Números irracionales
En la prueba de Matemática, Daniela calcula la diagonal de un cuadrado de lado 1 en la calculadora. Sabes que $\sqrt{4} = 2$ es exacto. Pero, ¿cuánto vale $\sqrt{2}$? La calculadora de Daniela muestra $1{,}4142135\ldots$ y las cifras nunca terminan ni se repiten. No es una limitación de la calculadora: se puede demostrar que $\sqrt{2}$ jamás se podrá escribir como una fracción.
Qué es un número irracional
Ya sabes que todo número racional tiene una expresión decimal exacta o periódica. ¿Qué pasa con los decimales que no son ni lo uno ni lo otro?
Hay tres familias típicas: raíces no exactas ($\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$), constantes como $\pi$ o el número de Euler $e$, y decimales armados a propósito sin período, como $0{,}1010010001\ldots$
Fíjate que $\sqrt{25} = 5$ no es irracional: es una raíz exacta. Y no alcanza con que un decimal tenga infinitas cifras: $0{,}333\ldots$ las tiene y es racional, porque se repite un período.
Clasifica los siguientes números indicando cuáles pertenecen al conjunto de los números irracionales y cuáles no. Justifica tu respuesta basándote en su expresión…
Clasifica los siguientes números indicando cuáles pertenecen al conjunto de los números irracionales y cuáles no. Justifica tu respuesta basándote en su expresión decimal:
- a) $3,14159$
- b) $\sqrt{7}$
- c) $\frac{22}{7}$
- d) $1,1010010001...$
- e) $\sqrt{25}$
Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Todos los números decimales con infinitas cifras son irracionales. b) La raíz cuadrada de cualquier…
Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
- a) Todos los números decimales con infinitas cifras son irracionales.
- b) La raíz cuadrada de cualquier número natural es un número irracional.
- c) El número $\pi$ se puede escribir exactamente como una fracción.
- d) La suma de un número racional y un número irracional siempre es irracional.
Identifica qué patrón siguen las cifras decimales del siguiente número y explica por qué se considera un número irracional: $x = 0,12345678910111213...$
Identifica qué patrón siguen las cifras decimales del siguiente número y explica por qué se considera un número irracional:
$x = 0,12345678910111213...$
La irracionalidad de √2: una demostración
Es una de las demostraciones más antiguas de la matemática y es lectura opcional: no hace falta para resolver los ejercicios. Usa reducción al absurdo: suponemos lo contrario de lo que queremos probar y llegamos a una contradicción.
Considera la sucesión de números formada al escribir ceros y unos de la siguiente manera: empezamos con un $0,1$, luego añadimos un $0$ y un $1$, luego dos $0$ y un $1$,…
Considera la sucesión de números formada al escribir ceros y unos de la siguiente manera: empezamos con un $0,1$, luego añadimos un $0$ y un $1$, luego dos $0$ y un $1$, luego tres $0$ y un $1$, y así sucesivamente hasta el infinito.
El número resultante es $N = 0,101001000100001...$
Analiza la estructura de este número y justifica de forma razonada por qué $N$ pertenece al conjunto de los números irracionales y no puede expresarse como una fracción $\frac{a}{b}$.
Representación en la recta: completitud de ℝ
Aunque $\sqrt{2}$ no sea una fracción, ocupa un punto exacto de la recta: se construye con un triángulo rectángulo y un compás. Por eso decimos que $\sqrt{2}$ es un número, y que su forma exacta de escribirlo es justamente $\sqrt{2}$: cualquier decimal ($1{,}4142$) es solo una aproximación.
Así se ve que en la recta hay puntos que no son racionales. Los racionales son densos (entre dos de ellos siempre hay otro) pero dejan "agujeros"; al sumar los irracionales los agujeros se llenan. Esa propiedad se llama completitud: cada punto de la recta corresponde a un único número real, y cada número real a un único punto.
