Experiencias aleatorias y espacio muestral
Antes de un partido de la Selección se tira una moneda para elegir el arco. ¿Puede usted saber de antemano qué va a salir? ¿Y qué suma darán dos dados? En muchos juegos, por más que se sepa, no se puede adivinar el resultado antes de jugar. Eso tiene un nombre en Matemática: azar.
Experiencias aleatorias y espacio muestral
Indique si cada una de estas experiencias es aleatoria o determinista, y justifique su respuesta: a) Calentar agua hasta $100$ °C y comprobar si hierve. b) Lanzar una…
Indique si cada una de estas experiencias es aleatoria o determinista, y justifique su respuesta:
a) Calentar agua hasta $100$ °C y comprobar si hierve.
b) Lanzar una moneda y anotar si sale cara.
c) Medir cuánto tarda en caer al suelo una hoja de papel arrugada lanzada desde una mesa.
d) Anotar el color del primer carro que pase por la calle.
e) Calcular el precio de $3$ kg de naranjas a $\text{₡}\ 1\,200$ el kilo.
Escriba el espacio muestral de cada experimento aleatorio: a) Lanzar un dado y anotar la cara superior. b) Lanzar dos monedas y anotar el número de caras. c) Extraer una…
Escriba el espacio muestral de cada experimento aleatorio:
a) Lanzar un dado y anotar la cara superior.
b) Lanzar dos monedas y anotar el número de caras.
c) Extraer una carta de una baraja española y anotar el palo.
Escribe el espacio muestral de estas experiencias: a) Sacar una bola de un bombo con bolas numeradas del $1$ al $10$. b) Lanzar un dado tetraédrico con las caras…
Escribe el espacio muestral de estas experiencias:
a) Sacar una bola de un bombo con bolas numeradas del $1$ al $10$.
b) Lanzar un dado tetraédrico con las caras numeradas del $1$ al $4$.
c) Anotar el número de goles que marcará un equipo en su próximo partido.
Eventos: seguro, posible e imposible
Un evento es un resultado o un conjunto de resultados de la experiencia.
| Evento | Qué significa | Ejemplo con un dado |
|---|---|---|
| Seguro | Ocurre siempre | «sale un número menor que 7» |
| Posible | Puede ocurrir, pero no es seguro | «sale un 4» |
| Imposible | No puede ocurrir nunca | «sale un 8» |
Además, un evento es elemental si tiene un solo resultado («sale el 4») y compuesto si tiene más de uno («sale un número par»: 2, 4 o 6).
Cuando los resultados tienen las mismas posibilidades se llaman equiprobables; si no, como en una ruleta con sectores de distinto tamaño, algunos son más probables que otros. Una ruleta con sectores de igual tamaño tiene resultados equiprobables; con sectores desiguales, el color de mayor sector es el más probable.
En el juego de naipes, cada naipe de una baraja tiene un palo (por ejemplo corazones, tréboles, diamantes y picas en la baraja inglesa; oros, copas, espadas y bastos en la española), y al extraer uno, el espacio muestral de palos es el conjunto de esos cuatro nombres.
Un evento posible puede ser muy probable (casi siempre ocurre, aunque no es seguro) o poco probable (ocurre rara vez, pero no es imposible). Depende de cuántos resultados lo cumplen: en una bolsa con 6 bolas rojas y 1 verde, sacar roja es muy probable y sacar verde es poco probable.
En la bolsa de la figura hay $6$ bolas rojas y $1$ verde. Se extrae una bola al azar. Clasifique estos eventos como seguro, muy probable, poco probable o imposible: a)…
En la bolsa de la figura hay $6$ bolas rojas y $1$ verde. Se extrae una bola al azar.
Clasifique estos eventos como seguro, muy probable, poco probable o imposible:
a) Sacar bola roja.
b) Sacar bola verde.
c) Sacar bola amarilla.
d) Sacar una bola que sea roja o verde.
De una urna con bolas numeradas del $1$ al $8$ se extrae una bola al azar. Indique si estos eventos son elementales o compuestos: a) Sacar el $5$. b) Sacar un número…
De una urna con bolas numeradas del $1$ al $8$ se extrae una bola al azar. Indique si estos eventos son elementales o compuestos:
a) Sacar el $5$.
b) Sacar un número par.
c) Sacar un múltiplo de $3$.
d) Sacar el $8$.
En el experimento «lanzar dos dados y sumar los puntos»: a) Escriba un evento seguro. b) Escriba un evento imposible. c) Escriba un evento posible que no sea ni seguro…
En el experimento «lanzar dos dados y sumar los puntos»:
a) Escriba un evento seguro.
b) Escriba un evento imposible.
c) Escriba un evento posible que no sea ni seguro ni imposible.
Una primera idea de probabilidad
¿Qué tan probable es un evento? Se mide con un número, la probabilidad. Cuando todos los resultados son equiprobables (igualmente probables), se calcula así:
Esto tiene sentido: cuantos más resultados cumplen el evento, mayor es la fracción. Esta definición se llama clásica o laplaciana, por Pierre-Simon Laplace, y exige que los puntos muestrales sean igualmente probables.
