El campo eléctrico: tratamiento vectorial

Una sonda espacial acumula, por el bombardeo de partículas solares, una carga neta de $2\ \text{nC}$ (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Suponga la sonda aproximadamente puntual.

1. a) Calcule el módulo del campo eléctrico que crea a $10\ \text{cm}$ de su superficie (exprese la distancia en metros).
2. b) Calcule también el campo a $1\ \text{m}$ y compruebe en qué factor se ha reducido al multiplicar la distancia por diez.

Una carga de prueba $q = 2\,\mu\text{C}$, colocada en un punto de un dispositivo del laboratorio, experimenta una fuerza eléctrica de $0,06\ \text{N}$. La situación se representa en la figura.

1. a) Calcule la intensidad del campo eléctrico en ese punto, $E = \frac{F}{q}$, e indique su unidad en el Sistema Internacional.
2. b) Siendo la carga positiva, ¿qué relación guardan la dirección y el sentido de $\vec{E}$ con los de la fuerza $\vec{F}$?

Para medir el campo eléctrico en un punto se utiliza una carga de prueba.

1. a) Explique qué es una carga de prueba y por qué conviene que su valor sea pequeño, de modo que no perturbe a las cargas que crean el campo.
2. b) Escriba la expresión del campo que crea una carga puntual $Q$ a una distancia $r$ y razone, a partir de ella, por qué el campo no depende de la carga de prueba que se use para medirlo.

Una pequeña esfera cargada con $Q = 5\,\mu\text{C}$ crea un campo eléctrico a su alrededor (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observe el esquema:

1. a) Calcule el módulo del campo a $0,3\ \text{m}$ de la esfera.
2. b) Indique la dirección y el sentido del campo en ese punto, razonándolo a partir del signo de la carga.

El campo creado por una carga puntual vale $E$ a una distancia $r$.

1. a) Razone, usando la expresión $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$, qué valor tendrá el campo a una distancia $2 \cdot r$ y a una distancia $\frac{r}{3}$.
2. b) Si a $0,5\ \text{m}$ de cierta carga el campo vale $7200\ \text{N/C}$, calcule su valor a $1\ \text{m}$ sin necesidad de usar la constante $K$.

Un sensor mide un campo eléctrico de $4500\ \text{N/C}$ a $2\ \text{m}$ del centro de una esfera metálica cargada del laboratorio; el campo apunta hacia la esfera (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La situación se representa en la figura.

1. a) Despeje la carga de la expresión $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ y calcule su valor absoluto.
2. b) Razone, a partir del sentido del campo medido, cuál es el signo de la carga de la esfera.

Dibuje en su cuaderno las líneas del campo eléctrico creado por una carga puntual positiva y, aparte, las de una carga puntual negativa.

1. a) ¿Qué indica el sentido de las flechas de las líneas? Relaciónelo con la fuerza que sufriría una carga de prueba positiva.
2. b) ¿Dónde es más intenso el campo, según su dibujo? Relaciónelo con la expresión $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

A partir de la definición $E = \frac{F}{q}$, indique cuáles de estas expresiones son unidades válidas para la intensidad del campo eléctrico y razone cada respuesta:

1. a) $\text{N/C}$
2. b) $\text{N}\cdot\text{C}$
3. c) $\text{V/m}$ (tenga en cuenta que $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$)
4. d) $\text{J/C}$

Entre las placas de un condensador hay un campo eléctrico uniforme $\vec{E} = 3\cdot10^{4}\,\vec{j}\ \text{N/C}$. En su interior se coloca una partícula con carga $q = -4\,\mu\text{C}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calcule el vector fuerza eléctrica sobre la partícula, $\vec{F} = q \cdot \vec{E}$, expresándolo con el vector unitario correspondiente.
2. b) Razone por qué, al ser la carga negativa, la fuerza tiene sentido contrario al campo.

En un tubo de rayos catódicos, un electrón atraviesa una región con campo eléctrico uniforme $E = 1000\ \text{N/C}$ (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$).

1. a) Calcule la fuerza eléctrica sobre el electrón.
2. b) Calcule su aceleración aplicando la segunda ley de Newton, $a = \frac{F}{m_e}$.

