Proporcionalidad directa
Tres tamales salen ₡6.000 en la feria del agricultor. ¿Cuánto cuestan seis tamales? ¿Y uno solo? Cuando compra el doble, paga el doble. Cuando compra la mitad, paga la mitad. Esa regularidad se llama proporcionalidad directa, y en esta página va a ver cómo reconocerla, cómo resolver problemas con ella y cómo se ve en un gráfico.
¿Qué es la proporcionalidad directa?
En un local de estampado, 3 camisetas cuestan ₡18.000. Observe la tabla: cada precio es el de una camiseta multiplicado por la cantidad.
| Camisetas | 3 | 6 | 9 | 15 |
|---|---|---|---|---|
| Precio (en colones) | 18.000 | 36.000 | 54.000 | 90.000 |
El cociente $\dfrac{\text{precio}}{\text{camisetas}}$ da siempre $6.000$: esa es la constante $k$ (el precio de una camiseta). La fórmula es $y = k \cdot x$, o sea $y = 6.000\,x$.
Indique cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales. Justifique brevemente su respuesta: a) El número de personas que entran a un museo…
Indique cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales. Justifique brevemente su respuesta:
- a) El número de personas que entran a un museo y el dinero recaudado por las entradas.
- b) La edad de una persona y su altura.
- c) El peso de las manzanas que compra y el precio total a pagar.
- d) La velocidad de un carro y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija.
En una tienda de deportes, todas las camisetas del mismo modelo tienen el precio proporcional a la cantidad comprada. Copie y complete la siguiente tabla en su cuaderno…
En una tienda de deportes, todas las camisetas del mismo modelo tienen el precio proporcional a la cantidad comprada. Copie y complete la siguiente tabla en su cuaderno y calcule la constante de proporcionalidad $k$ (precio por una camiseta).
| Número de camisetas | $2$ | $3$ | $5$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Precio ($\text{₡}\ $) | $12\,000$ |
Indique razonadamente cuáles de los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad directa: a) El número de entradas para un concierto y el…
Indique razonadamente cuáles de los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad directa:
- a) El número de entradas para un concierto y el precio total a pagar (sin cargos por servicio fijos).
- b) La edad de una persona y su altura en centímetros.
- c) El peso de las manzanas compradas a granel y el costo de la compra.
- d) La velocidad de un carro y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija.
- e) El número de páginas de un libro y el tiempo que se tarda en leerlo (asumiendo una velocidad de lectura constante).
Valor unitario y constante
¿Por qué funciona? Al dividir se reparte en partes iguales y se averigua cuánto toca a una unidad. Después, para $n$ unidades, se toma $n$ veces ese valor.
Si un tubo vierte $15$ litros de agua cada $3$ minutos, ¿cuántos litros verterá si se mantiene abierto durante $10$ minutos? Resuélvalo utilizando el método de reducción…
Si un tubo vierte $15$ litros de agua cada $3$ minutos, ¿cuántos litros verterá si se mantiene abierto durante $10$ minutos? Resuélvalo utilizando el método de reducción a la unidad (calculando primero cuánto vierte en un minuto).
Marta ha pagado $2\,250$ colones por $3$ cajas de marcadores para su proyecto de dibujo. Si necesita comprar $5$ cajas más para sus compañeros de grupo, ¿cuánto dinero…
Marta ha pagado $2\,250$ colones por $3$ cajas de marcadores para su proyecto de dibujo. Si necesita comprar $5$ cajas más para sus compañeros de grupo, ¿cuánto dinero le costarán esas $5$ cajas extra?
Una plataforma de streaming* de videojuegos ofrece una suscripción premium. Sabemos que por $4$ meses de servicio se pagan $17\,600$ colones. a) Calcula la constante de…
Una plataforma de streaming de videojuegos ofrece una suscripción premium. Sabemos que por $4$ meses de servicio se pagan $17\,600$ colones.
