Operaciones con polinomios
Daniela vende pulseras en una feria de La Habana Vieja. Lo que gana por la venta es $I(x) = 300x - 2x^2$ y lo que le cuesta producirlas es $C(x) = 50x + 200$, con $x$ la cantidad de pulseras (en dólares). Su ganancia $B(x) = I(x) - C(x)$ es otro polinomio. Operar con polinomios (sumarlos, multiplicarlos, dividirlos) permite reunir varias fórmulas en una sola, lista para evaluar o descomponer en factores. Al final volvemos a Daniela.
Suma, resta y producto de polinomios
Sumar o restar polinomios es reducir los términos semejantes. El signo menos de una resta afecta a todos los términos del segundo polinomio.
Para multiplicar, cada término del primer polinomio se multiplica por cada término del segundo. Un rectángulo de áreas lo muestra bien.
El valor numérico de un polinomio para $x=a$ se obtiene sustituyendo $x$ por $a$ y calculando, respetando los signos.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ para $x = -2$ y para $x = 1$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ para $x = -2$ y para $x = 1$.
Dados los polinomios $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcula la expresión resultante de realizar la operación $2 \cdot A(x) - B(x)$.
Dados los polinomios $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcula la expresión resultante de realizar la operación $2 \cdot A(x) - B(x)$.
Multiplica los polinomios $P(x) = x^2 - 3x + 2$ y $Q(x) = 2x - 5$. Expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.
Multiplica los polinomios $P(x) = x^2 - 3x + 2$ y $Q(x) = 2x - 5$. Expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.
Productos notables
Hay productos tan frecuentes que conviene reconocerlos sin desarrollar paso a paso. Ahorran tiempo al operar y, leídos al revés, son la primera herramienta para la descomposición factorial.
El cuadrado de lado $a+b$ se parte en un cuadrado $a^2$, otro $b^2$ y dos rectángulos $ab$: de ahí sale el doble producto.
El cubo sale de multiplicar una vez más: $(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)$, y al reducir quedan los coeficientes $1, 3, 3, 1$. En el cubo de una resta los signos se alternan: $+,-,+,-$.
Desarrolla las siguientes expresiones aplicando los productos notables correspondientes: a) $(3x + 4)^2$ b) $(2x - 5)^2$
Desarrolla las siguientes expresiones aplicando los productos notables correspondientes:
- a) $(3x + 4)^2$
- b) $(2x - 5)^2$
Expresa los siguientes binomios como un producto de dos factores utilizando la identidad notable de suma por diferencia: a) $16x^2 - 25$ b) $9x^4 - 49$
Expresa los siguientes binomios como un producto de dos factores utilizando la identidad notable de suma por diferencia:
- a) $16x^2 - 25$
- b) $9x^4 - 49$
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, prestando especial atención a los signos y a los productos notables:…
Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, prestando especial atención a los signos y a los productos notables:
$3(x - 2)^2 - 2(x + 1)(x - 1) + (x + 3)^2$
División de polinomios
Dividir $D(x)$ entre $d(x)$ da un cociente $C(x)$ y un resto $R(x)$ con
$$D(x) = d(x)\cdot C(x) + R(x),$$igual que en la división entera de números. El resto tiene grado menor que el divisor (o es $0$).
Realiza la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el…
Realiza la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$.
Comprueba si el polinomio $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ es divisible por el binomio $(x^2 + 1)$ realizando la división correspondiente. En caso afirmativo, escribe…
Comprueba si el polinomio $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ es divisible por el binomio $(x^2 + 1)$ realizando la división correspondiente. En caso afirmativo, escribe la factorización de $P(x)$ como producto de dos polinomios.
Determina los valores de los coeficientes $m$ y $n$ para que la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + mx^2 + nx - 5$ entre el divisor $d(x) = 2x^2 - x + 3$ sea…
Determina los valores de los coeficientes $m$ y $n$ para que la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + mx^2 + nx - 5$ entre el divisor $d(x) = 2x^2 - x + 3$ sea exacta.
La regla de Ruffini
Cuando el divisor es de la forma $x - a$ hay un atajo: la regla de Ruffini. Se trabaja solo con los coeficientes del dividendo y el número $a$.
