Repartos proporcionales
Tres amigos, Daniela, Alejandro y Lázaro, ponen dinero para abrir un puesto en el agromercado: $\$15.000$, $\$20.000$ y $\$25.000$. Al final del año hay ganancias. ¿Se reparten en partes iguales? No parece justo: quien puso más debería llevarse más. Eso es un reparto proporcional, y puede ser directo, inverso o con dos criterios a la vez.
Reparto directo e inverso
Con la barra se ve la idea: si se reparten $450$ dólares de forma directa a $2$, $3$ y $4$, hay $9$ partes en total, así que $k = 450 : 9 = 50$ y los tres reciben $100$, $150$ y $200$ dólares.
Reparte la cantidad de $450$ dólares de forma directamente proporcional a los números $2$, $3$ y $4$.
Reparte la cantidad de $450$ dólares de forma directamente proporcional a los números $2$, $3$ y $4$.
Reparte $330$ puntos de forma inversamente proporcional a $1$, $2$ y $3$.
Reparte $330$ puntos de forma inversamente proporcional a $1$, $2$ y $3$.
Tres socios, Nerea, Beatriz y Santiago, invierten $15000$ dólares, $20000$ dólares y $25000$ dólares respectivamente para abrir un negocio. Al cabo de un año, la empresa…
Tres socios, Nerea, Beatriz y Santiago, invierten $15000$ dólares, $20000$ dólares y $25000$ dólares respectivamente para abrir un negocio. Al cabo de un año, la empresa genera un beneficio neto de $14400$ dólares. Calcula qué cantidad de los beneficios le corresponde a cada socio si el reparto se realiza de forma directamente proporcional al capital invertido.
Los repartos y las funciones proporcionales
Los repartos son funciones proporcionales disfrazadas, las mismas que vas a usar en Física y en Química.
En un reparto directo, la parte $y$ que recibe cada uno depende de su coeficiente $x$ así: $y = k \cdot x$. Es una función de proporcionalidad directa: su gráfica es una recta que pasa por el origen, y $k$ es la pendiente. Si el coeficiente se duplica, la parte se duplica.
En un reparto inverso, la parte es $y = \dfrac{k'}{x}$, con $k' = \dfrac{T}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$. Es una función de proporcionalidad inversa: su gráfica es una hipérbola. Si el coeficiente se duplica, la parte se reduce a la mitad.
Un abuelo decide repartir $120$ dólares entre sus tres nietos de $8$, $10$ y $12$ años de forma directamente proporcional a sus edades. Determina la cantidad de dinero…
Un abuelo decide repartir $120$ dólares entre sus tres nietos de $8$, $10$ y $12$ años de forma directamente proporcional a sus edades. Determina la cantidad de dinero que recibe cada uno.
En una competición de atletismo, la organización reparte un premio de $3400$ dólares de forma inversamente proporcional al tiempo que han tardado los tres primeros…
En una competición de atletismo, la organización reparte un premio de $3400$ dólares de forma inversamente proporcional al tiempo que han tardado los tres primeros clasificados en llegar a la meta. Si han cruzado la línea de meta en $12$, $15$ y $20$ minutos respectivamente, determina el premio económico que se lleva cada corredor.
Para llevar a cabo la reforestación de un parque natural, tres municipios aportan diferentes grupos de voluntarios. El municipio A aporta $45$ voluntarios; el B, $60$…
Para llevar a cabo la reforestación de un parque natural, tres municipios aportan diferentes grupos de voluntarios. El municipio A aporta $45$ voluntarios; el B, $60$ voluntarios; y el C, $75$ voluntarios. El gobierno regional les concede una subvención total de $10800$ dólares destinada a la compra de material, a repartir de forma directamente proporcional al número de voluntarios aportados. ¿Qué cantidad recibe cada municipio?
Repartos con fracciones o decimales
Cuando los coeficientes son fracciones o decimales, conviene pasarlos a números enteros proporcionales: el reparto no cambia.
Realiza el reparto de $620$ acciones de forma directamente proporcional a las fracciones $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{5}$.
Realiza el reparto de $620$ acciones de forma directamente proporcional a las fracciones $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{5}$.
En un experimento de laboratorio se debe repartir una muestra de $145$ gramos de un compuesto químico entre tres recipientes de forma inversamente proporcional a las…
En un experimento de laboratorio se debe repartir una muestra de $145$ gramos de un compuesto químico entre tres recipientes de forma inversamente proporcional a las temperaturas a las que se encuentran. Las temperaturas son $\frac{1}{2}$ ºC, $\frac{2}{3}$ ºC y $\frac{3}{4}$ ºC. Calcula la cantidad exacta de compuesto que se depositará en cada recipiente.
Tres tuberías distintas llenan un depósito industrial. La primera tarda $a$ horas, la segunda $b$ horas y la tercera $c$ horas. Se sabe que los tiempos $a$, $b$ y $c$…
Tres tuberías distintas llenan un depósito industrial. La primera tarda $a$ horas, la segunda $b$ horas y la tercera $c$ horas. Se sabe que los tiempos $a$, $b$ y $c$ son directamente proporcionales a los números $2$, $3$ y $4$. Los costos de mantenimiento de las tuberías ascienden a $1300$ dólares y se decide repartirlos de forma inversamente proporcional al tiempo que tarda cada una en llenar el depósito. Halla cuánto se debe pagar de mantenimiento por cada tubería.
