El teorema de Torricelli y el caudal
En una casa de Santa Tecla, el agua de la pila (el tanque del patio) se usa para lavar. Si abrís la llave de abajo, el chorro sale con fuerza. Si abrís una más arriba, sale más flojo. Y cuando la pila casi se vacía, el chorro casi ni llega al balde. ¿De qué depende la rapidez con que sale el agua? ¿Y cuánta agua sale en un minuto? En esta página lo vas a calcular.
El caudal: cuánta agua pasa por segundo
Pensá en llenar una cubeta con una manguera. Si la cubeta tarda poco en llenarse, la manguera "da" mucha agua cada segundo. Esa idea se mide con el caudal.
Como $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}$, pasar de una unidad a otra es sencillo:
-
de $\text{m}^3$ a L: multiplicás por $1000$;
-
de L a $\text{m}^3$: dividís entre $1000$.
Por una manguera sale agua con un caudal de $0.0002\ \text{m}^3/\text{s}$. Calculá cuánta agua, en metros cúbicos, sale en $60\ \text{s}$. Después expresá ese volumen en…
Por una manguera sale agua con un caudal de $0.0002\ \text{m}^3/\text{s}$. Calculá cuánta agua, en metros cúbicos, sale en $60\ \text{s}$. Después expresá ese volumen en litros, sabiendo que $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}$.
Caudal, área y rapidez
El agua en un tubo avanza con una rapidez promedio $v$. En un segundo recorre una distancia $v$ (en metros). Ese pedacito de agua forma un cilindro de base $A$ (el área de la sección transversal) y largo $v$. Su volumen es $A\cdot v$, y ese es justo el volumen que pasa en un segundo.
Una tubería tiene una sección transversal de área $0.005\ \text{m}^2$ y el agua circula por ella con una rapidez de $2\ \text{m/s}$. Calculá el caudal $Q = A\,v$ e…
Una tubería tiene una sección transversal de área $0.005\ \text{m}^2$ y el agua circula por ella con una rapidez de $2\ \text{m/s}$. Calculá el caudal $Q = A\,v$ e indicá su unidad en el Sistema Internacional.
Daniela llena una cubeta de $20\ \text{L}$ con una llave en $40\ \text{s}$. Calculá el caudal en L/s y en $\text{m}^3/\text{s}$. Si el área de la salida de la llave es…
Daniela llena una cubeta de $20\ \text{L}$ con una llave en $40\ \text{s}$. Calculá el caudal en L/s y en $\text{m}^3/\text{s}$. Si el área de la salida de la llave es $2\times10^{-4}\ \text{m}^2$, calculá además la rapidez promedio con que sale el agua.
Continuidad: tubo ancho, tubo angosto
Cuando ponés el dedo en la salida de una manguera, el agua sale más rápido. ¿Por qué? Porque el agua no se acumula ni desaparece en el tubo. Si el fluido es incompresible (como el agua), el caudal es el mismo en todas las secciones. Lo que entra por un lado sale por el otro.
Por una tubería de $0.04\ \text{m}^2$ de sección el agua fluye con rapidez de $1.5\ \text{m/s}$ y luego pasa a un tramo más angosto de $0.01\ \text{m}^2$. Calculá el…
Por una tubería de $0.04\ \text{m}^2$ de sección el agua fluye con rapidez de $1.5\ \text{m/s}$ y luego pasa a un tramo más angosto de $0.01\ \text{m}^2$. Calculá el caudal y la rapidez promedio del agua en el tramo angosto usando la ecuación de continuidad.
El teorema de Torricelli
Volvamos a la pila del patio. Si le hacés un orificio pequeño en la pared, a una profundidad $h$ bajo la superficie, el agua sale disparada. Cuanto más profundo el orificio, más fuerte el chorro. La razón es que a mayor profundidad la presión del agua es mayor, y esa presión empuja el agua hacia afuera.
Torricelli descubrió que el agua sale con la misma rapidez que alcanzaría un objeto que cae libremente desde la superficie hasta el orificio, una altura $h$.
¿Y la presión atmosférica? Actúa igual sobre la superficie libre del agua (arriba) y sobre el chorro que sale por el orificio (afuera). Se compensa, y por eso no aparece en la fórmula. Solo cuenta la profundidad $h$.
Notá también que la rapidez no depende de la cantidad de agua ni del tamaño del tanque, ni de si el líquido es agua o aceite. Solo depende de $h$.