Para representar el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta numérica utilizando el Teorema de Pitágoras, necesitamos encontrar dos números enteros cuyos cuadrados…
Para representar el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta numérica utilizando el Teorema de Pitágoras, necesitamos encontrar dos números enteros cuyos cuadrados sumen $13$. Indica cuáles son esos dos números y dibuja un boceto mental de cómo formarías el triángulo rectángulo.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Observa la siguiente representación gráfica en la recta numérica. Se ha construido un triángulo rectángulo apoyado sobre el eje horizontal. Calcula el valor exacto de la…
Observa la siguiente representación gráfica en la recta numérica. Se ha construido un triángulo rectángulo apoyado sobre el eje horizontal.
Calcula el valor exacto de la hipotenusa $h$. ¿Qué número irracional representa el punto rojo $X$ sobre la recta numérica?
La famosa "Espiral de Teodoro" se construye dibujando triángulos rectángulos contiguos. El primero tiene catetos de longitud $1$. La hipotenusa de este triángulo sirve…
La famosa "Espiral de Teodoro" se construye dibujando triángulos rectángulos contiguos. El primero tiene catetos de longitud $1$. La hipotenusa de este triángulo sirve como cateto del siguiente, cuyo otro cateto vuelve a medir $1$, y así sucesivamente.
Calcula el valor exacto de las hipotenusas $h_1$, $h_2$ y $h_3$. Siguiendo este patrón lógico, ¿cuál será el valor exacto de la hipotenusa $h_8$ del octavo triángulo? ¿Es racional o irracional?
Raíces exactas y no exactas: $\sqrt{9}$ frente a $x^2 = 9$
No hay que mezclar dos cosas distintas. El símbolo $\sqrt{9}$ es un número: el positivo cuyo cuadrado es $9$, o sea $\sqrt{9} = 3$.
La ecuación $x^2 = 9$ pregunta por todos los números que elevados al cuadrado dan $9$: su conjunto solución es $S = \{3; -3\}$.
De la misma manera, $x^2 = 2$ tiene $S = \{\sqrt{2}; -\sqrt{2}\}$, y $\sqrt{2}$ es solo el positivo.
Operando con irracionales
Las operaciones entre irracionales no siempre dan un irracional: depende de si se "cancelan".
Con racionales mezclados: la suma de un racional y un irracional es siempre irracional (si diera racional, al restar el racional volvería a dar racional, y no lo es).
Tres problemas clásicos:
Calcula el resultado de las siguientes operaciones y clasifica el resultado final como racional o irracional: a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$ c)…
Calcula el resultado de las siguientes operaciones y clasifica el resultado final como racional o irracional:
- a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
- b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
- c) $(\sqrt{5})^2$
- d) $\pi - \pi$
Un campo de fútbol tiene unas dimensiones de $100$ m de largo por $50$ m de ancho. El equipo de mantenimiento necesita trazar una tubería de riego que cruce el campo en…
Un campo de fútbol tiene unas dimensiones de $100$ m de largo por $50$ m de ancho. El equipo de mantenimiento necesita trazar una tubería de riego que cruce el campo en diagonal. Calcula la longitud exacta de la tubería utilizando radicales. ¿Es esta longitud un número racional o irracional? Aproxima el resultado a dos cifras decimales para saber cuántos metros de tubería deben comprar.
En una clase de matemáticas, el profesor propone el siguiente reto: "Si a un número irracional le sumamos otro número irracional, ¿el resultado siempre es irracional?".…
En una clase de matemáticas, el profesor propone el siguiente reto: "Si a un número irracional le sumamos otro número irracional, ¿el resultado siempre es irracional?".
Encuentra dos números irracionales distintos cuya suma sea un número racional entero y demuestra con operaciones algebraicas sencillas que esto es posible.
Valores exactos y aproximados
Cuando hace falta un valor en la práctica (comprar tubería, cortar una plancha) se usa una aproximación. El valor exacto se deja indicado ($\sqrt{5}$, $2\pi$, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$) y solo al final se aproxima con la calculadora.
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Truncar es cortar las cifras sobrantes: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$.
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Redondear es elegir la aproximación más cercana: $\sqrt{11} = 3{,}3166\ldots$ da $3{,}32$ a las centésimas.
