Aproximación y redondeo
En la pantalla de una estación meteorológica en Cartago dice $64{,}38\,\%$ de humedad, pero ese número ya está redondeado. ¿Entre qué valores estaba el dato real? Y si una sonda espacial está a $2{,}348 \cdot 10^{10}$ km y se aproxima a $2{,}3 \cdot 10^{10}$ km, ¿cuánto error se comete? ¿Es mucho o poco comparado con la distancia total? Eso se mide con el error absoluto y el error relativo.
Valor de posición
Para aproximar hay que saber nombrar cada lugar de un número decimal. En $58{,}347$: el $5$ son las decenas, el $8$ las unidades, el $3$ las décimas, el $4$ las centésimas y el $7$ las milésimas.
Cada lugar a la derecha de la coma vale $10$ veces menos que el anterior.
En el sistema de numeración decimal, cada cifra tiene un valor según la posición que ocupa. Dado el número $58,347$, indica qué cifra ocupa cada una de las siguientes…
En el sistema de numeración decimal, cada cifra tiene un valor según la posición que ocupa. Dado el número $58,347$, indica qué cifra ocupa cada una de las siguientes posiciones:
- a) Las décimas.
- b) Las centésimas.
- c) Las milésimas.
- d) Las unidades.
Redondear y truncar
Si al redondear el número aproximado queda menor que el original, la aproximación es por defecto; si queda mayor, es por exceso. El truncamiento siempre es por defecto (en números positivos).
También se aproximan los decimales periódicos: $0{,}\overline{6} = 0{,}666\ldots$ se trunca a las centésimas como $0{,}66$ y se redondea como $0{,}67$.
Para conocer el valor exacto de un periódico se usa su fracción. Se multiplica por potencias de $10$ hasta tener el mismo periodo detrás de la coma y se restan.
El paso contrario, de fracción a decimal, se hace con la división larga: se divide el numerador entre el denominador hasta que los residuos se repiten, y entonces las cifras del cociente también se repiten. Esas cifras son el periodo y se marcan con una raya encima.
Está revisando los precios de una tienda en línea y encuentra un accesorio para su consola que cuesta $24,9632$ colones. Aproxime este precio por truncamiento a las…
Está revisando los precios de una tienda en línea y encuentra un accesorio para su consola que cuesta $24,9632$ colones. Aproxime este precio por truncamiento a las centésimas (es decir, a los centavos de colones).
Un atleta ha registrado un tiempo de $10,438$ segundos en una carrera de 100 metros lisos. Redondea su marca a las centésimas. ¿Ha sido el redondeo por exceso o por…
Un atleta ha registrado un tiempo de $10,438$ segundos en una carrera de 100 metros lisos. Redondea su marca a las centésimas. ¿Ha sido el redondeo por exceso o por defecto?
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno para el número $7,4628$. Para cada caso, indica si la aproximación obtenida por redondeo es por defecto o por exceso. | Orden…
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno para el número $7,4628$. Para cada caso, indica si la aproximación obtenida por redondeo es por defecto o por exceso.
| Orden de aproximación | Truncamiento | Redondeo | ¿Redondeo por defecto o exceso? |
|---|---|---|---|
| Décimas | |||
| Centésimas | |||
| Milésimas |
Aproximar para estimar
Redondear sirve para hacer cuentas rápidas: en la pulpería o en la feria del agricultor se redondea cada precio a colones enteros y se suma de cabeza. Por ejemplo, un lado de $6{,}8$ cm se redondea a $7$ cm y el área se estima en $7 \cdot 7 = 49$ cm². El área real es $6{,}8^2 = 46{,}24$ cm²: la estimación se pasa un poco.
También se puede ubicar un número en la recta y redondearlo mirando a qué entero (o décima) está más cerca.
Observa la siguiente recta numérica donde se ha marcado el punto $P$. Escribe el número decimal exacto que representa $P$ y luego redondea dicho valor a la unidad más…
Observa la siguiente recta numérica donde se ha marcado el punto $P$. Escribe el número decimal exacto que representa $P$ y luego redondea dicho valor a la unidad más cercana (al número entero más próximo).
Si el lado de un cuadrado mide $6,8$ cm, estima su área redondeando primero la medida del lado al número entero más próximo. Dibuja un esquema del cuadrado indicando la…
Si el lado de un cuadrado mide $6,8$ cm, estima su área redondeando primero la medida del lado al número entero más próximo. Dibuja un esquema del cuadrado indicando la medida aproximada.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En una tienda de informática, los precios de tres componentes son $15,99$ colones, $32,45$ colones y $12,80$ colones. Si decide estimar el costo total redondeando a la…
En una tienda de informática, los precios de tres componentes son $15,99$ colones, $32,45$ colones y $12,80$ colones.