Una carga $Q = 8\ \text{nC}$ está fija en un soporte aislante del laboratorio (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule el campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) a $25\ \text{cm}$ de la carga.
2. b) Calcule la fuerza (módulo, dirección y sentido) que sufriría una carga $q_0 = 3\,\mu\text{C}$ colocada en ese punto, usando $\vec{F} = q_0 \cdot \vec{E}$.

Un protón está entre las placas de un condensador, donde el campo eléctrico es uniforme y vale $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del protón $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; tome $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcule la fuerza eléctrica sobre el protón.
2. b) Calcule su peso.
3. c) Calcule el cociente entre ambas magnitudes y extraiga una conclusión: en física de partículas, ¿se puede despreciar la gravedad frente a la fuerza eléctrica?

Dos cargas puntuales $q_1 = 3\,\mu\text{C}$ y $q_2 = -2\,\mu\text{C}$ están sobre el eje $x$, en $x_1 = 0$ y $x_2 = 1\ \text{m}$ (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La figura muestra la disposición de las cargas.

1. a) Calcule el campo (módulo y sentido) que crea cada carga en el punto $x = 3\ \text{m}$.
2. b) Aplique el principio de superposición y calcule el campo total en ese punto, indicando su dirección y su sentido.

Dos cargas idénticas $q = 5\ \text{nC}$ están separadas $40\ \text{cm}$ (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Razone, dibujando los vectores en su cuaderno, cuánto vale el campo total en el punto medio del segmento que une las cargas.
2. b) Calcule el campo total (módulo, dirección y sentido) en un punto del segmento situado a $10\ \text{cm}$ de una de las cargas.

Una carga puntual $Q = 4\ \text{nC}$ está en el origen de coordenadas (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observe el esquema:

1. a) Calcule el módulo del campo eléctrico en el punto $P(3, 4)$, con las coordenadas en metros.
2. b) El vector unitario radial en ese punto es $\vec{u}_r = \frac{3}{5}\,\vec{i} + \frac{4}{5}\,\vec{j}$. Escriba el vector $\vec{E}$ en función de $\vec{i}$ y $\vec{j}$.

El manual de un instrumento de diagnóstico médico exige que el campo eléctrico en su posición no supere los $500\ \text{N/C}$. En la misma sala funciona un equipo que acumula una carga puntual de $2\ \text{nC}$ (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Despeje la distancia de la expresión $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ y calcule a qué distancia mínima del equipo debe instalarse el instrumento.
2. b) Si finalmente se instala al doble de esa distancia, ¿en qué factor se reduce el campo? Razone la respuesta.

Dos cargas puntuales $q_1 = 4\,\mu\text{C}$ y $q_2 = -4\,\mu\text{C}$ ocupan, respectivamente, el origen de coordenadas y el punto $(0, 3)$, con las coordenadas en metros (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Se quiere hallar el campo en el punto $P(4, 0)$. Observe el esquema:

1. a) Calcule el vector $\vec{E}_1$ que crea $q_1$ en $P$.
2. b) Calcule el módulo del campo que crea $q_2$ en $P$ y, teniendo en cuenta que ese campo apunta desde $P$ hacia la carga negativa (vector unitario $-\frac{4}{5}\,\vec{i} + \frac{3}{5}\,\vec{j}$), escriba el vector $\vec{E}_2$.
3. c) Aplique el principio de superposición: calcule el vector campo total en $P$ y su módulo.

Dos cargas puntuales $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ y $q_2 = 4\,\mu\text{C}$ están sobre el eje $x$, en $x_1 = 0$ y $x_2 = 3\ \text{m}$ (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La figura muestra las tres regiones del eje.

1. a) Razone, analizando el sentido del campo de cada carga, en cuál de las tres regiones del eje (a la izquierda de $q_1$, entre las cargas o a la derecha de $q_2$) puede anularse el campo total.
2. b) Plantee la condición de campo nulo en esa región y calcule el punto exacto.
3. c) Compruebe el resultado verificando que en ese punto los dos campos tienen el mismo módulo.

En una impresora de inyección, las gotas de tinta cargadas se desvían con un campo eléctrico. Para estudiar el principio, considere un electrón que entra con velocidad horizontal $v_0 = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ en una región de longitud $L = 10\ \text{cm}$ donde hay un campo vertical uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$, perpendicular a su velocidad (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). El esquema muestra el montaje.