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Error absoluto = |valor real − valor aproximado|.
Trunca y redondea el número irracional $\sqrt{11} = 3,31662479...$ a las centésimas y a las milésimas. Organiza los resultados en una tabla.
Trunca y redondea el número irracional $\sqrt{11} = 3,31662479...$ a las centésimas y a las milésimas. Organiza los resultados en una tabla.
El número de oro, representado por la letra griega $\Phi$ (Fi), tiene un valor exacto de $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Utiliza tu calculadora para encontrar su expresión…
El número de oro, representado por la letra griega $\Phi$ (Fi), tiene un valor exacto de $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Utiliza tu calculadora para encontrar su expresión decimal y escribe las primeras seis cifras decimales. ¿Se trata de un número racional o irracional?
En una fábrica de piezas mecánicas, se debe cortar una plancha circular cuyo radio es exactamente de $40$ cm. El torno automático necesita que se introduzca el perímetro…
En una fábrica de piezas mecánicas, se debe cortar una plancha circular cuyo radio es exactamente de $40$ cm. El torno automático necesita que se introduzca el perímetro de la circunferencia para realizar el corte.
- a) ¿Cuál es el perímetro exacto de la pieza?
- b) Si el operario introduce el valor aproximado usando $\pi = 3,14$, ¿cuál es el error absoluto que comete respecto al valor real (usando todas las cifras de $\pi$ en la calculadora)?
Los reales en la recta y su orden
Entre dos números reales cualesquiera hay siempre infinitos racionales e infinitos irracionales. La recta real no tiene huecos: es completa.
Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. Para ello, puedes ayudarte de sus aproximaciones decimales: $3,14$ , $\pi$ , $\sqrt{10}$ , $\frac{22}{7}$ ,…
Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. Para ello, puedes ayudarte de sus aproximaciones decimales:
$3,14$ , $\pi$ , $\sqrt{10}$ , $\frac{22}{7}$ , $3,1416$
La proporción áurea se utiliza a menudo en el arte y la arquitectura. Un marco para un cuadro se ha diseñado de forma que sea un "rectángulo áureo". Si el lado menor del…
La proporción áurea se utiliza a menudo en el arte y la arquitectura. Un marco para un cuadro se ha diseñado de forma que sea un "rectángulo áureo". Si el lado menor del marco mide $20$ cm, el lado mayor debe medir $20 \cdot \Phi$ cm, siendo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Calcula la longitud exacta del lado mayor y su aproximación en centímetros redondeada a las décimas.
Irracionales en problemas
Los irracionales aparecen cuando se usa Pitágoras, el círculo o fórmulas con raíces. Siempre: resuelve con valores exactos y aproxima al final.
El período $T$ (en segundos) de un péndulo simple, es decir, el tiempo que tarda en hacer una oscilación completa, se calcula con la fórmula…
El período $T$ (en segundos) de un péndulo simple, es decir, el tiempo que tarda en hacer una oscilación completa, se calcula con la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda en metros y $g$ es la aceleración de la gravedad ($9,8$ m/s$^2$). Calcula el período exacto de un péndulo de $9,8$ metros de longitud. ¿El resultado es un número racional o irracional?
En el béisbol, las bases forman un cuadrado perfecto de $90$ pies de lado ($27,43$ metros). Cuando el receptor lanza la pelota desde la base de "home" (inicio) hasta la…
En el béisbol, las bases forman un cuadrado perfecto de $90$ pies de lado ($27,43$ metros). Cuando el receptor lanza la pelota desde la base de "home" (inicio) hasta la segunda base para evitar un robo, la pelota cruza el campo en diagonal. Calcula la distancia exacta en metros que recorre la pelota. ¿Es una cantidad racional o irracional?
Una empresa de tecnología está diseñando una nueva pantalla de televisión. Quieren que la relación entre el ancho y el alto sea exactamente $\sqrt{2}$ para que, al…
Una empresa de tecnología está diseñando una nueva pantalla de televisión. Quieren que la relación entre el ancho y el alto sea exactamente $\sqrt{2}$ para que, al dividir la pantalla por la mitad, los dos rectángulos resultantes mantengan la misma proporción (como ocurre con las hojas de papel de tamaño A4). Si la altura de la pantalla va a ser de $50$ cm, ¿cuál debe ser su ancho exacto? Aproxima el resultado a los milímetros.
