Sistemas de ecuaciones no lineales
Daniela quiere cercar con $28$ m de alambre el patio rectangular de su casa en Santa Clara, y quiere que tenga $48$ m² de superficie. Hay dos variables y dos ecuaciones, pero una de ellas tiene un producto de incógnitas. Ya no es un sistema lineal, y necesita una estrategia un poco distinta. Al final de la página vas a resolver este patio.
Qué es un sistema no lineal
Resuelve el sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática: $x - y = 2$ $x^2 + y^2 = 34$
Resuelve el sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática:
$x - y = 2$
$x^2 + y^2 = 34$
Resuelve el siguiente sistema: $x^2 - y^2 = 16$ $x + y = 8$
Resuelve el siguiente sistema:
$x^2 - y^2 = 16$
$x + y = 8$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: $x^2 - x \cdot y + y^2 = 7$ $x + y = 5$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$x^2 - x \cdot y + y^2 = 7$
$x + y = 5$
Recta y curva: cuántas soluciones hay
Una ecuación lineal es una recta. Una ecuación como $y=x^2-2x-3$ es una parábola. Resolver el sistema recta–parábola es buscar los puntos donde se cortan. Al sustituir queda una ecuación cuadrática, y su discriminante $\Delta=b^2-4ac$ te dice cuántos cortes hay:
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$\Delta>0$: dos soluciones (la recta corta a la parábola en dos puntos).
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$\Delta=0$: una solución (la recta es tangente).
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$\Delta<0$: ninguna solución real (la recta no la toca).
Muévelo tú: cambia los deslizadores y mira cuántas veces se cruzan.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: $y = x^2 - 4x$ $y = x - 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$y = x^2 - 4x$
$y = x - 6$
Suma y producto, suma de cuadrados
Otra forma de ver lo mismo: $x$ e $y$ son las raíces de $t^2-st+p=0$, donde $s$ es la suma y $p$ el producto. Por eso el primer ejemplo se resolvió con $x^2-15x+56=0$.
Encuentra la solución del sistema: $x + y = 7$ $x \cdot y = 12$
Encuentra la solución del sistema:
$x + y = 7$
$x \cdot y = 12$
La suma de los cuadrados de dos números es $25$, y uno de ellos es $1$ unidad menor que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.
La suma de los cuadrados de dos números es $25$, y uno de ellos es $1$ unidad menor que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simétrico: $x^2 + y^2 = 25$ $x \cdot y = 12$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simétrico:
$x^2 + y^2 = 25$
$x \cdot y = 12$
Cocientes, fracciones y raíces
Cuando el sistema trae cocientes o raíces, primero lo ordenas para que quede algo sencillo de sustituir.
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Cociente: $\frac{x}{y}=3$ equivale a $x=3y$ con $y\neq0$. Ya tienes un despeje listo.
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Fracciones: multiplica por el denominador común. Por ejemplo, $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4$ se transforma, al multiplicar por 6, en $3x+2y=24$.
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Inversos: $\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}$. Si conoces la suma y el inverso de la suma, aparece el producto.
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Raíces: llama $t=\sqrt{x}$ (con $t\ge0$) y resuelve la ecuación en $t$ (ver el recuadro de ampliación más abajo).
Encuentra la solución del sistema: $\frac{x}{y} = 3$ $x^2 - y^2 = 32$
Encuentra la solución del sistema:
$\frac{x}{y} = 3$
$x^2 - y^2 = 32$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ $x \cdot y = 18$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$
$x \cdot y = 18$
Resuelve el siguiente sistema que contiene una ecuación irracional: $x + y = 10$ $\sqrt{x} - y = -4$
Resuelve el siguiente sistema que contiene una ecuación irracional:
$x + y = 10$
$\sqrt{x} - y = -4$
Problemas de geometría: perímetro y área
En rectángulos y rombos, el perímetro suele dar una ecuación lineal y el área, una no lineal. Así se resuelve el patio de Daniela.
El área de una alfombra rectangular es de $6 \text{ m}^2$ y su perímetro mide $10 \text{ m}$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y calcula las dimensiones de…
El área de una alfombra rectangular es de $6 \text{ m}^2$ y su perímetro mide $10 \text{ m}$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y calcula las dimensiones de la alfombra.
El área de un rombo es de $24 \text{ cm}^2$ y la suma de las longitudes de sus diagonales es $14 \text{ cm}$. Determina la longitud de ambas diagonales planteando un…
El área de un rombo es de $24 \text{ cm}^2$ y la suma de las longitudes de sus diagonales es $14 \text{ cm}$. Determina la longitud de ambas diagonales planteando un sistema de ecuaciones.
Pitágoras, áreas combinadas y cilindros
Otras relaciones geométricas que dan ecuaciones no lineales:
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Pitágoras: $a^2+b^2=c^2$ en un triángulo rectángulo.
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Área de un rombo: $\dfrac{D\cdot d}{2}$.
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Área de un cilindro: $2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)$. Si te dan $r+h$, sacar factor común simplifica todo.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $13 \text{ cm}$. Se sabe que uno de los catetos mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones no…
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $13 \text{ cm}$. Se sabe que uno de los catetos mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales para calcular la longitud de los dos catetos.