Si decide estimar el costo total redondeando a la unidad (colones) antes de sumar, ¿cuál es la diferencia entre el precio real total y su estimación? ¿Estimó por exceso o por defecto?
El intervalo real detrás de un redondeo
Cuando usted ve un valor redondeado, el dato original puede ser cualquiera de todo un intervalo de números: los que, al redondear, dan justo ese resultado.
Representa en una recta numérica el número decimal periódico puro $2,\widehat{6}$. Para ello: a) Sitúa entre qué dos números enteros se encuentra. b) Indica qué número…
Representa en una recta numérica el número decimal periódico puro $2,\widehat{6}$. Para ello:
- a) Sitúa entre qué dos números enteros se encuentra.
- b) Indica qué número obtendrías si redondeas a las décimas.
- c) ¿Cuál es la cota de error máximo que cometemos al redondear a las décimas?
El tiempo oficial de una carrera de 100 metros lisos se mide con milésimas de segundo. Un corredor ha tardado $10,437$ segundos. a) Si en las noticias solo informan del…
El tiempo oficial de una carrera de 100 metros lisos se mide con milésimas de segundo. Un corredor ha tardado $10,437$ segundos.
- a) Si en las noticias solo informan del tiempo redondeando a las centésimas, ¿qué tiempo dirán?
- b) Si otro corredor ha tardado $10,432$ segundos, ¿qué tiempo le asignarían siguiendo el mismo criterio de redondeo?
- c) ¿Sería justo usar este redondeo si ambos corredores compitieran en la misma serie? Razona tu respuesta basándote en la precisión.
Un sensor de precisión en una central meteorológica registra la humedad relativa del aire. Por motivos de almacenamiento de datos, el sistema informático redondea…
Un sensor de precisión en una central meteorológica registra la humedad relativa del aire. Por motivos de almacenamiento de datos, el sistema informático redondea automáticamente el valor a las centésimas. Si en la pantalla aparece un valor de $64,38\,\%$, determina el intervalo exacto (valor mínimo y valor máximo) en el que se encuentra la humedad real captada por el sensor antes de ser redondeada.
La figura muestra la recta numérica con el valor de la pantalla y los dos valores con centésimas que están a su lado.
Error absoluto y error relativo
Aproximar siempre cuesta algo de precisión. El error absoluto mide esa diferencia en las mismas unidades del dato; el error relativo la compara con el tamaño del valor real, y por eso se puede dar en porcentaje.
Cuando una cuenta usa datos ya redondeados, el error se arrastra al resultado. Por eso conviene calcular con los valores exactos y redondear solo al final.
Un agricultor ha medido el área de su parcela rectangular y ha obtenido un valor de $124,3756$ $m^2$. a) Calcula el valor del área aproximando por redondeo a las…
Un agricultor ha medido el área de su parcela rectangular y ha obtenido un valor de $124,3756$ $m^2$.
- a) Calcula el valor del área aproximando por redondeo a las centésimas.
- b) Calcula el error absoluto cometido al realizar dicha aproximación. Recuerda que el error absoluto es $E_a = |V_{real} - V_{aproximado}|$.
La sonda espacial Voyager 1* se encuentra aproximadamente a $2,348 \cdot 10^{10}$ kilómetros de la Tierra. Un astrónomo decide aproximar esta distancia truncando el…
La sonda espacial Voyager 1 se encuentra aproximadamente a $2,348 \cdot 10^{10}$ kilómetros de la Tierra. Un astrónomo decide aproximar esta distancia truncando el número a las unidades de millar de millón (es decir, dejando solo dos cifras significativas: $2,3 \cdot 10^{10}$ km).
En la figura se han marcado sobre una recta ambos valores, el exacto y el aproximado.
Calcula el error absoluto y el error relativo cometido con esta aproximación. Expresa el error relativo en forma de porcentaje redondeado a las milésimas.
En una fábrica de componentes electrónicos, una pieza rectangular debe medir $12,456$ mm de largo y $8,321$ mm de ancho. El operario de la máquina redondea ambas medidas…
En una fábrica de componentes electrónicos, una pieza rectangular debe medir $12,456$ mm de largo y $8,321$ mm de ancho. El operario de la máquina redondea ambas medidas a las décimas antes de realizar el corte.
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Calcula el área de la pieza con las medidas originales (sin aproximar).
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Calcula el área de la pieza con las medidas redondeadas.
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Determina el error absoluto cometido en el cálculo del área debido a esos redondeos previos.
Vuelva al principio: la humedad real estaba en $[64{,}375; 64{,}385[$, y aproximar la distancia de la sonda a $2{,}3 \cdot 10^{10}$ km da un error relativo de solo $2{,}04\,\%$.