Para construir un panal artificial, un apicultor diseña celdas con forma de hexágono regular. Sabiendo que el área de un hexágono regular de lado $L$ se calcula con la…
Para construir un panal artificial, un apicultor diseña celdas con forma de hexágono regular. Sabiendo que el área de un hexágono regular de lado $L$ se calcula con la fórmula $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} L^2$, calcula el área exacta de una celda si su lado mide $4$ mm. ¿Se trata de un número racional o irracional?
En el diseño de un logotipo se utiliza un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm, como se muestra en la figura. Sabiendo que en un…
En el diseño de un logotipo se utiliza un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm, como se muestra en la figura.
Sabiendo que en un triángulo equilátero el radio $R$ es el doble de la apotema $a$, calcula el valor exacto de la apotema $a$. Luego, utiliza el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud exacta del lado $L$. Demuestra que el perímetro del triángulo es un número irracional.
Se quiere cercar una parcela circular de $100$ m$^2$ de área y una parcela cuadrada que también tiene $100$ m$^2$ de área. a) Calcula el perímetro exacto de ambas…
Se quiere cercar una parcela circular de $100$ m$^2$ de área y una parcela cuadrada que también tiene $100$ m$^2$ de área.
- a) Calcula el perímetro exacto de ambas parcelas. (Recuerda que el área del círculo es $A = \pi r^2$).
- b) Si la cerca cuesta $15$ dólares el metro, ¿qué parcela será más barata de cercar? Utiliza todos los decimales de tu calculadora para dar el costo exacto en dólares de cada una.
Observa el siguiente cubo de lado $a = 5$ cm. La diagonal de una de sus caras se llama $d$, y la diagonal principal que cruza el cubo por el interior se llama $D$.…
Observa el siguiente cubo de lado $a = 5$ cm. La diagonal de una de sus caras se llama $d$, y la diagonal principal que cruza el cubo por el interior se llama $D$.
Calcula el valor exacto de la diagonal de la base ($d$) y, utilizándola como cateto junto con la altura del cubo, calcula la longitud exacta de la diagonal principal ($D$). ¿Es posible que en un cubo de arista entera su diagonal principal sea un número racional?
En una práctica de laboratorio, la cantidad de producto obtenido en una reacción química, en miligramos, sigue la fórmula $P = 2 \cdot e^t$, donde $t$ es el tiempo en…
En una práctica de laboratorio, la cantidad de producto obtenido en una reacción química, en miligramos, sigue la fórmula $P = 2 \cdot e^t$, donde $t$ es el tiempo en horas y $e$ es el número irracional de Euler ($e \approx 2,71828$).
Calcula la cantidad estimada a las $3$ horas usando el valor de $e$ de tu calculadora. Si por error un alumno usó la aproximación $e = 2,7$, ¿cuántos miligramos de diferencia habrá respecto al cálculo más preciso?
Sabiendo que el área de un círculo es $A = \pi \cdot r^2$, imagina que queremos construir un cuadrado que tenga exactamente la misma área que un círculo de radio $10$…
Sabiendo que el área de un círculo es $A = \pi \cdot r^2$, imagina que queremos construir un cuadrado que tenga exactamente la misma área que un círculo de radio $10$ cm. (Este es el antiguo problema matemático de la cuadratura del círculo).
Halla la expresión exacta de la longitud del lado de ese cuadrado. ¿Es posible medir con una regla graduada en milímetros ese lado de forma exacta en el mundo real? Justifica tu respuesta.
Vuelve al principio: ¿cuánto vale exactamente $\sqrt{2}$? Su valor exacto es el propio $\sqrt{2}$ (la hipotenusa de un triángulo de catetos $1$ y $1$); cualquier decimal como $1{,}4142$ es solo una aproximación.