Dos criterios combinados
A veces el reparto depende de dos cosas: una directa y otra inversa, o dos fases con criterios distintos.
Cuatro operarios trabajan pintando un edificio. El primero trabaja $5$ días a razón de $6$ horas diarias; el segundo, $4$ días a $8$ horas diarias; el tercero, $6$ días…
Cuatro operarios trabajan pintando un edificio. El primero trabaja $5$ días a razón de $6$ horas diarias; el segundo, $4$ días a $8$ horas diarias; el tercero, $6$ días a $5$ horas diarias y el cuarto, $3$ días a $10$ horas diarias. Si cobran en total $3680$ dólares y deciden repartirlo de forma directamente proporcional al total de horas trabajadas por cada uno, halla cuánto cobrará cada operario.
Un bono de productividad de $2530$ dólares se reparte entre tres empleados de una fábrica. El reparto se realiza de forma directamente proporcional a los años de…
Un bono de productividad de $2530$ dólares se reparte entre tres empleados de una fábrica. El reparto se realiza de forma directamente proporcional a los años de antigüedad en la empresa ($4$, $5$ y $8$ años) e inversamente proporcional al número de días de ausencia durante el año ($2$, $3$ y $4$ días). Calcula la bonificación que recibe cada uno de los empleados.
Una empresa tecnológica reparte $50000$ dólares de beneficios entre tres departamentos en dos fases. En la primera fase, el $40$% del total se reparte de forma…
Una empresa tecnológica reparte $50000$ dólares de beneficios entre tres departamentos en dos fases. En la primera fase, el $40$% del total se reparte de forma directamente proporcional a las horas extra trabajadas: $120$, $150$ y $130$ horas. En la segunda fase, el $60$% restante se reparte de forma inversamente proporcional al número de incidencias técnicas reportadas: $2$, $4$ y $5$ incidencias. Calcula el beneficio total final que recibe cada uno de los tres departamentos sumando ambas fases.
Planteamiento algebraico
Muchas veces falta un dato: se conoce una sola parte, o un número del reparto es una incógnita. Entonces se arma una ecuación con la constante $k$.
En un reparto directamente proporcional a las cantidades $3$, $5$ y $7$, a la primera persona le corresponden $120$ dólares. Calcula la cantidad total que se ha…
En un reparto directamente proporcional a las cantidades $3$, $5$ y $7$, a la primera persona le corresponden $120$ dólares. Calcula la cantidad total que se ha repartido y lo que reciben las otras dos personas.
Se ha repartido una cantidad de dinero de forma inversamente proporcional a las edades de tres hermanos, que son $10$, $15$ y $20$ años. Si se sabe que al hermano de…
Se ha repartido una cantidad de dinero de forma inversamente proporcional a las edades de tres hermanos, que son $10$, $15$ y $20$ años. Si se sabe que al hermano de $15$ años le han correspondido $400$ dólares, halla la cantidad total que se ha repartido y lo que reciben los otros dos hermanos.
Cuando los coeficientes llevan incógnitas
El método es el mismo aunque los coeficientes sean expresiones con $x$ y hasta lo que se reparte sea una expresión: $k = \dfrac{N}{\text{suma de coeficientes}}$. La diferencia es que $k$ queda como una expresión algebraica, y conviene factorizar para simplificar.
Cuando los números del reparto son incógnitas, por ejemplo $x$, $x+1$ y $x+2$, se usa lo que se sabe (la constante $k$, una parte o el total) para armar una ecuación y resolverla. Después se verifica que las soluciones sirvan para el problema, por ejemplo que sean enteros positivos.
Se reparte una cantidad total de $74$ de forma inversamente proporcional a tres números enteros positivos consecutivos: $x$, $x+1$ y $x+2$. Sabiendo que la constante de…
Se reparte una cantidad total de $74$ de forma inversamente proporcional a tres números enteros positivos consecutivos: $x$, $x+1$ y $x+2$. Sabiendo que la constante de proporcionalidad inversa del reparto es $k = 120$:
- a) Plantea la ecuación correspondiente y halla los tres números enteros.
- b) Determina el valor de cada una de las tres partes obtenidas en el reparto.
Reparte la expresión algebraica $N = 6x^2 + 8x$ de forma directamente proporcional a las expresiones $x$, $x+1$ y $x+3$. Expresa las tres partes resultantes en función…
Reparte la expresión algebraica $N = 6x^2 + 8x$ de forma directamente proporcional a las expresiones $x$, $x+1$ y $x+3$. Expresa las tres partes resultantes en función de $x$ y simplifica al máximo los polinomios obtenidos.
Vuelve al principio: para repartir la ganancia del puesto entre los tres socios se hace un reparto directo al capital: cada uno recibe $k \cdot c$, con $k = \dfrac{\text{ganancia}}{15.000 + 20.000 + 25.000}$. Es decir, $15.000 : 20.000 : 25.000$ es lo mismo que $3 : 4 : 5$, y a cada uno le tocan $3$, $4$ y $5$ partes de las $12$ en que se divide la ganancia.