Funciona porque en la división común se restaría $-a$ veces el término anterior; usando $a$ en lugar de $-a$ se suma en vertical y hay menos errores de signo.
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escribe el cociente y el resto obtenidos.
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escribe el cociente y el resto obtenidos.
Sabiendo que al dividir un polinomio $P(x)$ entre $(x - 3)$ se obtiene como cociente $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ y como resto $R = -7$, reconstruye el polinomio $P(x)$ y…
Sabiendo que al dividir un polinomio $P(x)$ entre $(x - 3)$ se obtiene como cociente $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ y como resto $R = -7$, reconstruye el polinomio $P(x)$ y exprésalo en su forma desarrollada.
El teorema del resto
¿Por qué? Si $P(x) = (x-a)\,C(x) + R$, con $R$ un número, al sustituir $x=a$ el primer término se anula y queda $P(a)=R$.
Teorema del factor
Si $P(a)=0$, el resto de dividir entre $x-a$ es $0$ y entonces $P(x)=(x-a)\,C(x)$: $x-a$ es un factor de $P$. Vale también al revés: si $x-a$ es factor, $a$ es raíz.
Si un polinomio tiene varias raíces $a$, $b$, $c$, tiene como factores a $(x-a)$, $(x-b)$ y $(x-c)$. Un polinomio de grado $3$ con esas tres raíces es entonces
$$P(x)=k\,(x-a)(x-b)(x-c),$$con $k$ un número (el coeficiente principal) que se determina con otro dato del polinomio, como su valor en un punto.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomio $(x + 2)$ tenga un resto igual a $10$. Utiliza el…
Calcula el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomio $(x + 2)$ tenga un resto igual a $10$. Utiliza el teorema del resto para justificar tu respuesta.
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sea divisible exactamente por $(x - 2)$ y, al mismo tiempo, deje un…
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sea divisible exactamente por $(x - 2)$ y, al mismo tiempo, deje un resto de $-12$ al dividirlo entre $(x + 1)$.
Un polinomio $P(x)$ de grado 3 tiene como raíces $x = 1$, $x = -2$ y $x = 4$. Sabiendo además que el valor numérico del polinomio para $x = 0$ es igual a $16$, encuentra…
Un polinomio $P(x)$ de grado 3 tiene como raíces $x = 1$, $x = -2$ y $x = 4$. Sabiendo además que el valor numérico del polinomio para $x = 0$ es igual a $16$, encuentra la expresión desarrollada de $P(x)$ (es decir, en la forma $ax^3 + bx^2 + cx + d$).
Operaciones combinadas y aplicaciones
Los problemas encadenan varias operaciones: se arma un polinomio con los datos, se simplifica y, si hace falta, se evalúa, se descompone en factores o se divide. En geometría, áreas y volúmenes se arman sumando, restando y multiplicando expresiones de lados.
Cuando intervienen figuras con partes curvas o cuerpos redondos, el número $\pi$ se deja indicado en los coeficientes. Recuerda las fórmulas: el área del círculo es $A=\pi r^2$, la longitud de la circunferencia es $L=2\pi r$ y el volumen del cilindro es $V=\pi r^2 h$.
Esa es la situación de Daniela: sus ganancias quedan resumidas en un solo polinomio, $B(x)=-2x^2+250x-200$, y con él se calcula cuánto gana para cualquier cantidad de pulseras.
Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $(2x + 5)$ metros de largo y $(2x - 5)$ metros de ancho. En su interior se va a construir una fuente cuadrada de lado…
Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $(2x + 5)$ metros de largo y $(2x - 5)$ metros de ancho. En su interior se va a construir una fuente cuadrada de lado $(x - 1)$ metros, y el resto se cubrirá de césped. Expresa el área de la zona de césped como un polinomio en $x$ simplificado.
Se quiere construir una caja de cartón sin tapa a partir de una lámina rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Para ello, se recortan…
Se quiere construir una caja de cartón sin tapa a partir de una lámina rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Para ello, se recortan cuatro cuadrados idénticos de lado $x \text{ cm}$ en cada una de las esquinas y se doblan las solapas hacia arriba. Encuentra el polinomio $V(x)$ que expresa el volumen de la caja resultante en función de $x$.
