Masas acopladas, plano inclinado y poleas
En la despensa de Lucas hay una caja pesada que se arrastra con una soga, y detrás de ella una segunda caja atada a la primera. Si tirás con una fuerza conocida, ¿con qué aceleración se mueve todo? ¿Y cuánto aguanta la soga que une las cajas? Con las leyes de Newton y un buen dibujo, se resuelve cualquier caso parecido. Al final de la página volvemos a la pregunta de la soga.
El método: diagrama de cuerpo libre y F = m·a
Todos los problemas de esta página se resuelven con la misma receta. No hace falta memorizar fórmulas distintas para cada caso.
-
Aislá cada cuerpo y dibujá solo las fuerzas que actúan sobre él: peso, normal, tensión, rozamiento, la fuerza que tira. Eso es el diagrama de cuerpo libre (DCL).
-
Elegí los ejes de modo que el movimiento ocurra a lo largo de uno de ellos. En un plano inclinado, un eje va paralelo al plano y el otro perpendicular.
-
Escribí la segunda ley en cada eje: $\sum F = m \cdot a$. Las fuerzas a favor del movimiento suman, las que van en contra restan.
-
Resolvé el sistema de ecuaciones. En el eje perpendicular al movimiento no hay aceleración: $\sum F = 0$.
Una cuerda ideal tiene masa despreciable y no se estira. Por eso la tensión es la misma en todos sus puntos y los cuerpos unidos se mueven con la misma aceleración. Una polea ideal no tiene masa ni rozamiento: solo cambia la dirección de la cuerda, sin cambiar su tensión.
Lucas empuja una caja de $20\ \text{kg}$ sobre el piso horizontal de la despensa de su familia con una fuerza horizontal constante de $60\ \text{N}$. Se desprecia el…
Lucas empuja una caja de $20\ \text{kg}$ sobre el piso horizontal de la despensa de su familia con una fuerza horizontal constante de $60\ \text{N}$. Se desprecia el rozamiento. Calculá la aceleración de la caja y explicá por qué la fuerza normal y el peso no influyen en esa aceleración.
Masas acopladas en una superficie horizontal
Dos cajas unidas por una cuerda, una tirando de la otra, forman un sistema acoplado. Como la cuerda es ideal, las dos cajas tienen la misma aceleración. Hay dos formas de resolver:
-
Tratar el conjunto como un solo cuerpo de masa $m_1 + m_2$ para hallar $a$.
-
Aplicar la segunda ley a una sola caja para hallar la tensión.
La tensión es menor que $F$: la cuerda solo tiene que acelerar la caja de atrás, mientras que $F$ acelera las dos.
Volviendo al principio: la soga entre las cajas soporta $T = m_B \cdot a$, no toda la fuerza con que tirás.
Dos cajas, A de $3\ \text{kg}$ y B de $2\ \text{kg}$, están unidas por una cuerda ideal y apoyadas sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Derlis tira de la caja A con…
Dos cajas, A de $3\ \text{kg}$ y B de $2\ \text{kg}$, están unidas por una cuerda ideal y apoyadas sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Derlis tira de la caja A con una fuerza horizontal de $25\ \text{N}$, de modo que B va detrás de A.
- a) Calculá la aceleración del conjunto.
- b) Calculá la tensión de la cuerda que une las cajas.
- c) Verificá tu resultado aplicando la segunda ley a la caja B.
Plano inclinado
Sobre un plano inclinado un ángulo $\theta$ con la horizontal, el peso $m \cdot g$ sigue siendo vertical. Conviene descomponerlo en dos componentes, con un eje paralelo y otro perpendicular al plano:
Porqué: si $\theta = 0^\circ$ (plano horizontal), $\sen\theta = 0$ y todo el peso aprieta contra el plano. Si $\theta = 90^\circ$ (caída vertical), $\cos\theta = 0$ y todo el peso tira hacia abajo.
Con el eje perpendicular al plano no hay movimiento, entonces $N = m \cdot g \cdot \cos\theta$. Con el eje paralelo, la fuerza que baja es $m \cdot g \cdot \sen\theta$ y el rozamiento cinético, $F_r = \mu_c \cdot N$, se opone al deslizamiento (sube por el plano).
Un bloque de masa $m$ descansa sobre un plano inclinado liso que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal. Dibujá el diagrama de cuerpo libre del bloque e indicá qué…
Un bloque de masa $m$ descansa sobre un plano inclinado liso que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal. Dibujá el diagrama de cuerpo libre del bloque e indicá qué fuerzas actúan. Luego escribí las expresiones de las componentes del peso paralela y perpendicular al plano, en función de $m$, $g$ y $\theta$.
Un bloque de $5\ \text{kg}$ se suelta desde el reposo en la parte alta de un plano inclinado $30^\circ$ con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre el…
Un bloque de $5\ \text{kg}$ se suelta desde el reposo en la parte alta de un plano inclinado $30^\circ$ con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano es $\mu_c = 0{,}20$. Tomá $\cos 30^\circ \approx 0{,}87$.
- a) Calculá la fuerza normal sobre el bloque.
- b) Calculá la fuerza de rozamiento.