Algunos valores de referencia:
-
El evento imposible no tiene casos favorables: $P = \dfrac{0}{n} = 0$.
-
El evento seguro tiene como favorables todos los casos: $P = \dfrac{n}{n} = 1$.
-
Cualquier evento posible tiene una probabilidad entre $0$ y $1$.
Experiencias compuestas: tablas de doble entrada
Cuando la experiencia tiene varias etapas (dos dados, una moneda y un dado…), para no perder ningún resultado se usa una tabla de doble entrada: una fila por cada resultado de la primera etapa y una columna por cada resultado de la segunda.
Lance los dos dados muchas veces y observe qué sumas salen más seguido:
En el gráfico, cada barra mide la cantidad de casos de esa suma (1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1).
Se lanzan una moneda y un dado. Copia y completa en tu cuaderno la tabla de doble entrada con todos los resultados posibles: | | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |…
Se lanzan una moneda y un dado. Copia y completa en tu cuaderno la tabla de doble entrada con todos los resultados posibles:
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| C | C$1$ | |||||
| + | +$6$ |
a) ¿Cuántos resultados distintos hay?
b) ¿Cuántos incluyen cara?
c) ¿Cuántos incluyen un número par?
Se lanzan dos dados y se anota la suma de los puntos. a) Completa en tu cuaderno una tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles. b) Escribe el espacio muestral…
Se lanzan dos dados y se anota la suma de los puntos.
a) Completa en tu cuaderno una tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles.
b) Escribe el espacio muestral del experimento.
c) ¿Cuántos casos dan suma $7$? Enuméralos.
d) ¿Son equiprobables todos los resultados del espacio muestral? Razona tu respuesta.
Se lanzan un dado tetraédrico (caras numeradas del $1$ al $4$) y un dado cúbico (del $1$ al $6$), y se anota la suma. a) Construya una tabla de doble entrada con todos…
Se lanzan un dado tetraédrico (caras numeradas del $1$ al $4$) y un dado cúbico (del $1$ al $6$), y se anota la suma.
a) Construya una tabla de doble entrada con todos los resultados.
b) Escriba el espacio muestral. ¿Cuántos elementos tiene?
c) Escriba los casos del evento «sumar $8$».
Se lanzan dos dados y se suman los puntos. Construya en su cuaderno la tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles y cuente los casos de cada evento: a) Suma par.…
Se lanzan dos dados y se suman los puntos. Construya en su cuaderno la tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles y cuente los casos de cada evento:
a) Suma par.
b) Suma múltiplo de $3$.
c) Suma mayor que $8$.
d) Suma igual a $1$.
Se lanzan dos dados y se multiplican los puntos. a) Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con los $36$ productos posibles. b) ¿Cuántos casos dan un producto…
Se lanzan dos dados y se multiplican los puntos.
a) Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con los $36$ productos posibles.
b) ¿Cuántos casos dan un producto par?
c) ¿Cuántos casos dan un producto mayor que $20$?
d) ¿Cuál es el producto que aparece con más frecuencia en la tabla?
Al lanzar dos dados y sumar los puntos, Nora afirma: «El espacio muestral es $\{2, 3, 4, \ldots, 12\}$, que son $11$ casos, así que la probabilidad de obtener suma $12$…
Al lanzar dos dados y sumar los puntos, Nora afirma: «El espacio muestral es $\{2, 3, 4, \ldots, 12\}$, que son $11$ casos, así que la probabilidad de obtener suma $12$ es $\frac{1}{11}$».
a) Explica el error de su razonamiento.
b) Calcula correctamente la probabilidad de obtener suma $12$.
c) ¿Cuál es la suma más probable? ¿Por qué?
Diagramas de árbol
Cuando cada etapa tiene pocas opciones (monedas, menús, respuestas de verdadero o falso), el diagrama de árbol es más claro: cada rama es una posibilidad y cada resultado es un camino completo desde la raíz hasta el final.
Principio de multiplicación: si una etapa tiene $m$ opciones y la siguiente $n$, en total hay $m \cdot n$ resultados. Con tres etapas se multiplican las tres cantidades. Así, un club con $3$ camisetas, $2$ pantalones y $2$ pares de tenis puede armar $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ conjuntos.
Se lanzan tres monedas, como muestra el diagrama de árbol de la figura. a) ¿Cuántos resultados posibles hay? b) Escriba el espacio muestral. c) Escriba los casos de los…
Se lanzan tres monedas, como muestra el diagrama de árbol de la figura.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay?
b) Escriba el espacio muestral.
c) Escriba los casos de los eventos «salir exactamente $2$ caras» y «salir alguna cara».
En el comedor escolar se puede elegir un primer plato (ensalada o sopa), un segundo plato (pollo, pescado o pasta) y un postre (fruta o yogur), como muestra el diagrama…
En el comedor escolar se puede elegir un primer plato (ensalada o sopa), un segundo plato (pollo, pescado o pasta) y un postre (fruta o yogur), como muestra el diagrama de la figura.
a) ¿Cuántos menús distintos se pueden formar?
b) Si un menú se elige completamente al azar, ¿cuántos incluyen pasta?
c) ¿Cuántos incluyen ensalada y yogur?
