Sistemas de ecuaciones lineales
En un taller de La Habana hay carros y motos: 35 vehículos en total y 110 ruedas. Con una sola ecuación y dos variables no alcanza para saber cuántos hay de cada uno, pero el enunciado te da dos datos independientes. Dos ecuaciones con dos variables forman un sistema, y con dos pistas sí hay una respuesta. Vamos a repasar cómo encontrarla.
Qué es un sistema y cómo se comprueba una solución
Para comprobar una solución se reemplaza en las dos ecuaciones: $20+15=35$ ✓ y $4\cdot20+2\cdot15=80+30=110$ ✓. Si cumple solo una, no es solución del sistema.
Comprueba si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales: $3x + 2y = 4$ $x - 4y = 6$
Comprueba si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$3x + 2y = 4$
$x - 4y = 6$
Tres métodos para resolver
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución: $x = 2y + 5$ $3x - 4y = 11$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución:
$x = 2y + 5$
$3x - 4y = 11$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación: $y = 3x - 2$ $y = -x + 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación:
$y = 3x - 2$
$y = -x + 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción: $5x + 3y = 21$ $2x - 3y = 0$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción:
$5x + 3y = 21$
$2x - 3y = 0$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método analítico que consideres más adecuado: $4x - y = 7$ $2x + y = 11$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método analítico que consideres más adecuado:
$4x - y = 7$
$2x + y = 11$
Sistemas que primero hay que ordenar
A veces el sistema trae paréntesis o denominadores. Antes de aplicar un método, lo llevas a la forma $ax+by=c$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente para eliminar los paréntesis: $2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$ $x - 4(y + 2) = -10$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente para eliminar los paréntesis:
$2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$
$x - 4(y + 2) = -10$
Resuelve el siguiente sistema eliminando primero los denominadores: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
Resuelve el siguiente sistema eliminando primero los denominadores:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$
$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, simplificando previamente las expresiones con fracciones y paréntesis:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, simplificando previamente las expresiones con fracciones y paréntesis:
$\frac{3(x - 1)}{2} + \frac{y + 2}{4} = \frac{11}{4}$
$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2}$
Significado gráfico: dos rectas
Cada ecuación lineal es una recta en el plano. La solución del sistema es el punto donde las rectas se cortan, si es que se cortan. Prueba a mover los deslizadores y mira qué pasa con el punto de intersección.
Para graficar a mano, despeja $y$ en cada ecuación, haz una tabla con dos o tres puntos y traza las rectas. Lee las coordenadas del punto de corte y verifícalas en ambas ecuaciones.
Observa la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indica cuál es la solución del sistema y clasifícalo según su número de…
Observa la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indica cuál es la solución del sistema y clasifícalo según su número de soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).
Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales e indica su solución a partir de la gráfica: $x + y = 5$ $2x - y = 4$ Puedes hacerlo en papel y…
Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales e indica su solución a partir de la gráfica:
$x + y = 5$
$2x - y = 4$
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Clasificar sin resolver
Mirando los coeficientes de $\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$ puedes saber cuántas soluciones tiene, sin resolverlo.
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del…
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del gráfico, clasifica el sistema según su número de soluciones y explica qué relación algebraica debe existir entre los coeficientes de ambas ecuaciones para que se dé esta situación.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):…
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):
$kx + 3y = 5$
$4x - 2y = 7$
Determina el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado): $3x - my = 12$ $-6x + 8y = -24$
Determina el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado):
$3x - my = 12$
$-6x + 8y = -24$
Problemas con sistemas lineales
La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el valor de ambos números.
La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el valor de ambos números.
En un taller de reparación de vehículos hay entre carros y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin tener en cuenta las de repuesto),…
En un taller de reparación de vehículos hay entre carros y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin tener en cuenta las de repuesto), hay un total de $110$ ruedas. ¿Cuántos carros y cuántas motos hay en el taller?
En una tienda de electrónica, una laptop y una tableta cuestan juntas $1500$ dólares. Durante la semana de rebajas, aplican un descuento del $15\,\%$ a la laptop y un…
En una tienda de electrónica, una laptop y una tableta cuestan juntas $1500$ dólares. Durante la semana de rebajas, aplican un descuento del $15\,\%$ a la laptop y un $10\,\%$ a la tableta, por lo que el precio conjunto pasa a ser de $1305$ dólares. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el precio original de cada artículo.
Vuelve al principio: en el taller, con $x$ carros e $y$ motos, $x+y=35$ y $4x+2y=110$ dan $20$ carros y $15$ motos.
Sistemas de tres ecuaciones con tres variables
A veces el problema tiene tres datos desconocidos y te dan tres relaciones. Entonces el sistema tiene tres ecuaciones y tres variables $(x; y; z)$. La idea es la misma: reducir hasta quedarte con un sistema de dos ecuaciones con dos variables.
En un taller de reparación de vehículos hay entre carros y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin tener en cuenta las de repuesto),…
En un taller de reparación de vehículos hay entre carros y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin tener en cuenta las de repuesto), hay un total de $110$ ruedas. ¿Cuántos carros y cuántas motos hay en el taller?