- a) Calcula la constante de proporcionalidad directa $k$ (precio por mes).
- b) Completa la siguiente tabla de valores:
| Tiempo (meses) | $1$ | $3$ | $6$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Precio ( colones) |
- c) ¿Cuántos meses podrías contratar si dispones de un presupuesto máximo de $50\,000$ colones?
Completar tablas y plantear la proporción
Otra forma de resolver es plantear una proporción con las dos razones iguales y operar de los dos lados de la igualdad. Lo importante es que cada razón tenga las magnitudes en el mismo orden.
Para escalas, el procedimiento es el mismo: en una escala $1:250$, cada centímetro del plano son $250$ cm reales, así que la constante es $k = 250$.
La misma idea sirve con sombras: a la misma hora, la altura de un objeto es proporcional a la longitud de su sombra.
En el plano de una vivienda realizado a escala $1:250$, el salón tiene una longitud de $3,2$ cm y una anchura de $2,4$ cm. a) Calcula las dimensiones reales del salón en…
En el plano de una vivienda realizado a escala $1:250$, el salón tiene una longitud de $3,2$ cm y una anchura de $2,4$ cm.
- a) Calcula las dimensiones reales del salón en metros.
- b) Calcula el área real del salón en metros cuadrados.
Una empresa de fabricación de filamento para impresoras 3D sabe que la longitud del hilo extraído es directamente proporcional al tiempo de funcionamiento de la máquina…
Una empresa de fabricación de filamento para impresoras 3D sabe que la longitud del hilo extraído es directamente proporcional al tiempo de funcionamiento de la máquina extrusora. Si en $15$ minutos se producen $45$ metros de hilo de un grosor determinado:
-
a) ¿Cuántos kilómetros de hilo se fabricarán si la máquina trabaja sin interrupción durante una jornada laboral completa de $8$ horas?
-
b) Si el costo de producción es de $\text{₡}\ 60$ por cada decámetro ($10\text{ m}$) de hilo, ¿cuál será el valor total de la producción después de esas $8$ horas?
Un faro proyecta una sombra de $18\text{ metros}$ sobre el suelo. En ese mismo instante, un poste vertical de $2,5\text{ metros}$ de altura situado cerca del faro…
Un faro proyecta una sombra de $18\text{ metros}$ sobre el suelo. En ese mismo instante, un poste vertical de $2,5\text{ metros}$ de altura situado cerca del faro proyecta una sombra de $150\text{ cm}$.
-
a) Calcula la altura del faro.
-
b) Si el sol baja y la sombra del poste aumenta en $30\text{ cm}$ más, ¿cuánto medirá la nueva sombra del faro?
Repartos y problemas con varias magnitudes
Un reparto directamente proporcional se resuelve con una constante: se suman las partes, se divide el total por esa suma y se multiplica por lo que corresponde a cada uno.
Si el enunciado mezcla unidades (metros y centímetros, minutos y horas, mL y L), pase todo a una misma unidad antes de calcular. Y si los datos vienen en porcentajes ("el doble", "un 25 % más"), calcule primero cada dato y después use la proporción.
Cuando intervienen dos magnitudes a la vez, como días y horas por día, la producción es proporcional al total de horas trabajadas. Se calcula primero ese total y luego la producción por hora.
Tres hermanos deciden repartirse los $72\,000$ colones que han recibido de regalo por parte de sus abuelos de forma directamente proporcional a sus edades, que son $10$,…
Tres hermanos deciden repartirse los $72\,000$ colones que han recibido de regalo por parte de sus abuelos de forma directamente proporcional a sus edades, que son $10$, $12$ y $14$ años respectivamente. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno?
Tres amigos deciden montar un canal de streaming de videojuegos. Al finalizar el primer mes, han obtenido unos ingresos de $\text{₡}\ 1\,260$ por publicidad. Acuerdan…
Tres amigos deciden montar un canal de streaming de videojuegos. Al finalizar el primer mes, han obtenido unos ingresos de $\text{₡}\ 1\,260$ por publicidad. Acuerdan repartir el dinero de forma directamente proporcional a las horas que cada uno ha dedicado a grabar y editar contenido.