Se lanzan a la vez tres fichas: una con las caras verde y roja, otra con las caras verde y azul, y otra con las caras roja y azul. a) Dibuja un diagrama de árbol y…
Se lanzan a la vez tres fichas: una con las caras verde y roja, otra con las caras verde y azul, y otra con las caras roja y azul.
a) Dibuja un diagrama de árbol y escribe el espacio muestral.
b) ¿En cuántos resultados salen los tres colores distintos?
c) ¿En cuántos resultados hay al menos dos colores iguales?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un examen de verdadero o falso con $3$ preguntas, un estudiante responde completamente al azar. a) Con ayuda de un diagrama de árbol, escriba el espacio muestral de…
En un examen de verdadero o falso con $3$ preguntas, un estudiante responde completamente al azar.
a) Con ayuda de un diagrama de árbol, escriba el espacio muestral de sus respuestas, anotando en cada pregunta si acierta ($A$) o falla ($F$).
b) Escriba los casos del evento «acertar exactamente $2$ preguntas».
c) ¿Cuántos casos tiene el evento «fallar las $3$ preguntas»?
En el experimento de la figura se lanza una moneda: si sale cara, se extrae una bola de la urna A, y si sale cruz, de la urna B. a) Escriba el espacio muestral del…
En el experimento de la figura se lanza una moneda: si sale cara, se extrae una bola de la urna A, y si sale cruz, de la urna B.
a) Escriba el espacio muestral del experimento completo.
b) ¿Son equiprobables los cuatro resultados? Razone su respuesta.
c) ¿En qué urna es más probable sacar bola roja?
Para entrenar, un club de baloncesto tiene $3$ camisetas (roja, azul y verde), $2$ pantalones (negro y blanco) y $2$ pares de tenis (modelo A y modelo B). a) Dibuje un…
Para entrenar, un club de baloncesto tiene $3$ camisetas (roja, azul y verde), $2$ pantalones (negro y blanco) y $2$ pares de tenis (modelo A y modelo B).
a) Dibuje un diagrama de árbol y calcule cuántos uniformes distintos se pueden formar.
b) ¿Cuántos uniformes incluyen la camiseta roja?
c) ¿Cuántos incluyen el pantalón negro y los tenis del modelo A?
El código de un casillero del polideportivo tiene $3$ ruedas, cada una con $4$ símbolos: círculo, triángulo, cuadrado y estrella. a) ¿Cuántos códigos distintos se pueden…
El código de un casillero del polideportivo tiene $3$ ruedas, cada una con $4$ símbolos: círculo, triángulo, cuadrado y estrella.
a) ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?
b) ¿Cuántos códigos empiezan con estrella?
c) ¿Cuántos códigos tienen los tres símbolos iguales?
Un juego de dominó tiene $28$ fichas, cada una con dos números del $0$ al $6$, sin repetir ninguna pareja. a) ¿Cuántas fichas contienen el número $6$? Enumérelas. b)…
Un juego de dominó tiene $28$ fichas, cada una con dos números del $0$ al $6$, sin repetir ninguna pareja.
a) ¿Cuántas fichas contienen el número $6$? Enumérelas.
b) ¿Cuántas fichas son dobles (los dos números iguales)?
c) Describa el evento «la ficha contiene el $6$ o es doble» contando cuántos casos tiene.
Compara estas dos experiencias con urnas: Experiencia 1: de una bolsa con $3$ bolas verdes y $1$ roja se extrae una bola al azar. Experiencia 2: se lanza una moneda;…
Compara estas dos experiencias con urnas:
-
Experiencia 1: de una bolsa con $3$ bolas verdes y $1$ roja se extrae una bola al azar.
-
Experiencia 2: se lanza una moneda; solo si sale cara, se extrae una bola de una urna con $2$ bolas rojas y $1$ verde.
a) Escribe el espacio muestral de cada experiencia.
b) ¿En cuál de las dos es más fácil obtener bola roja? Razona la respuesta calculando y comparando la probabilidad de obtener bola roja en cada una.
Permutaciones y factorial
Valeria, Sebastián y Mariana se sacan una foto en fila. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse? Una permutación es una forma de ordenar todos los elementos de un grupo. Arme el árbol:
-
Para el primer lugar hay $3$ opciones.
-
Para el segundo quedan $2$.
-
Para el tercero queda $1$.
Hay $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ formas. Este producto se llama factorial y se escribe $3!$.
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $n!$ | $1$ | $2$ | $6$ | $24$ | $120$ | $720$ |
Crece muy rápido. En la calculadora científica busque la tecla $x!$ (o $n!$): para $8!$ escriba 8 y presione esa tecla; da $40.320$.
Vuelva al principio: en una sola tirada de moneda o de dado no se puede saber qué va a salir, pero al armar el espacio muestral de dos dados se descubre que la suma más probable es $7$, con $6$ de los $36$ casos: $P(\text{suma } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.