Conceptos de semejanza y homotecia

Sara tiene dos fotografías de su perro. La primera mide $10 \text{ cm}$ de ancho y $15 \text{ cm}$ de alto. La segunda es una ampliación que mide $20 \text{ cm}$ de ancho y $30 \text{ cm}$ de alto. ¿Son estas dos fotografías figuras semejantes? Justifica tu respuesta comprobando si las dimensiones son proporcionales.

Observa los siguientes pares de rectángulos. Indica, sin realizar cálculos complejos, cuál de ellos no puede ser semejante al original y explica por qué fijándote en su forma.

Lucas ha dibujado un triángulo con ángulos de $40^\circ$, $60^\circ$ y $80^\circ$. Si decide crear un nuevo triángulo semejante duplicando la medida de todos sus lados, ¿cuánto medirán los ángulos del nuevo triángulo? Explica qué ocurre con los ángulos de dos figuras cuando son semejantes.

Calcula la razón de semejanza $k$ que convierte al rectángulo $A$ en el rectángulo $B$, sabiendo que el lado menor de $A$ mide $4 \text{ cm}$ y el lado menor de $B$ mide $12 \text{ cm}$. ¿Se trata de una ampliación o de una reducción?

Un logotipo tiene forma de pentágono regular con un lado de $3 \text{ cm}$. Para la fachada de una tienda, se fabrica un logotipo semejante con una razón de semejanza $k = 15$. ¿Cuánto medirá el lado del nuevo logotipo?

Dibuja en una cuadrícula una letra "L" que ocupe $2$ cuadraditos de ancho y $4$ de alto. A continuación, dibuja a su lado otra letra "L" que sea semejante pero con una razón de semejanza $k = 0,5$. ¿Cuántos cuadraditos de alto tendrá la nueva figura?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un ilustrador está diseñando dos versiones de un mismo logotipo rectangular. El logotipo original tiene unas dimensiones de $12\text{ cm}$ de largo y $8\text{ cm}$ de ancho. Si quiere crear una versión ampliada que sea semejante y cuyo largo mida $30\text{ cm}$:

1. Calcula la razón de semejanza $k$ de la ampliación.

2. Determina el ancho del nuevo logotipo.

3. Si el perímetro del logotipo pequeño es de $40\text{ cm}$, ¿cuál será el perímetro del grande? Utiliza la relación entre perímetros de figuras semejantes para comprobarlo.

Si tenemos dos polígonos semejantes con una razón de semejanza $k = 2,5$, y el perímetro del polígono pequeño es de $20 \text{ cm}$, ¿cuál será el perímetro del polígono mayor? Recuerda la relación que existe entre la razón de semejanza y los perímetros.

Disponemos de dos envases de jugo cilíndricos que son semejantes. El envase pequeño tiene una altura de $10\text{ cm}$ y una capacidad de $250\text{ ml}$. El envase grande tiene una altura de $20\text{ cm}$.

1. ¿Cuál es la razón de semejanza $k$ entre el envase grande y el pequeño?

2. Calcule la capacidad (volumen) del envase grande en litros. Recuerde la relación entre la razón de semejanza y el volumen de cuerpos semejantes.

3. Si el área de la base del pequeño es de $25\text{ cm}^2$, ¿cuál será el área de la base del grande?

Dos pentágonos regulares son semejantes. El perímetro del primero es de $75 \text{ cm}$. Se sabe que el área del segundo es $1,44$ veces el área del primero.

1. a) Determina la razón de semejanza $k$ entre el segundo pentágono y el primero.
2. b) Calcula el perímetro del segundo pentágono.
3. c) Si la apotema del primer pentágono mide $10,32 \text{ cm}$, ¿cuánto medirá el radio de la circunferencia circunscrita del segundo pentágono? (Redondea a dos decimales).

En la pantalla de su celular, Marcos ve un mapa a una escala determinada. Si la razón de semejanza entre el mapa de la pantalla y la realidad es $k = \frac{1}{5000}$, indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

• a) El mapa es una reducción de la realidad.

• b) $1 \text{ cm}$ en el mapa representa $5000 \text{ cm}$ en la realidad.

• c) Los ángulos entre las calles cambian en el mapa para que puedan caber en la pantalla.

Un arquitecto ha dibujado el plano de una habitación a escala 1:50. En el plano, la habitación es un rectángulo de $12\text{ cm}$ de largo por $8\text{ cm}$ de ancho.

1. Calcula las dimensiones reales de la habitación en metros.

2. El arquitecto quiere colocar una alfombra que ocupa $6\text{ m}^2$ en la realidad. ¿Qué área ocupará dicha alfombra en el plano (en $\text{cm}^2$)?

3. Si decidiera cambiar la escala a 1:100, ¿cómo variarían las medidas del dibujo respecto al plano anterior?

Una maqueta de un rascacielos hecha a escala $1:250$ tiene un volumen de $320 \text{ cm}^3$ y su base tiene una superficie de $20 \text{ cm}^2$.