En un parque se va a construir una zona de juegos rectangular rodeada por un camino de césped artificial de $1 \text{ m}$ de ancho en todo su perímetro. El área de la…
En un parque se va a construir una zona de juegos rectangular rodeada por un camino de césped artificial de $1 \text{ m}$ de ancho en todo su perímetro. El área de la zona de juegos debe ser de $48 \text{ m}^2$ y el área total (zona de juegos más camino) debe ser de $96 \text{ m}^2$. Plantea un sistema de ecuaciones para hallar las dimensiones de la zona de juegos.
Un alambre de $40 \text{ cm}$ de longitud se corta en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro se forma un rectángulo cuya base es el doble…
Un alambre de $40 \text{ cm}$ de longitud se corta en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro se forma un rectángulo cuya base es el doble que su altura. Si la suma de las áreas de ambas figuras es de $48 \text{ cm}^2$, ¿cuánto mide cada trozo de alambre?
Cuotas, reparto y velocidad
Muchos problemas cotidianos llevan a sistemas no lineales. Siempre aparece el mismo tipo de relación: cantidad de personas × lo que paga cada una = total.
El producto de dos números enteros positivos es $156$ y uno de ellos es el consecutivo del otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra dichos números.
El producto de dos números enteros positivos es $156$ y uno de ellos es el consecutivo del otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra dichos números.
Un grupo de estudiantes compra un regalo para un compañero por $120$ dólares, a pagar a partes iguales. A última hora se unen $2$ estudiantes más, lo que hace que cada…
Un grupo de estudiantes compra un regalo para un compañero por $120$ dólares, a pagar a partes iguales. A última hora se unen $2$ estudiantes más, lo que hace que cada uno de los iniciales ponga $3$ dólares menos. ¿Cuántos estudiantes había al principio y cuánto pagaba cada uno?
Una agencia de viajes organiza una excursión por un costo total de $600$ dólares. Poco antes de salir, $5$ personas cancelan su viaje, lo que obliga a los demás a pagar…
Una agencia de viajes organiza una excursión por un costo total de $600$ dólares. Poco antes de salir, $5$ personas cancelan su viaje, lo que obliga a los demás a pagar $4$ dólares más a cada uno para cubrir el costo total. ¿Cuántas personas fueron finalmente a la excursión y cuánto pagó cada una?
Más problemas para plantear
Antes de resolver, define las variables, escribe cada dato como una ecuación y fíjate cuál es lineal. Estos problemas usan las mismas ideas.
La suma de dos números es $15$ y la suma de sus inversos es $\frac{5}{18}$. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.
La suma de dos números es $15$ y la suma de sus inversos es $\frac{5}{18}$. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.
Una parcela rectangular tiene un área de $600 \text{ m}^2$. Si se reduce su largo en $5 \text{ m}$ y se aumenta su ancho en $5 \text{ m}$, el área sigue siendo la misma.…
Una parcela rectangular tiene un área de $600 \text{ m}^2$. Si se reduce su largo en $5 \text{ m}$ y se aumenta su ancho en $5 \text{ m}$, el área sigue siendo la misma. Calcula las dimensiones originales de la parcela.
El producto de las edades de dos hermanos es $96$. Dentro de $4$ años, el producto de sus edades será $192$. ¿Cuáles son sus edades actuales?
El producto de las edades de dos hermanos es $96$. Dentro de $4$ años, el producto de sus edades será $192$. ¿Cuáles son sus edades actuales?
Para los de cifras, velocidad y cilindro:
Un número está formado por dos cifras. El producto de dichas cifras es $18$. Si a ese número se le restan $27$ unidades, se obtiene otro número con las mismas cifras…
Un número está formado por dos cifras. El producto de dichas cifras es $18$. Si a ese número se le restan $27$ unidades, se obtiene otro número con las mismas cifras pero en orden inverso. ¿Cuál es el número original? (Recuerda que un número de dos cifras $xy$ se expresa algebraicamente como $10x + y$).
Un ciclista recorre una distancia de $120 \text{ km}$ a velocidad constante. Si hubiera viajado $5 \text{ km/h}$ más rápido, habría tardado $2$ horas menos en completar…
Un ciclista recorre una distancia de $120 \text{ km}$ a velocidad constante. Si hubiera viajado $5 \text{ km/h}$ más rápido, habría tardado $2$ horas menos en completar el mismo recorrido. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la velocidad del ciclista y el tiempo que tardó.
Un envase cilíndrico cerrado tiene un área total (área lateral más las dos bases) de $150\pi \text{ cm}^2$. Se sabe además que la suma del radio de la base y la altura…
Un envase cilíndrico cerrado tiene un área total (área lateral más las dos bases) de $150\pi \text{ cm}^2$. Se sabe además que la suma del radio de la base y la altura del cilindro es de $15 \text{ cm}$. Calcula el radio y la altura del envase. (Recuerda que el área total de un cilindro es $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$).