en cinco etapas idénticas de entrenamiento: Tiempos de Ana: $45$, $48$, $50$, $46$, $47$ Tiempos de…
Dos ciclistas, Ana y Carlos, han registrado sus tiempos (en minutos) en cinco etapas idénticas de entrenamiento:
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Tiempos de Ana: $45$, $48$, $50$, $46$, $47$
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Tiempos de Carlos: $40$, $55$, $42$, $58$, $41$
Calcula el coeficiente de variación de cada uno de ellos y determina quién es más regular en sus tiempos.
Usar el CV para decidir
Volvamos a la cooperativa del comienzo.
El mismo criterio sirve para comparar el "riesgo" de dos inversiones: el que tiene mayor $CV$ asume más variabilidad por cada unidad de rendimiento promedio.
Por ejemplo, si dos fondos tuvieran el mismo rendimiento medio, el de mayor desviación tendría mayor riesgo relativo.
Una máquina envasadora A produce paquetes de arroz con un peso medio de $500$ gramos y una desviación típica de $5$ gramos. Otra máquina B produce paquetes de lentejas…
Una máquina envasadora A produce paquetes de arroz con un peso medio de $500$ gramos y una desviación típica de $5$ gramos. Otra máquina B produce paquetes de lentejas con un peso medio de $1000$ gramos y una desviación típica de $8$ gramos. Utilizando el coeficiente de variación, determina qué máquina es comparativamente más precisa en su proceso de envasado.
Un inversor está analizando el riesgo de dos fondos de inversión. El fondo Alpha ha obtenido unas rentabilidades anuales del $2\%$, $4\%$, $6\%$ y $8\%$, todas con la…
Un inversor está analizando el riesgo de dos fondos de inversión. El fondo Alpha ha obtenido unas rentabilidades anuales del $2\%$, $4\%$, $6\%$ y $8\%$, todas con la misma frecuencia absoluta. El fondo Beta ha obtenido rentabilidades del $4\%$, $5\%$, $5\%$ y $6\%$. Calcula la desviación típica de cada fondo y explica, utilizando el coeficiente de variación, cuál de los dos asume un mayor riesgo relativo por cada unidad de rentabilidad obtenida.
Transformaciones de los datos
¿Qué pasa con la dispersión si a todos los datos les sumamos algo, o los multiplicamos por un número? Por ejemplo, si todos los precios suben $\$5$, o se pasan las notas de una escala de 0 a 10 a una de 0 a 100 puntos.
La desviación típica de las edades de un grupo de amigos es actualmente de $2,5$ años. Si dentro de $4$ años volvemos a calcular la desviación típica de sus edades,…
La desviación típica de las edades de un grupo de amigos es actualmente de $2,5$ años. Si dentro de $4$ años volvemos a calcular la desviación típica de sus edades, ¿cuál será el nuevo valor? Justifica tu respuesta de forma razonada.
Los precios de un producto tecnológico en varias tiendas de Estados Unidos tienen una desviación estándar de $15$ dólares. Si para un estudio económico convertimos todos…
Los precios de un producto tecnológico en varias tiendas de Estados Unidos tienen una desviación estándar de $15$ dólares. Si para un estudio económico convertimos todos los precios a euros aplicando un tipo de cambio fijo de $0,90$ euros por dólar, ¿cuál será la varianza y la desviación estándar de los precios expresados en euros?
La temperatura en una ciudad se ha medido diariamente en grados Celsius ($C$), obteniéndose una desviación típica de $5^\circ C$. Sabiendo que la relación matemática…
La temperatura en una ciudad se ha medido diariamente en grados Celsius ($C$), obteniéndose una desviación típica de $5^\circ C$. Sabiendo que la relación matemática para convertir grados Celsius a grados Fahrenheit ($F$) es $F = \frac{9}{5}C + 32$, demuestra algebraicamente cuál será la varianza de las temperaturas si todas las mediciones se expresan en grados Fahrenheit y calcula su valor final.
Agregar un dato, corregir un error y juntar grupos
Cuando cambia el conjunto de datos, no hace falta empezar de cero: alcanza con trabajar con las sumas.
Para corregir un error en un dato, se resta de $\sum x_i$ el valor mal anotado y se suma el correcto (y lo mismo con los cuadrados); $N$ no cambia.
Un conjunto estadístico formado por $10$ datos tiene una media aritmética de $5$ y una varianza de $2$. Si se añade a este conjunto un nuevo dato con valor $16$, calcula…
Un conjunto estadístico formado por $10$ datos tiene una media aritmética de $5$ y una varianza de $2$. Si se añade a este conjunto un nuevo dato con valor $16$, calcula la nueva media aritmética y la nueva varianza de los $11$ datos resultantes.
En un preuniversitario, el grupo de 4.º A tiene $20$ alumnos con una nota promedio en estadística de $6$ y una varianza de $1,5$. El grupo de 4.º B tiene $30$ alumnos…
En un preuniversitario, el grupo de 4.º A tiene $20$ alumnos con una nota promedio en estadística de $6$ y una varianza de $1,5$. El grupo de 4.º B tiene $30$ alumnos con una nota promedio también de $6$ y una varianza de $2$. Si se agrupan los alumnos de ambos grupos en un solo conjunto, ¿cuál será la varianza global de los $50$ alumnos?
Al calcular la varianza de un conjunto de $10$ datos se obtuvo un valor de $4$, siendo la media aritmética igual a $5$. Posteriormente, al revisar los registros, se…
Al calcular la varianza de un conjunto de $10$ datos se obtuvo un valor de $4$, siendo la media aritmética igual a $5$. Posteriormente, al revisar los registros, se descubrió que un dato cuyo valor real era $3$ se había anotado por error como $8$. Calcula la varianza correcta de la distribución tras subsanar el error.
Resolver hacia atrás: la fórmula como ecuación
A veces se conocen la media o la varianza y falta un dato o una frecuencia. Entonces las fórmulas se vuelven una ecuación con una variable.
También puedes despejar el tamaño $N$ de la muestra, usando las sumas y la varianza.
En una muestra formada por tres datos, se sabe que dos de ellos son $4$ y $8$. Sabiendo que la media aritmética de los tres datos es $6$, averigua el valor del tercer…
En una muestra formada por tres datos, se sabe que dos de ellos son $4$ y $8$. Sabiendo que la media aritmética de los tres datos es $6$, averigua el valor del tercer dato y calcula la varianza de la muestra.
Una variable estadística discreta toma los valores $0$, $1$ y $2$ con frecuencias absolutas $2$, $k$ y $2$, respectivamente. Sabiendo que la media aritmética de la…
Una variable estadística discreta toma los valores $0$, $1$ y $2$ con frecuencias absolutas $2$, $k$ y $2$, respectivamente. Sabiendo que la media aritmética de la distribución es $1$, plantea una ecuación para determinar el valor de la frecuencia $k$ de modo que la varianza de la distribución sea exactamente $0,5$.
Se ha realizado un estudio estadístico sobre una variable y se sabe que el tamaño de la muestra es $N$. Además, se han obtenido los siguientes valores agregados:…
Se ha realizado un estudio estadístico sobre una variable y se sabe que el tamaño de la muestra es $N$. Además, se han obtenido los siguientes valores agregados: $\sum x_i f_i = 40$ y $\sum x_i^2 f_i = 200$. Si la varianza de la distribución es $4$, determina el tamaño de la muestra $N$.
Volvamos al principio: el $CV$ del arroz es $10/1.000 = 1\,\%$ y el del azúcar es $3/60 = 5\,\%$. La máquina del arroz es más precisa, aunque su desviación en gramos sea mayor.