Producto de un escalar por un vector, producto punto y producto cruz
Derlis trabaja en el Mercado 4 de Asunción y arrastra una carretilla con cajas. Tirar de la manija inclinada hacia arriba le cansa más que empujar a ras del piso, aunque use la misma fuerza. ¿Por qué? Porque no toda la fuerza trabaja a favor del movimiento. Para medir cuánta fuerza «aprovecha» y para calcular otras magnitudes como el torque, necesitás multiplicar vectores. Hay dos maneras de hacerlo, y dan resultados de naturaleza distinta.
Producto de un escalar por un vector
Antes, un repaso de FUERZ-VECT: para sumar o restar vectores se operan las componentes. Si $\vec{a} = (a_x; a_y)$ y $\vec{b} = (b_x; b_y)$, entonces $\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x; a_y + b_y)$ y $\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x; a_y - b_y)$. Por ejemplo, $(2; 1) - (3; -2) = (-1; 3)$.
Un escalar es un número solo, como $k = 3$. Un vector tiene módulo, dirección y sentido. Cuando multiplicás un vector $\vec{v}$ por un escalar $k$ obtenés un vector nuevo $k\vec{v}$:
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Módulo: $|k\vec{v}| = |k|\cdot|\vec{v}|$. Se estira o se achica según el valor de $|k|$.
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Dirección: la misma que $\vec{v}$ (queda sobre la misma recta).
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Sentido: el mismo de $\vec{v}$ si $k > 0$, y el contrario si $k < 0$.
Por componentes, se multiplica cada componente: si $\vec{v} = (v_x; v_y)$, entonces $k\vec{v} = (k\,v_x;\ k\,v_y)$.
¿Por qué se invierte el sentido? Porque $-\vec{v}$ es «el vector que sumado con $\vec{v}$ da cero»: tiene que apuntar para el lado contrario. Un escalar negativo es ese «volver para atrás» multiplicado por $|k|$.
Un vector $\vec{v}$ tiene módulo $4$ m y apunta hacia el este. Si lo multiplicás por el escalar $k = 3$, escribí la notación del nuevo vector, indicá su módulo, su…
Un vector $\vec{v}$ tiene módulo $4$ m y apunta hacia el este. Si lo multiplicás por el escalar $k = 3$, escribí la notación del nuevo vector, indicá su módulo, su dirección y su sentido, y hacé un esquema que muestre ambos vectores.
Sea el vector $\vec{a} = (2; -3)$ expresado en metros. Calculá $-2\vec{a}$ y explicá qué ocurre con el sentido del vector cuando el escalar es negativo. Representalo…
Sea el vector $\vec{a} = (2; -3)$ expresado en metros. Calculá $-2\vec{a}$ y explicá qué ocurre con el sentido del vector cuando el escalar es negativo. Representalo gráficamente junto con $\vec{a}$.
Producto punto
El producto punto toma dos vectores y devuelve un número (un escalar). Se escribe $\vec{a}\cdot\vec{b}$ y se lee «a punto b».
Tiene dos formas de calcularse, que dan el mismo valor.
Con las componentes, si $\vec{a} = (a_x; a_y)$ y $\vec{b} = (b_x; b_y)$:
$$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x\,b_x + a_y\,b_y$$En tres dimensiones se suma también $a_z\,b_z$.
Con los módulos y el ángulo $\theta$ entre los vectores (con las colas juntas):
$$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta$$Mirá qué dice el coseno:
| Ángulo $\theta$ | $\cos\theta$ | $\vec{a}\cdot\vec{b}$ |
|---|---|---|
| $0^\circ$ (misma dirección y sentido) | $1$ | máximo, positivo |
| menor que $90^\circ$ | positivo | positivo |
| $90^\circ$ (perpendiculares) | $0$ | cero |
| mayor que $90^\circ$ | negativo | negativo |
| $180^\circ$ (sentidos opuestos) | $-1$ | mínimo, negativo |
Por eso el producto punto sirve para saber si dos vectores son perpendiculares: si $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ (y ninguno es nulo), forman $90^\circ$.