El costo de producción de $x$ unidades de un dispositivo electrónico viene dado por el polinomio $C(x) = 50x + 200$. El precio de venta al público de cada unidad depende…
El costo de producción de $x$ unidades de un dispositivo electrónico viene dado por el polinomio $C(x) = 50x + 200$. El precio de venta al público de cada unidad depende de la cantidad fabricada y sigue la expresión $p(x) = 300 - 2x$.
Halla el polinomio beneficio $B(x)$, sabiendo que el beneficio es igual a los ingresos totales (cantidad por precio) menos los costos totales. ¿Cuál será el beneficio si se fabrican y venden $40$ unidades?
La altura en metros de una pelota lanzada verticalmente en función del tiempo en segundos viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segunda pelota,…
La altura en metros de una pelota lanzada verticalmente en función del tiempo en segundos viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segunda pelota, lanzada desde otro punto, sigue una trayectoria descrita por $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$.
Encuentra el polinomio $D(t)$ que representa la diferencia de altura entre la primera y la segunda pelota ($D(t) = H(t) - G(t)$). ¿En qué instante $t$ se encuentran ambas pelotas a la misma altura?
Una pista de atletismo está formada por una región rectangular central de largo $3x$ y ancho $2x$, rematada por dos semicírculos en sus extremos de diámetro $2x$.…
Una pista de atletismo está formada por una región rectangular central de largo $3x$ y ancho $2x$, rematada por dos semicírculos en sus extremos de diámetro $2x$. Expresa el área total y el perímetro exterior de la pista como polinomios dependientes de $x$ (deja el número $\pi$ indicado en los coeficientes).
Demuestra algebraicamente que, para cualquier número real $x > 1$, las expresiones $a = x^2 - 1$, $b = 2x$ y $c = x^2 + 1$ forman siempre los lados de un triángulo…
Demuestra algebraicamente que, para cualquier número real $x > 1$, las expresiones $a = x^2 - 1$, $b = 2x$ y $c = x^2 + 1$ forman siempre los lados de un triángulo rectángulo (es decir, cumplen el Teorema de Pitágoras). Comprueba tu resultado evaluando los polinomios para $x = 4$.
Una empresa emergente estima que sus ingresos mensuales siguen el polinomio $I(x) = -2x^3 + 60x^2$ y sus costos de operación son $C(x) = 15x^2 + 400x$, donde $x$ es el…
Una empresa emergente estima que sus ingresos mensuales siguen el polinomio $I(x) = -2x^3 + 60x^2$ y sus costos de operación son $C(x) = 15x^2 + 400x$, donde $x$ es el número de meses transcurridos desde su creación.
Encuentra el polinomio de beneficio $B(x)$. Sabiendo que en el mes $x = 10$ el beneficio es exactamente cero (punto de equilibrio), factoriza el polinomio $B(x)$ para determinar en qué otro mes el beneficio vuelve a ser cero.
Opera y simplifica la siguiente expresión algebraica, factorizando el resultado final si es posible: $\frac{(2x - y)^3 - (2x + y)^3}{-2y}$ A continuación, evalúa el…
Opera y simplifica la siguiente expresión algebraica, factorizando el resultado final si es posible:
$\frac{(2x - y)^3 - (2x + y)^3}{-2y}$
A continuación, evalúa el polinomio resultante para $x = 2$ e $y = -1$.
Un depósito de agua tiene forma cilíndrica con un radio base de $(x + 2)$ metros y una altura de $(2x - 1)$ metros. En su interior se sumerge un bloque cúbico sólido de…
Un depósito de agua tiene forma cilíndrica con un radio base de $(x + 2)$ metros y una altura de $(2x - 1)$ metros. En su interior se sumerge un bloque cúbico sólido de arista $x$ metros. Expresa mediante un polinomio ordenado el volumen de agua necesario para llenar el espacio libre del depósito. Deja la constante $\pi$ indicada en los coeficientes que la requieran.