Marcos dedicó $12$ horas, Lucía dedicó el doble que Marcos, y Sergio dedicó tantas horas como la mitad de lo que dedicaron Marcos y Lucía juntos. Calcula cuánto dinero le corresponde a cada uno y determina cuál es la constante de proporcionalidad $k$ (dinero por hora trabajada).
Una cadena de montaje produce un número constante de componentes electrónicos cada hora. Se sabe que trabajando $5$ días a razón de $8$ horas diarias, han fabricado un…
Una cadena de montaje produce un número constante de componentes electrónicos cada hora. Se sabe que trabajando $5$ días a razón de $8$ horas diarias, han fabricado un total de $14\,000$ componentes.
Si debido a un pedido urgente necesitan fabricar $25\,200$ componentes en los próximos $6$ días, ¿cuántas horas diarias deberán trabajar las máquinas para cumplir con el plazo, suponiendo que el ritmo de producción por hora no varía?
La gráfica: una recta por el origen
La proporcionalidad directa es el caso particular $b = 0$ de la función lineal $y = ax + b$: queda $y = k \cdot x$ (o $f(x) = ax$). Si marca los pares de valores en el plano cartesiano, los puntos quedan alineados y la recta que los une pasa por el origen $(0, 0)$: con cero camisetas no se paga nada. La constante $k$ es la pendiente de la recta: cuánto aumenta $y$ cuando $x$ aumenta 1.
Muévalo usted: cambie $k$ y observe cómo se inclina la recta. Pruebe también con valores negativos.
Cuando la constante es negativa
La constante $k$ también puede ser negativa. Si $k < 0$, al aumentar $x$ el valor de $y$ disminuye, pero la relación sigue siendo de proporcionalidad directa: al multiplicar $x$ por un número, $y$ queda multiplicada por ese mismo número. La recta pasa por el origen $(0, 0)$ y es decreciente.
En un plano de una habitación con una escala $1:50$, el largo de la cama mide $4$ cm. ¿Cuál es la medida real de la cama expresada en metros? (Recuerda que la escala…
En un plano de una habitación con una escala $1:50$, el largo de la cama mide $4$ cm. ¿Cuál es la medida real de la cama expresada en metros? (Recuerda que la escala $1:50$ significa que $1$ cm en el dibujo equivale a $50$ cm en la realidad).
Un cargador rápido de smartphone es capaz de cargar el $18\%$ de la batería en tan solo $12$ minutos. Si la velocidad de carga se mantiene constante: a) ¿Qué porcentaje…
Un cargador rápido de smartphone es capaz de cargar el $18\%$ de la batería en tan solo $12$ minutos. Si la velocidad de carga se mantiene constante:
- a) ¿Qué porcentaje de batería se habrá cargado tras media hora ($30$ minutos)?
- b) ¿Cuánto tiempo total (en minutos y segundos) tardará el teléfono en pasar del $0\%$ al $100\%$ de carga?
La gráfica siguiente representa la relación entre la masa de un metal precioso y su valor en el mercado. Observa que es una función de proporcionalidad directa: a) Halla…
La gráfica siguiente representa la relación entre la masa de un metal precioso y su valor en el mercado. Observa que es una función de proporcionalidad directa:
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a) Halla la constante de proporcionalidad $k$, que representa el precio por gramo.
-
b) Si una joya contiene un $15\%$ de impurezas (masa que no tiene valor) y pesa en total $24\text{ g}$, ¿cuál es el valor del metal puro que contiene basándote en la gráfica?
Vuelva al principio: si tres tamales salen ₡6.000, uno solo sale $6.000 : 3 = 2.000$ colones, y seis tamales salen $6 \cdot 2.000 = $ ₡12.000. Fue doble cantidad, doble precio.