- c) Calculá la aceleración con que desciende el bloque.
Poleas fijas y máquina de Atwood
Una polea fija ideal solo cambia la dirección de la fuerza. Si Fátima sostiene un balde de masa $m$ en reposo, la tensión de la cuerda es $T = m \cdot g$ y ella tira hacia abajo con esa misma fuerza. La polea no reduce el esfuerzo: lo hace más cómodo, porque tirar hacia abajo es más fácil que levantar.
La máquina de Atwood son dos cuerpos colgados de los extremos de una cuerda que pasa por una polea fija. El más pesado baja y el más liviano sube, con la misma aceleración en módulo.
Se aplica la segunda ley a cada cuerpo, tomando como positivo el sentido en que se mueve cada uno. Si $m_1 > m_2$:
-
Cuerpo 1 (baja): $m_1 \cdot g - T = m_1 \cdot a$
-
Cuerpo 2 (sube): $T - m_2 \cdot g = m_2 \cdot a$
Sumando las dos ecuaciones, $T$ desaparece:
$$a = \frac{(m_1 - m_2) \cdot g}{m_1 + m_2}$$Con $a$ se obtiene $T = m_2 \cdot (g + a)$.
Fátima sostiene en reposo un balde de $4\ \text{kg}$ colgado de una cuerda ideal que pasa por una polea fija sin rozamiento, tirando del otro extremo hacia abajo.…
Fátima sostiene en reposo un balde de $4\ \text{kg}$ colgado de una cuerda ideal que pasa por una polea fija sin rozamiento, tirando del otro extremo hacia abajo. Calculá la tensión de la cuerda y la fuerza con que Fátima tira. Explicá en una frase qué función cumple la polea fija en esta situación.
Una máquina de Atwood ideal (polea fija sin rozamiento y cuerda de masa despreciable) tiene dos cuerpos colgados de masas $m_1 = 6\ \text{kg}$ y $m_2 = 4\ \text{kg}$. Se…
Una máquina de Atwood ideal (polea fija sin rozamiento y cuerda de masa despreciable) tiene dos cuerpos colgados de masas $m_1 = 6\ \text{kg}$ y $m_2 = 4\ \text{kg}$. Se sueltan desde el reposo.
- a) Indicá hacia dónde se mueve cada cuerpo.
- b) Calculá la aceleración del sistema.
- c) Calculá la tensión de la cuerda.
Cuerpo en la mesa y cuerpo colgante; plano con polea
Es el caso más común. Un bloque A está sobre una superficie y una cuerda lo une, por una polea en el borde, a un bloque B que cuelga. Hay que escribir una ecuación por cada bloque, con un solo sentido de movimiento para ambos: A va en el sentido en que B baja.
Bloque A sobre la mesa horizontal: la tensión lo arrastra y el rozamiento cinético se opone.
$$T - \mu_c \cdot m_A \cdot g = m_A \cdot a$$Bloque B colgante: el peso lo baja y la tensión lo frena.
$$m_B \cdot g - T = m_B \cdot a$$Sumando se elimina $T$:
$$a = \frac{m_B \cdot g - \mu_c \cdot m_A \cdot g}{m_A + m_B}$$Si la mesa es lisa, $\mu_c = 0$. Si A está sobre un plano inclinado liso, la fuerza que lo arrastra hacia abajo del plano es $m_A \cdot g \cdot \sen\theta$. Comparando esa fuerza con el peso de B se decide hacia dónde se mueve el sistema, y si ambas son iguales queda en equilibrio.
Un bloque A de $8\ \text{kg}$ está sobre una mesa horizontal y está unido por una cuerda ideal, que pasa por una polea ideal en el borde de la mesa, a un bloque B de…
Un bloque A de $8\ \text{kg}$ está sobre una mesa horizontal y está unido por una cuerda ideal, que pasa por una polea ideal en el borde de la mesa, a un bloque B de $2\ \text{kg}$ que cuelga. El coeficiente de rozamiento cinético entre A y la mesa es $\mu_c = 0{,}10$ y el sistema se mueve.
- a) Dibujá los diagramas de cuerpo libre de A y de B.
- b) Planteá la segunda ley para cada bloque y calculá la aceleración del sistema.
- c) Calculá la tensión de la cuerda y explicá por qué es menor que el peso de B.
Un bloque A de $6\ \text{kg}$ está sobre un plano inclinado $30^\circ$ sin rozamiento. Una cuerda ideal lo une, a través de una polea ideal en lo alto del plano, con un…
Un bloque A de $6\ \text{kg}$ está sobre un plano inclinado $30^\circ$ sin rozamiento. Una cuerda ideal lo une, a través de una polea ideal en lo alto del plano, con un bloque B de $4\ \text{kg}$ que cuelga verticalmente. Se suelta el sistema desde el reposo.
- a) Determiná, comparando las fuerzas que tiran a lo largo de la cuerda, hacia dónde se mueve el sistema.
- b) Calculá el módulo de la aceleración y la tensión de la cuerda.
- c) Calculá qué masa debería tener B para que el sistema quede en equilibrio y explicá si ese equilibrio depende de la masa de A o solo de la relación entre las fuerzas.