Proporcionalidad inversa
Cuatro personas limpian la cancha del barrio en 30 minutos. Si se suman más vecinos a ayudar, tardarán menos. Pero ¿cuánto menos? ¿Tardarán la mitad con el doble de gente? En estos problemas, cuando una magnitud se multiplica por un número, la otra se divide por ese mismo número. Eso es la proporcionalidad inversa.
¿Qué es la proporcionalidad inversa?
En la proporcionalidad directa, al doble le corresponde el doble. Aquí es al revés: al doble de personas le corresponde la mitad del tiempo. Fíjese cómo se ve en un gráfico: la curva baja, pero nunca toca los ejes.
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad inversa: a) El número de personas que pintan una valla y el tiempo…
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad inversa:
- a) El número de personas que pintan una valla y el tiempo que tardan en terminarla.
- b) El número de kilos de manzanas que compras y el precio total que pagas.
- c) La velocidad a la que circula un tren y el tiempo que emplea en recorrer la distancia entre dos ciudades.
- d) El número de páginas de un libro y su peso.
Para montar el escenario de un festival de música, $4$ operarios han trabajado durante $12$ horas. Si el festival decide contratar a un total de $8$ operarios que…
Para montar el escenario de un festival de música, $4$ operarios han trabajado durante $12$ horas. Si el festival decide contratar a un total de $8$ operarios que trabajen al mismo ritmo, ¿cuántas horas tardarán en montar el mismo escenario?
El producto constante
Es una ecuación de primer grado: despeja la incógnita y verifica que el producto vuelva a dar la constante.
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$. |…
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$.
| Magnitud $A$ | $2$ | $4$ | $8$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|
| Magnitud $B$ | $12$ | $6$ | ... | ... |
Un grupo de amigos quiere alquilar una buseta para ir de excursión. Si van $6$ amigos, cada uno debe pagar $7\,500$ colones. Calcule cuánto tendría que pagar cada uno si…
Un grupo de amigos quiere alquilar una buseta para ir de excursión. Si van $6$ amigos, cada uno debe pagar $7\,500$ colones. Calcule cuánto tendría que pagar cada uno si finalmente se apuntan $10$ personas al viaje.
Para montar el escenario de un festival de música, $8$ operarios han trabajado durante $15$ horas. Si la municipalidad necesita que el montaje esté terminado en solo…
Para montar el escenario de un festival de música, $8$ operarios han trabajado durante $15$ horas. Si la municipalidad necesita que el montaje esté terminado en solo $10$ horas, ¿cuántos operarios adicionales deberán contratar, suponiendo que todos trabajan al mismo ritmo?
Regla de tres inversa
Un tanque de agua se llena en $6$ horas utilizando un tubo con un caudal de $10$ litros por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el mismo tanque si el caudal del…
Un tanque de agua se llena en $6$ horas utilizando un tubo con un caudal de $10$ litros por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el mismo tanque si el caudal del tubo aumenta a $15$ litros por minuto?
Un grupo de amigos ha ganado un premio de $300$ colones en un concurso de robótica y han decidido repartirlo a partes iguales. Completa la siguiente tabla para averiguar…
Un grupo de amigos ha ganado un premio de $300$ colones en un concurso de robótica y han decidido repartirlo a partes iguales. Completa la siguiente tabla para averiguar cuánto dinero recibiría cada uno dependiendo del número de personas que formen el grupo. Indica también cuál es la constante de proporcionalidad inversa.
| Número de amigos ($x$) | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Dinero por persona ($y$) | $150$ | ? | ? | ? | ? |
En la gráfica puedes ver marcado el caso de $2$ amigos.
Distintos contextos de la proporcionalidad inversa
Los mismos pasos sirven siempre. Lo importante es reconocer cuándo el producto tiene sentido y qué significa.
| Situación | Producto constante |
|---|---|
| Personas × tiempo de trabajo | trabajo total |
| Caudal × tiempo de llenado | volumen del depósito |
| Velocidad × tiempo | distancia recorrida |
| Cantidad de personas × cuota | gasto total a repartir |
| Base × altura (rectángulos) | área |
| Dientes × vueltas por minuto (engranajes) | $k$ de la transmisión |
En los engranajes conectados, la rueda con más dientes gira más despacio: dientes × vueltas es constante. Si una rueda de 12 dientes gira a 20 vueltas por minuto, $12 \cdot 20 = 240$, y una de 24 dientes gira a $240 : 24 = 10$ vueltas por minuto. En una bicicleta pasa lo mismo con el piñón: si el plato da las mismas vueltas, cuantos menos dientes tiene el piñón, más vueltas da la rueda trasera, porque dientes del piñón × vueltas de la rueda es constante.
Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar a sus $20$ vacas durante $30$ días. Si vende $5$ vacas y se queda con $15$, ¿cuántos días podrá alimentar a las vacas…
Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar a sus $20$ vacas durante $30$ días. Si vende $5$ vacas y se queda con $15$, ¿cuántos días podrá alimentar a las vacas restantes con la misma cantidad de pienso?
Dos engranajes están conectados. El primero tiene $12$ dientes y da $20$ vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará el segundo engranaje si tiene $24$ dientes?
Dos engranajes están conectados. El primero tiene $12$ dientes y da $20$ vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará el segundo engranaje si tiene $24$ dientes?
Marta ha realizado un viaje en carro a una velocidad constante de $90$ km/h y ha tardado $4$ horas. Si para el viaje de vuelta decide ir más despacio, a una velocidad de…
Marta ha realizado un viaje en carro a una velocidad constante de $90$ km/h y ha tardado $4$ horas. Si para el viaje de vuelta decide ir más despacio, a una velocidad de $60$ km/h, ¿cuánto tiempo tardará en realizar el mismo recorrido?
Un dron de reparto tarda $12$ minutos en entregar un paquete desplazándose a una velocidad de $40$ km/h. Si el centro de control decide aumentar su velocidad a $60$ km/h…
Un dron de reparto tarda $12$ minutos en entregar un paquete desplazándose a una velocidad de $40$ km/h. Si el centro de control decide aumentar su velocidad a $60$ km/h para el siguiente envío al mismo lugar, ¿cuánto tiempo tardará en llegar?
Una asociación protectora de animales tiene raciones de pienso para alimentar a sus $45$ perros durante $20$ días. Si mañana llegan $15$ perros más rescatados de una…
Una asociación protectora de animales tiene raciones de pienso para alimentar a sus $45$ perros durante $20$ días. Si mañana llegan $15$ perros más rescatados de una camada, ¿cuántos días durarán las existencias de pienso si no se varía la ración diaria por perro?
Como función: $y = k/x$
Podemos escribir la relación como fórmula: si $x \cdot y = k$, entonces
$$y = \frac{k}{x}$$Es una función donde $x$ es la variable independiente e $y$ la dependiente. Como no se puede dividir entre 0, $x \neq 0$. En los problemas, además, $x$ suele ser positivo.
Un granjero utiliza una manguera con un caudal de $5$ litros por minuto para llenar un depósito de agua en $12$ horas. ¿Qué caudal debería tener una nueva manguera si…
Un granjero utiliza una manguera con un caudal de $5$ litros por minuto para llenar un depósito de agua en $12$ horas. ¿Qué caudal debería tener una nueva manguera si quiere llenar el mismo depósito en tan solo $3$ horas?
Un aula de tecnología tiene varias placas de contrachapado rectangulares que ocupan todas la misma superficie: $1200$ cm². Completa la tabla de las posibles dimensiones…
Un aula de tecnología tiene varias placas de contrachapado rectangulares que ocupan todas la misma superficie: $1200$ cm². Completa la tabla de las posibles dimensiones (base y altura) para estas placas y explica qué relación existe entre ellas.
| Base ($cm$) | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ | $60$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Altura ($cm$) | ? | $60$ | ? | ? | ? |
Seis tubos iguales tardan $40$ minutos en llenar una piscina infantil. Si dos de los tubos se dañan y quedan fuera de servicio, ¿cuánto tiempo tardarán los tubos…
Seis tubos iguales tardan $40$ minutos en llenar una piscina infantil. Si dos de los tubos se dañan y quedan fuera de servicio, ¿cuánto tiempo tardarán los tubos restantes en llenar la misma piscina? Exprese el resultado en horas y minutos.
Observa la siguiente tabla que representa la relación entre dos magnitudes $M$ y $N$. Determina si se trata de una relación de proporcionalidad inversa calculando su…
Observa la siguiente tabla que representa la relación entre dos magnitudes $M$ y $N$. Determina si se trata de una relación de proporcionalidad inversa calculando su constante $k$. Una vez hallada, completa los valores que faltan, expresándolos como números enteros o decimales exactos.
| Magnitud $M$ | $2$ | $4,5$ | $x$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Magnitud $N$ | $18$ | $y$ | $12$ | $z$ |
Repartos inversamente proporcionales
A veces hay que repartir una cantidad de modo que reciba más quien tiene menos de algo: por ejemplo, más plata para quien tardó menos tiempo. Eso es un reparto inversamente proporcional.