Como las dos fórmulas valen a la vez, podés despejar el ángulo:
$$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}$$Dados los vectores $\vec{a} = (3; 4)$ y $\vec{b} = (2; -1)$, calculá el producto punto $\vec{a}\cdot\vec{b}$ con las componentes. Después hallá los módulos de ambos…
Dados los vectores $\vec{a} = (3; 4)$ y $\vec{b} = (2; -1)$, calculá el producto punto $\vec{a}\cdot\vec{b}$ con las componentes. Después hallá los módulos de ambos vectores y, con la definición $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, determiná el ángulo $\theta$ entre ellos. Expresá el resultado en grados con una cifra decimal.
El producto punto y el trabajo
Volvé a la carretilla de Derlis. Cuando una fuerza constante $\vec{F}$ mueve un cuerpo un desplazamiento $\vec{d}$, el trabajo es el producto punto de ambos:
$$W = \vec{F}\cdot\vec{d} = |\vec{F}|\,|\vec{d}|\cos\theta$$Se mide en joules (J), porque $1\ \text{J} = 1\ \text{N}\cdot 1\ \text{m}$.
¿Por qué el coseno? Porque solo la parte de la fuerza que apunta a lo largo del desplazamiento hace que el cuerpo avance: la componente $F\cos\theta$. La otra parte, $F\,\text{sen}\,\theta$, tira hacia arriba y no ayuda a mover la carretilla por el piso. Probalo con el interactivo: movés el ángulo y mirás cómo cambia la componente horizontal.
Lucas arrastra una caja por el piso del patio de su colegio en San Lorenzo con una fuerza de $50$ N que forma un ángulo de $60^\circ$ con la horizontal. La caja se…
Lucas arrastra una caja por el piso del patio de su colegio en San Lorenzo con una fuerza de $50$ N que forma un ángulo de $60^\circ$ con la horizontal. La caja se desplaza $8$ m en línea recta horizontal. Usando el producto punto entre el vector fuerza y el vector desplazamiento, calculá el trabajo realizado. Indicá la unidad del resultado y explicá por qué solo cuenta la componente de la fuerza paralela al desplazamiento.
Producto cruz
El producto cruz también toma dos vectores, pero devuelve otro vector: $\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}$ («a cruz b»).
Tiene tres características:
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Módulo: $|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\text{sen}\,\theta$, con $\theta$ el ángulo entre los vectores.
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Dirección: perpendicular al plano que forman $\vec{a}$ y $\vec{b}$.
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Sentido: el de la regla de la mano derecha: con los dedos de la mano derecha extendidos en el sentido de $\vec{a}$, los curvás hacia $\vec{b}$ por el ángulo menor. El pulgar apunta en el sentido de $\vec{a}\times\vec{b}$.
Fijate en lo que dice el seno: es máximo a $90^\circ$ y cero si los vectores son paralelos ($\theta = 0^\circ$ o $180^\circ$). Es lo contrario del producto punto.
Además, el producto cruz no es conmutativo: $\vec{b}\times\vec{a} = -(\vec{a}\times\vec{b})$. Al cambiar el orden, el sentido se invierte.
