Paralelismo y perpendicularidad de rectas
En el plano de La Habana, en el Vedado, hay calles que van en la misma dirección y nunca se cruzan (son paralelas) y otras que se cortan formando esquinas en ángulo recto (son perpendiculares). ¿Se puede saber cuál es cuál sin dibujar el plano? Sí: basta con mirar un dato de cada recta, su pendiente (o su vector director).
La pendiente de una recta
Mueve el deslizador y fíjate en cómo cambia la inclinación:
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 8)$, y deduce a partir de ella cuál sería la pendiente de cualquier recta perpendicular a la…
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 8)$, y deduce a partir de ella cuál sería la pendiente de cualquier recta perpendicular a la misma.
Rectas paralelas
Las rectas horizontales ($y = k$) tienen pendiente $0$, y todas son paralelas entre sí y al eje de abscisas. Las verticales ($x = k$) no tienen pendiente, pero también son paralelas entre sí.
Dadas las rectas $r: y = -2x + 5$ y $s: y = \frac{1}{2}x - 3$, indica razonadamente si son paralelas, perpendiculares o secantes no perpendiculares.
Dadas las rectas $r: y = -2x + 5$ y $s: y = \frac{1}{2}x - 3$, indica razonadamente si son paralelas, perpendiculares o secantes no perpendiculares.
Halla la ecuación explícita de la recta que es paralela a $y = -3x + 2$ y que pasa por el punto $P(0, 5)$.
Halla la ecuación explícita de la recta que es paralela a $y = -3x + 2$ y que pasa por el punto $P(0, 5)$.
Escribe la ecuación general de la recta que es paralela al eje de abscisas (eje X) y pasa por el punto $Q(-3, 8)$.
Escribe la ecuación general de la recta que es paralela al eje de abscisas (eje X) y pasa por el punto $Q(-3, 8)$.
Rectas perpendiculares
En la figura, $m_r = \dfrac{1}{2}$ y $m_s = -2$, y su producto es $-1$.
Una horizontal y una vertical también son perpendiculares, aunque ahí no se aplica el producto $-1$ (la vertical no tiene pendiente).
Escribe la pendiente de una recta que sea paralela y la pendiente de una recta que sea perpendicular a la recta de ecuación $y = 4x - 7$.
Escribe la pendiente de una recta que sea paralela y la pendiente de una recta que sea perpendicular a la recta de ecuación $y = 4x - 7$.
Determina la ecuación punto-pendiente de la recta perpendicular a $y = \frac{2}{5}x - 1$ que pasa por el punto $A(4, 2)$.
Determina la ecuación punto-pendiente de la recta perpendicular a $y = \frac{2}{5}x - 1$ que pasa por el punto $A(4, 2)$.
Un haz láser viaja a lo largo de la recta $y = 3x - 2$. En el punto exacto donde el láser cruza el eje de ordenadas (eje Y), se coloca un espejo perpendicular a la…
Un haz láser viaja a lo largo de la recta $y = 3x - 2$. En el punto exacto donde el láser cruza el eje de ordenadas (eje Y), se coloca un espejo perpendicular a la trayectoria del rayo. Determina la ecuación explícita de la recta que representa al espejo.
Paralelismo y perpendicularidad en forma general
Las rectas del gráfico son $x - 2y + 1 = 0$ y $x - 2y - 5 = 0$, es decir, $y = 0{,}5x + 0{,}5$ e $y = 0{,}5x - 2{,}5$. Tienen los coeficientes de $x$ y de $y$ iguales (en particular proporcionales) y la misma pendiente $0{,}5$: por eso son paralelas.
Comprueba analíticamente si las rectas dadas en forma general $r: 3x - 6y + 2 = 0$ y $s: x - 2y - 5 = 0$ son paralelas.
Comprueba analíticamente si las rectas dadas en forma general $r: 3x - 6y + 2 = 0$ y $s: x - 2y - 5 = 0$ son paralelas.
Determina el valor del parámetro $m$ para que las rectas $r: mx + 4y - 1 = 0$ y $s: 2x - 5y + 8 = 0$ sean perpendiculares.