1. a) Calcule la aceleración del electrón en la región del campo e indique su dirección y su sentido.
2. b) Calcule el tiempo que tarda en cruzar la región.
3. c) Suponiendo el movimiento horizontal uniforme y el vertical uniformemente acelerado (como en el tiro parabólico), calcule la desviación vertical a la salida, $y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.
4. d) Razone qué forma tiene la trayectoria dentro del campo y qué tipo de movimiento lleva el electrón después de salir de él.

Dos cargas puntuales $q_1 = q$ y $q_2 = -2 \cdot q$, con $q > 0$, están sobre el eje $x$, en $x_1 = 0$ y $x_2 = 3\ \text{m}$ (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Prediga, justificándolo con el sentido de los campos y con el valor absoluto de las cargas, en qué región del eje puede anularse el campo total: ¿entre las cargas o fuera del segmento?, ¿y de qué lado?
2. b) Plantee la ecuación de campo nulo y resuélvala, obteniendo el punto exacto.
3. c) Explique por qué el resultado no depende del valor de $q$.

Tres cargas idénticas $q = 2\ \text{nC}$ ocupan los vértices de un triángulo equilátero de lado $30\ \text{cm}$ (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observe el esquema:

1. a) Justifique, por simetría (los tres vectores campo en el centro forman entre sí ángulos de $120^\circ$), que el campo total en el centro del triángulo es nulo.
2. b) Se retira una de las cargas. Teniendo en cuenta que el campo de las tres era nulo, razone que el campo de las dos restantes es justo el opuesto del que creaba la carga retirada, y calcule su módulo (la distancia de cada vértice al centro es $\frac{0,3}{\sqrt{3}}\ \text{m}$).
3. c) Indique la dirección y el sentido del campo resultante respecto al vértice que quedó vacío.

Dos cargas idénticas $q = 5\,\mu\text{C}$ ocupan dos vértices contiguos, $A(0, 20)$ y $B(20, 20)$, de un cuadrado de lado $20\ \text{cm}$, con las coordenadas en centímetros (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\cos 45^\circ \approx 0,71$). Se estudia el vértice $D(0, 0)$. La figura muestra la disposición.

1. a) Calcule el campo (módulo, dirección y sentido) que crea en $D$ la carga situada en $A$.
2. b) Calcule el módulo del campo que crea en $D$ la carga situada en $B$ (tenga en cuenta que la distancia es la diagonal del cuadrado) y descompóngalo en sus componentes.
3. c) Sume los vectores y calcule el módulo del campo total en $D$.
4. d) Calcule el módulo de la fuerza que sufriría una carga $Q = -2\,\mu\text{C}$ colocada en $D$.

Su compañero calcula el campo eléctrico en el punto medio del segmento que une una carga $q_1 = 6\,\mu\text{C}$ con otra $q_2 = -6\,\mu\text{C}$, separadas $20\ \text{cm}$, y escribe: «el campo es cero, porque las cargas son opuestas y se cancelan» (tome $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Explique el error: dibuje en su cuaderno los vectores $\vec{E}_1$ y $\vec{E}_2$ en el punto medio y razone qué sentido tiene cada uno.
2. b) Calcule el campo correcto (módulo, dirección y sentido) en ese punto.
3. c) ¿Para qué par de cargas del mismo valor absoluto sería correcto el resultado de su compañero? Justifíquelo.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

En una cámara de un acelerador lineal de partículas hay un campo eléctrico vertical uniforme $E = 5\cdot10^{3}\ \text{N/C}$. Entran en ella, por separado y con la misma velocidad horizontal, un protón y un electrón (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; masa del protón $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Compare los módulos de las fuerzas eléctricas sobre ambas partículas y razone por qué son iguales.
2. b) Calcule la aceleración de cada una.
3. c) Calcule el cociente $\frac{a_e}{a_p}$ y relaciónelo con el cociente de masas $\frac{m_p}{m_e}$.
4. d) Prediga y justifique: ¿se desvían las dos partículas hacia el mismo lado? En el mismo tiempo de vuelo, ¿cuál se desvía más y cuántas veces más?