Con las componentes se usa el determinante con la base $\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$ (vectores unitarios sobre los ejes $x$, $y$, $z$):
$$\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y)\,\hat{\imath} - (a_x b_z - a_z b_x)\,\hat{\jmath} + (a_x b_y - a_y b_x)\,\hat{k}$$Para resumir las diferencias entre las dos multiplicaciones:
| Producto punto | Producto cruz | |
|---|---|---|
| Resultado | escalar | vector |
| Módulo | $\vert a\vert\vert b\vert\cos\theta$ | $\vert a\vert\vert b\vert\,\text{sen}\,\theta$ |
| Es cero si… | son perpendiculares | son paralelos |
| ¿Conmutativo? | sí | no (cambia el signo) |
| Ejemplo físico | trabajo | torque |
Completá la siguiente comparación entre el producto punto $\vec{a}\cdot\vec{b}$ y el producto cruz $\vec{a}\times\vec{b}$: indicá si el resultado de cada uno es un…
Completá la siguiente comparación entre el producto punto $\vec{a}\cdot\vec{b}$ y el producto cruz $\vec{a}\times\vec{b}$: indicá si el resultado de cada uno es un escalar o un vector, y nombrá una magnitud física que se obtenga con cada uno de ellos (por ejemplo, el trabajo o el torque).
Sean $\vec{u} = (1; 2; 0)$ y $\vec{w} = (0; 1; 3)$. Calculá $\vec{u}\times\vec{w}$ con el determinante de la base $\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$. Verificá luego…
Sean $\vec{u} = (1; 2; 0)$ y $\vec{w} = (0; 1; 3)$. Calculá $\vec{u}\times\vec{w}$ con el determinante de la base $\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$. Verificá luego que el vector obtenido es perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{w}$ mediante el producto punto, e indicá qué regla de la mano derecha determina su sentido.
Torque y área del paralelogramo
El producto cruz tiene dos aplicaciones muy importantes.
1. Torque (momento de una fuerza). Cuando aplicás una fuerza $\vec{F}$ en un punto ubicado en $\vec{r}$ respecto del eje de giro, el torque es
$$\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F} \qquad |\vec{\tau}| = r\,F\,\text{sen}\,\theta$$y se mide en N·m. Es máximo cuando la fuerza es perpendicular a la barra ($\theta = 90^\circ$) y nulo si empujás en la dirección de la barra. La dirección del torque es la del eje de giro, y el sentido sale de la mano derecha.
¿Por qué importa el ángulo? Porque solo la componente de $\vec{F}$ perpendicular a la llave, $F\,\text{sen}\,\theta$, la hace girar. Por eso se aflojan las tuercas con una llave larga y empujando a $90^\circ$.
2. Área. El módulo $|\vec{a}\times\vec{b}|$ es el área del paralelogramo construido con $\vec{a}$ y $\vec{b}$: base $|\vec{a}|$ por altura $|\vec{b}|\,\text{sen}\,\theta$. La mitad es el área del triángulo.
Fátima sostiene una llave de tuerca de $0{,}30$ m para aflojar una tuerca de la rueda del auto de su familia. Aplica una fuerza de $120$ N en el extremo de la llave,…
Fátima sostiene una llave de tuerca de $0{,}30$ m para aflojar una tuerca de la rueda del auto de su familia. Aplica una fuerza de $120$ N en el extremo de la llave, formando un ángulo de $70^\circ$ con ella. Usando el producto cruz $\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}$, calculá el módulo del torque. Después comparalo con el que obtendría si la fuerza fuera perpendicular a la llave y determiná cuál tendría que ser el ángulo para lograr el torque máximo. Argumentá tu respuesta y esquematizá la situación indicando la dirección y el sentido del torque.
Dados $\vec{a} = (2; -1; 2)$ y $\vec{b} = (1; 2; -2)$, calculá $\vec{a}\cdot\vec{b}$ y $\vec{a}\times\vec{b}$. Con ambos resultados determiná el ángulo entre los…
Dados $\vec{a} = (2; -1; 2)$ y $\vec{b} = (1; 2; -2)$, calculá $\vec{a}\cdot\vec{b}$ y $\vec{a}\times\vec{b}$. Con ambos resultados determiná el ángulo entre los vectores de dos maneras distintas: una con el producto punto y otra con el módulo del producto cruz, usando $|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\operatorname{sen}\theta$. Explicá por qué las dos maneras deben coincidir y qué pasa con el área del paralelogramo formado por $\vec{a}$ y $\vec{b}$.