Determina el valor del parámetro $m$ para que las rectas $r: mx + 4y - 1 = 0$ y $s: 2x - 5y + 8 = 0$ sean perpendiculares.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que la recta $kx - 3y + 6 = 0$ sea paralela a la recta que une los puntos $A(1, 2)$ y $B(4, 11)$.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que la recta $kx - 3y + 6 = 0$ sea paralela a la recta que une los puntos $A(1, 2)$ y $B(4, 11)$.
En el plano de una ciudad, la calle Alcalá sigue la trayectoria de la recta $2x + 5y - 10 = 0$. La calle Goya es perpendicular a ella y pasa por una plaza situada en las…
En el plano de una ciudad, la calle Alcalá sigue la trayectoria de la recta $2x + 5y - 10 = 0$. La calle Goya es perpendicular a ella y pasa por una plaza situada en las coordenadas $P(-2, 3)$. Halla la ecuación general de la calle Goya.
Los lados contiguos de una parcela rectangular se asientan sobre las rectas $r: 2x - 4y + 7 = 0$ y $s: 4x + 2y - 3 = 0$. Comprueba analíticamente que los lados forman un…
Los lados contiguos de una parcela rectangular se asientan sobre las rectas $r: 2x - 4y + 7 = 0$ y $s: 4x + 2y - 3 = 0$. Comprueba analíticamente que los lados forman un ángulo recto. Después, halla la ecuación de una recta paralela a $r$ que pase por el origen de coordenadas.
El diseño del tejado de un pabellón deportivo incluye dos vigas de acero que se cruzan. La viga 1 se apoya en la recta $ax + 3y - 5 = 0$ y la viga 2 en la recta…
El diseño del tejado de un pabellón deportivo incluye dos vigas de acero que se cruzan. La viga 1 se apoya en la recta $ax + 3y - 5 = 0$ y la viga 2 en la recta $2x - by + 4 = 0$. Calcula los valores exactos de $a$ y $b$ sabiendo que las vigas son perpendiculares y que la viga 1 pasa por el punto $P(1, -2)$.
Vector director: ecuaciones paramétrica y continua
Una recta también se puede dar por un punto $P(x_0, y_0)$ y un vector director $\vec{v} = (a, b)$, que marca su dirección.
Un vector director de la recta $r$ es $\vec{v} = (3, -1)$. Escribe un vector director para una recta que sea paralela a $r$ y otro para una recta que sea perpendicular a…
Un vector director de la recta $r$ es $\vec{v} = (3, -1)$. Escribe un vector director para una recta que sea paralela a $r$ y otro para una recta que sea perpendicular a $r$.
Dos aviones vuelan a la misma altitud. La ruta del primer avión viene dada por las ecuaciones paramétricas $x = 1 + 5t$, $y = -2 - 3t$. La ruta del segundo avión es…
Dos aviones vuelan a la misma altitud. La ruta del primer avión viene dada por las ecuaciones paramétricas $x = 1 + 5t$, $y = -2 - 3t$. La ruta del segundo avión es paralela a la del primero y pasa por la torre de control $T(0, 0)$. Escribe las ecuaciones paramétricas de la ruta del segundo avión.
Una tubería principal de riego sigue la recta de ecuación continua $\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{-3}$. Se necesita instalar una tubería secundaria perpendicular a la…
Una tubería principal de riego sigue la recta de ecuación continua $\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{-3}$. Se necesita instalar una tubería secundaria perpendicular a la principal que conecte con un aspersor situado en $S(-1, 5)$. Halla la ecuación continua de esta tubería secundaria.
Dadas las rectas $r: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{k}$ y $s: 3x - 5y + 2 = 0$, determina el valor de $k$ para que sean paralelas. A continuación, calcula el valor de $k$…
Dadas las rectas $r: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{k}$ y $s: 3x - 5y + 2 = 0$, determina el valor de $k$ para que sean paralelas. A continuación, calcula el valor de $k$ para que sean perpendiculares.
La mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento $AB$ es la recta perpendicular a $AB$ que pasa por su punto medio. Es también el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de $A$ y de $B$. Con notación de conjuntos:
$$\operatorname{med}[AB] = \{P : d(P, A) = d(P, B)\}$$Para hallarla con coordenadas combinas dos ideas: el punto medio y la pendiente perpendicular.
En GeoGebra se obtiene con la herramienta Mediatriz, seleccionando los puntos $A$ y $B$.
Halla la ecuación explícita de la mediatriz del segmento de extremos $A(-2, 3)$ y $B(4, 1)$. (Recuerda que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa…
Halla la ecuación explícita de la mediatriz del segmento de extremos $A(-2, 3)$ y $B(4, 1)$. (Recuerda que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio).
Un panel solar está alineado con la recta que pasa por los puntos $P(1, 4)$ y $Q(5, 2)$. Para maximizar la eficiencia, los rayos del sol deben incidir de forma…
Un panel solar está alineado con la recta que pasa por los puntos $P(1, 4)$ y $Q(5, 2)$. Para maximizar la eficiencia, los rayos del sol deben incidir de forma perpendicular sobre el panel. Escribe las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de un rayo de sol que impacta exactamente en el punto medio del panel.
Proyección y distancia a una recta
Muchos problemas piden el punto de una recta que está más cerca de un punto dado. Ese punto es la proyección ortogonal y se obtiene con una perpendicular.
El mismo método sirve para figuras: las alturas de un triángulo son perpendiculares a un lado y pasan por el vértice opuesto, y el ortocentro es el punto donde se cortan. Y para demostrar que un cuadrilátero es un rectángulo compruebas que los lados opuestos son paralelos y los contiguos perpendiculares.
Un barco navega en línea recta siguiendo la trayectoria $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Un faro se encuentra situado en el punto $F(7, 7)$. Calcula la distancia más corta desde…
Un barco navega en línea recta siguiendo la trayectoria $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Un faro se encuentra situado en el punto $F(7, 7)$. Calcula la distancia más corta desde el faro hasta la trayectoria del barco. (Pista: halla la recta perpendicular a $r$ que pasa por $F$, encuentra el punto de corte y calcula la distancia entre ambos puntos).
Halla las coordenadas exactas de la proyección ortogonal del punto $P(3, -2)$ sobre la recta $r: x - 2y + 5 = 0$. (Nota: la proyección ortogonal es el punto de…
Halla las coordenadas exactas de la proyección ortogonal del punto $P(3, -2)$ sobre la recta $r: x - 2y + 5 = 0$. (Nota: la proyección ortogonal es el punto de intersección de la recta $r$ con la recta perpendicular a ella que pasa por $P$).
Calcula las coordenadas exactas del ortocentro (punto de corte de las tres alturas) del triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(2, -5)$.
Calcula las coordenadas exactas del ortocentro (punto de corte de las tres alturas) del triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(2, -5)$.
Demuestra analíticamente que el cuadrilátero cuyos vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(4, 5)$ y $D(0, 3)$ es un rectángulo. Para ello, comprueba las pendientes de sus…
Demuestra analíticamente que el cuadrilátero cuyos vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(4, 5)$ y $D(0, 3)$ es un rectángulo. Para ello, comprueba las pendientes de sus lados y confirma que los ángulos contiguos son rectos.
Dos robots aspiradores se mueven por una sala diáfana. El primero sigue la trayectoria dada por la ecuación $y = \frac{1}{2}x + 2$. El segundo se mueve por una línea…
Dos robots aspiradores se mueven por una sala diáfana. El primero sigue la trayectoria dada por la ecuación $y = \frac{1}{2}x + 2$. El segundo se mueve por una línea perpendicular a la del primero, de forma que ambos chocarían en el punto exacto de corte de la primera trayectoria con el eje de ordenadas (eje Y). Halla la ecuación explícita de la trayectoria del segundo robot y calcula el área del triángulo formado por las trayectorias de ambos robots y el eje de abscisas (eje X).
Vuelve al principio: dos calles son paralelas si sus rectas tienen la misma pendiente (o vectores directores proporcionales), y perpendiculares si el producto de las pendientes es $-1$. No hace falta el plano.