Concepto de derivada

La siguiente tabla muestra el número de usuarios registrados en una nueva aplicación para celular durante sus primeros meses tras el lanzamiento:

• Mes 1: $100$ usuarios

• Mes 2: $250$ usuarios

• Mes 3: $500$ usuarios

• Mes 4: $850$ usuarios

• Mes 5: $1300$ usuarios

Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) del número de usuarios entre los meses $2$ y $4$.

Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 2x$, calcular analíticamente su Tasa de Variación Media en el intervalo $[1, 4]$.

Hallar la ecuación de la recta secante a la curva $f(x) = -x^2 + 6x$ que pasa por los puntos de intersección de dicha curva con el eje de abscisas. (Nota: calcular previamente dichos puntos de corte).

Dada la función $f(x) = x^2$, calcular la Tasa de Variación Media en los intervalos $[3; 3,1]$, $[3; 3,01]$ y $[3; 3,001]$. A la vista de los resultados obtenidos, deducir a qué valor numérico tiende la TVM cuando la amplitud del intervalo se acerca a cero y cómo se denomina matemáticamente a dicho valor.

Utilizando la definición de derivada mediante el límite de la Tasa de Variación Media, $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, calcular la derivada de la función $f(x) = x^2 + 3$ en el punto $x=2$.

Calcula la derivada de la función lineal $f(x) = 5x - 7$ en el punto $x=10$ aplicando la definición de derivada mediante límites. ¿Depende el resultado del punto elegido?

Haciendo uso estricto de la definición de derivada mediante el cálculo del límite, encontrar el valor de $f'(1)$ para la función $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$.

Observar la gráfica de la función $f(x)$ y la recta secante trazada entre los puntos de abscisa $x=1$ y $x=3$. Calcular visualmente la Tasa de Variación Media (TVM) en el intervalo $[1, 3]$ utilizando los valores proyectados en los ejes.

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ y su recta tangente en el punto de abscisa $x=2$, determinar el valor de la derivada $f'(2)$.

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ y las tres rectas tangentes dibujadas en los puntos $A$, $B$ y $C$, ordenar los valores de las derivadas $f'(x_A)$, $f'(x_B)$ y $f'(x_C)$ de menor a mayor. Justificar la respuesta basándose en la pendiente geométrica de cada recta tangente.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el punto de abscisa $x=3$. Calcular primero la pendiente utilizando la definición de derivada con límites.

Observar la gráfica de la función $f(x)$ y su recta tangente trazada en el punto de abscisa $x=4$. Escribir la ecuación de la recta tangente y deducir el valor de $f'(4)$. ¿Qué ocurre con el crecimiento de la función exactamente en ese punto?

Sabiendo que la derivada de una función $f(x)$ en el punto $x=4$ es $f'(4) = -2$, indicar razonadamente si la función es creciente o decreciente en dicho punto. Justificar brevemente qué significado geométrico tiene este valor respecto a la recta tangente a la curva en ese punto.

Dada la función $f(x) = -2x^2 + 12x - 5$, determinar si la función es creciente o decreciente en $x=4$, calculando previamente la Tasa de Variación Instantánea en dicho punto mediante la definición de límite.

El vértice de una parábola corresponde al punto donde su recta tangente es estrictamente horizontal (pendiente igual a cero). Utilizando la definición de derivada mediante límites, hallar la coordenada $x$ del vértice de la parábola $f(x) = -2x^2 + 12x - 9$ igualando su derivada a cero.

La posición de un ciclista en una pista recta viene dada por la función $s(t) = 3t^2 + 2t$ (donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos). Calcular la velocidad media del ciclista en el intervalo de tiempo comprendido entre $t=1$ y $t=4$ segundos.

La distancia total recorrida por un ciclista que desciende un puerto de montaña (en metros) en función del tiempo viene dada por la función $e(t) = 150 + 2t + 0,5t^2$ ($t$ en segundos). Calcular la Tasa de Variación Media de la distancia cuando se pasa de $t = 20$ a $t = 30$ segundos e interpretar el significado físico del resultado obtenido (la velocidad media en ese tramo).

Un objeto se deja caer desde lo alto de un edificio. Su altura en metros tras $t$ segundos viene dada por la expresión $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcular la velocidad instantánea del objeto exactamente en el instante $t=2$ segundos utilizando la definición de derivada.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = \frac{6}{x}$ en el punto de abscisa $x=3$. Para ello, calcular previamente la pendiente aplicando la definición de derivada como el límite de la Tasa de Variación Media.

Calcular la derivada de la función con radicales $f(x) = \sqrt{x+5}$ en el punto $x=4$ utilizando la definición de derivada mediante el límite. (Sugerencia: para resolver el límite resultante, multiplica y divide por la expresión conjugada).

El volumen de un cubo en función de la longitud de su arista $x$ viene dado por $V(x) = x^3$. Calcular la tasa de variación instantánea del volumen con respecto a la arista cuando $x=5$ cm, utilizando la definición de límite. Si el error al medir la arista es muy pequeño, ¿cómo afecta proporcionalmente al cálculo del volumen?

El número de seguidores de un canal de videos está dado por la expresión $S(x) = -0,1x^2 + 50x - 1000$, donde $x$ son los días transcurridos desde su lanzamiento. Calcula $S'(200)$ usando estrictamente la definición de derivada mediante límites, e interpreta qué indica este valor sobre el ritmo de crecimiento del canal en ese momento.

Encontrar en qué punto exacto de la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 7$ la recta tangente a la curva es paralela a la recta de ecuación $y = 2x - 5$. Escribir las coordenadas completas $(x, y)$ de dicho punto.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ de la función polinómica $f(x) = ax^2 + bx$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(1, 2)$ y que la pendiente de su recta tangente en $x=1$ es igual a $3$.