¿Por qué? Que sea inversa significa que parte × valor da siempre lo mismo, o sea $p = k/t$. Y todas las partes juntas tienen que dar el total.
Tres amigos deciden repartirse los $282$ colones obtenidos en un premio de un concurso de robótica de forma inversamente proporcional a los minutos que han tardado en…
Tres amigos deciden repartirse los $282$ colones obtenidos en un premio de un concurso de robótica de forma inversamente proporcional a los minutos que han tardado en resolver su prueba final. Si el primer amigo tardó $12$ minutos, el segundo $15$ minutos y el tercero $20$ minutos, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno?
Problemas de varios pasos
Algunos problemas cambian las condiciones a mitad de camino o combinan inversa con porcentajes. La clave es calcular primero la constante y después trabajar con lo que queda.
Una expedición de montaña tiene víveres almacenados para alimentar a $20$ excursionistas durante $12$ días. Sin embargo, tras los primeros $4$ días de travesía, se…
Una expedición de montaña tiene víveres almacenados para alimentar a $20$ excursionistas durante $12$ días. Sin embargo, tras los primeros $4$ días de travesía, se encuentran con otro grupo de $5$ personas que se han quedado sin suministros y deciden compartir sus víveres. Si mantienen la misma ración diaria por persona, ¿cuántos días menos de los previstos durarán los alimentos restantes?
Un rectángulo tiene una base de $12$ cm y una altura de $8$ cm. Queremos construir otro rectángulo que tenga exactamente la misma superficie, pero cuya base sea un $25$…
Un rectángulo tiene una base de $12$ cm y una altura de $8$ cm. Queremos construir otro rectángulo que tenga exactamente la misma superficie, pero cuya base sea un $25$ % más larga que la del primero.
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a) ¿Cuál será la altura del nuevo rectángulo?
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b) ¿En qué porcentaje ha disminuido la altura respecto al rectángulo original?
Seis impresoras de alta velocidad tardan $4$ horas y $30$ minutos en imprimir $5000$ folletos publicitarios. Si dos de las impresoras sufren una avería antes de empezar…
Seis impresoras de alta velocidad tardan $4$ horas y $30$ minutos en imprimir $5000$ folletos publicitarios. Si dos de las impresoras sufren una avería antes de empezar el trabajo, ¿cuántas horas y minutos tardarán las impresoras restantes en realizar el mismo encargo?
Para llenar una piscina olímpica, se utilizan $4$ tubos que arrojan un caudal de $12$ litros por minuto cada uno, tardando un total de $30$ horas. Si queremos que la…
Para llenar una piscina olímpica, se utilizan $4$ tubos que arrojan un caudal de $12$ litros por minuto cada uno, tardando un total de $30$ horas. Si queremos que la piscina se llene en tan solo $18$ horas usando tubos con un caudal superior, de $16$ litros por minuto, ¿cuántos tubos de este nuevo modelo necesitaremos abrir?
Un tren de mercancías realiza el trayecto entre dos ciudades a una velocidad media de $80$ km/h, tardando $3$ horas y $45$ minutos. En el viaje de vuelta, debido a una…
Un tren de mercancías realiza el trayecto entre dos ciudades a una velocidad media de $80$ km/h, tardando $3$ horas y $45$ minutos. En el viaje de vuelta, debido a una avería en la vía, debe reducir su velocidad media hasta los $60$ km/h.
-
a) ¿Cuánto tiempo tardará en completar el viaje de regreso?
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b) Expresa el resultado en horas, minutos y segundos.
En una bicicleta de montaña, la relación entre el número de dientes del plato y el del piñón determina el avance. Si con un plato de $48$ dientes y un piñón de $24$…
En una bicicleta de montaña, la relación entre el número de dientes del plato y el del piñón determina el avance. Si con un plato de $48$ dientes y un piñón de $24$ dientes la rueda trasera da exactamente $200$ vueltas en un tramo, ¿cuántas vueltas daría la rueda si cambiáramos a un piñón de $16$ dientes manteniendo el mismo pedaleo (mismas vueltas de plato)? Justifica el tipo de proporcionalidad.
Vuelva al principio: si 4 personas tardan 30 minutos, la constante es $4 \cdot 30 = 120$ personas·minuto. No siempre «el doble de gente, la mitad de tiempo» se cumple a simple vista, pero con el producto constante sí: 6 personas tardan $120 : 6 = 20$ minutos.