1. a) Calcule la altura real del rascacielos en metros.
2. b) Si el edificio real se va a recubrir con paneles de vidrio que cuestan $60\,000$ colones el metro cuadrado, calcule el costo total de recubrir la fachada (superficie lateral), sabiendo que el rascacielos tiene forma de prisma recto y que la maqueta tiene una superficie lateral de $180 \text{ cm}^2$.

Una empresa de perfumes lanza dos formatos de su frasco estrella, que tienen forma de pirámide cuadrangular semejante. El frasco "Grande" tiene una base de superficie $144 \text{ cm}^2$ y una altura de $15 \text{ cm}$. El frasco "Mini" ha sido diseñado para que su superficie total de cristal sea exactamente la novena parte de la superficie del frasco "Grande". Si el costo del perfume es de $125$ colones por cada $\text{cm}^3$, calcule la diferencia de precio entre el contenido de ambos frascos.

Un plano de una vivienda está dibujado a escala $1:75$. En dicho plano, la cocina tiene una forma rectangular de $4 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$. El propietario quiere reformar el suelo con baldosas cuadradas de $40 \text{ cm}$ de lado.

1. a) Calcula la superficie real de la cocina en metros cuadrados.
2. b) ¿Cuántas baldosas completas se necesitan, como mínimo, para cubrir el suelo de la cocina real? (Ten en cuenta que los recortes de las baldosas se pueden aprovechar, pero solo se pueden comprar baldosas enteras).

Determina si los siguientes pares de triángulos son semejantes e indica qué criterio de semejanza has utilizado en cada caso:

• Caso A: El triángulo 1 tiene ángulos de $40^\circ$ y $75^\circ$. El triángulo 2 tiene ángulos de $75^\circ$ y $65^\circ$.

• Caso B: El triángulo 1 tiene lados de $6\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. El triángulo 2 tiene lados de $8\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ y $16\text{ cm}$.

• Caso C: Ambos triángulos tienen un ángulo de $50^\circ$. En el primero, los lados que forman ese ángulo miden $4\text{ cm}$ y $7\text{ cm}$. En el segundo, miden $8\text{ cm}$ y $14\text{ cm}$.

Dos triángulos, $ABC$ y $A'B'C'$, están en posición de Tales. El triángulo pequeño tiene lados que miden $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 6\text{ cm}$ y $AC = 4\text{ cm}$. Si el lado correspondiente $AB'$ del triángulo mayor mide $12,5\text{ cm}$:

1. ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo mayor y el menor?

2. Halla la longitud de los lados $B'C'$ y $AC'$.

3. Comprueba que el cociente entre sus áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

Calcula el valor del segmento desconocido $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las rectas $r$, $s$ y $t$ son paralelas. Aplica el Teorema de Tales y expresa el resultado con dos cifras decimales.

Para medir la altura de una torre de alta tensión, un técnico observa que en un momento determinado la torre proyecta una sombra de $18\text{ metros}$. Al mismo tiempo, coloca un bastón vertical de $1,5\text{ metros}$ de altura que proyecta una sombra de $2,25\text{ metros}$.

1. Justifica por qué los triángulos formados por la torre y su sombra, y el bastón y la suya, son semejantes.

2. Calcula la altura de la torre.

Un artista callejero quiere proyectar la sombra de una escultura vertical de $2,4 \text{ m}$ de altura sobre una pared que está a $6 \text{ m}$ de distancia. Para ello, coloca un foco en el suelo a una distancia $d$ de la escultura. Si desea que la sombra proyectada en la pared tenga exactamente $8 \text{ m}$ de altura, ¿a qué distancia de la escultura debe colocar el foco? Utiliza el Teorema de Tales para justificar tu respuesta y dibuja el esquema de los triángulos semejantes.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones de los catetos) que miden $3,6\text{ cm}$ y $10\text{ cm}$.

1. Calcula la altura del triángulo utilizando el Teorema de la Altura.

2. Calcula la longitud de los catetos utilizando el Teorema del Cateto.

3. Dibuja un esquema del triángulo indicando todos los valores hallados.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un triángulo rectángulo $ABC$ (recto en $A$), se traza la altura $h$ sobre la hipotenusa, dividiéndola en dos segmentos $m$ y $n$. Se sabe que el cateto $b$ mide $15 \text{ cm}$ y su proyección sobre la hipotenusa, $n$, mide $9 \text{ cm}$. Calcula el perímetro y el área del triángulo original utilizando los Teoremas del Cateto y de la Altura.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un televisor de $50$ pulgadas tiene una relación de aspecto de $16:9$ (esto significa que la base y la altura son proporcionales a $16$ y $9$). Sabiendo que $1$ pulgada equivale a $2,54 \text{ cm}$ y que las "pulgadas" de un televisor se refieren a la medida de su diagonal:

1. a) Calcula las dimensiones reales (base y altura) del televisor en centímetros.
2. b) Si una imagen de $800 \times 450$ píxeles se muestra a pantalla completa sin deformarse, ¿cuál es la superficie de cada píxel en la pantalla real?