Un tanque abierto tiene un orificio pequeño a $0.80\ \text{m}$ por debajo de la superficie libre del agua. Calculá la rapidez con que sale el agua usando…
Un tanque abierto tiene un orificio pequeño a $0.80\ \text{m}$ por debajo de la superficie libre del agua. Calculá la rapidez con que sale el agua usando $v = \sqrt{2gh}$ con $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. Expresá el resultado en m/s.
¿Hasta dónde llega el chorro?
Un orificio más profundo da mayor rapidez. Pero ¿llega más lejos el chorro? Si sale horizontalmente, desde una altura $H$ sobre el suelo, el agua cae igual que cualquier proyectil horizontal (lo viste en 8.° grado): el tiempo de caída depende solo de $H$, y el alcance horizontal es $x = v\cdot t$.
Si dos chorros salen desde la misma altura sobre el suelo, caen en el mismo tiempo, así que llega más lejos el que sale con mayor rapidez.
Cambiá la rapidez en el interactivo y observá cómo se desplaza el punto de caída.
Un barril de agua en una casa de Santa Tecla tiene dos orificios iguales: uno a $0.20\ \text{m}$ y otro a $0.80\ \text{m}$ por debajo de la superficie libre. Calculá la…
Un barril de agua en una casa de Santa Tecla tiene dos orificios iguales: uno a $0.20\ \text{m}$ y otro a $0.80\ \text{m}$ por debajo de la superficie libre. Calculá la rapidez de salida en cada orificio con $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ y decí cuál chorro llega más lejos si ambos salen horizontalmente desde la misma altura sobre el suelo. Justificá con tus resultados.
Torricelli y caudal juntos
Con Torricelli sabés la rapidez de salida. Con $Q = A\,v$ obtenés el caudal por el orificio. Combinadas, responden preguntas como: ¿cuánta agua sale y cuánto tardo en llenar un barril?
Un tanque cilíndrico abierto contiene agua hasta $2.0\ \text{m}$ de altura. En la pared, a $1.5\ \text{m}$ por debajo de la superficie, hay un orificio circular de área…
Un tanque cilíndrico abierto contiene agua hasta $2.0\ \text{m}$ de altura. En la pared, a $1.5\ \text{m}$ por debajo de la superficie, hay un orificio circular de área $3\times10^{-4}\ \text{m}^2$. Calculá la rapidez de salida, el caudal en ese instante y el volumen que saldría en $10\ \text{s}$ si el nivel no cambiara. Luego explicá por qué en la realidad el caudal disminuye con el tiempo y cómo variaría la rapidez de salida cuando el nivel baje a $0.5\ \text{m}$ sobre el orificio. Usá $g = 9.8\ \text{m/s}^2$.
Un centro escolar quiere que una pila alimente un grifo con una rapidez de salida de $4.0\ \text{m/s}$ usando solo la altura del agua, sin bomba. Calculá la profundidad…
Un centro escolar quiere que una pila alimente un grifo con una rapidez de salida de $4.0\ \text{m/s}$ usando solo la altura del agua, sin bomba. Calculá la profundidad mínima $h$ del agua sobre el grifo con $v = \sqrt{2gh}$ y $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. Después, si el grifo tiene un área de salida de $1.5\times10^{-4}\ \text{m}^2$, calculá el caudal y el tiempo que tardaría en llenarse un barril de $200\ \text{L}$. Comentá si el resultado es razonable para esa aplicación y qué pasaría con el tiempo si se duplicara el área de salida.
Comprobalo con una botella
Podés comprobar Torricelli en el centro escolar con una botella plástica de 2 litros.
-
Con un clavo caliente hacé tres orificios iguales en una línea vertical, a distintas alturas. Tapalos con cinta.
-
Llená la botella de agua y mantenela al nivel de la superficie de una mesa, cerca del borde.
-
Quitá las cintas al mismo tiempo y observá hasta dónde llega cada chorro.
-
Medí con una regla el alcance de cada chorro y la altura de cada orificio. Repetí tres veces y calculá el promedio.
Verás que el chorro del orificio más bajo, el más profundo, sale con más rapidez. Pero ojo: también está más cerca del piso. Compará siempre midiendo la profundidad $h$ de cada orificio desde la superficie libre.
Con el reloj podés medir el caudal: recogé el agua de un orificio en un vaso graduado durante $10\ \text{s}$ y calculá $Q = V/t$. Compará con $A\,\sqrt{2gh}$. No coincidirán exactamente, porque hay rozamiento y el nivel baja. Anotá la diferencia como error de la medida.
Resumen
Volvé al principio: el chorro de la llave baja de la pila sale más fuerte porque está más profunda ($v=\sqrt{2gh}$), y se debilita cuando la pila se vacía porque $h$ disminuye.