Ejercicios: Producto de un escalar por un vector, producto punto y producto cruz

Un vector $\vec{v}$ tiene módulo $4$ m y apunta hacia el este. Si lo multiplicás por el escalar $k = 3$, escribí la notación del nuevo vector, indicá su módulo, su dirección y su sentido, y hacé un esquema que muestre ambos vectores.

Sea el vector $\vec{a} = (2; -3)$ expresado en metros. Calculá $-2\vec{a}$ y explicá qué ocurre con el sentido del vector cuando el escalar es negativo. Representalo gráficamente junto con $\vec{a}$.

Completá la siguiente comparación entre el producto punto $\vec{a}\cdot\vec{b}$ y el producto cruz $\vec{a}\times\vec{b}$: indicá si el resultado de cada uno es un escalar o un vector, y nombrá una magnitud física que se obtenga con cada uno de ellos (por ejemplo, el trabajo o el torque).

Dados los vectores $\vec{a} = (3; 4)$ y $\vec{b} = (2; -1)$, calculá el producto punto $\vec{a}\cdot\vec{b}$ con las componentes. Después hallá los módulos de ambos vectores y, con la definición $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, determiná el ángulo $\theta$ entre ellos. Expresá el resultado en grados con una cifra decimal.

Lucas arrastra una caja por el piso del patio de su colegio en San Lorenzo con una fuerza de $50$ N que forma un ángulo de $60^\circ$ con la horizontal. La caja se desplaza $8$ m en línea recta horizontal. Usando el producto punto entre el vector fuerza y el vector desplazamiento, calculá el trabajo realizado. Indicá la unidad del resultado y explicá por qué solo cuenta la componente de la fuerza paralela al desplazamiento.

Sean $\vec{u} = (1; 2; 0)$ y $\vec{w} = (0; 1; 3)$. Calculá $\vec{u}\times\vec{w}$ con el determinante de la base $\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$. Verificá luego que el vector obtenido es perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{w}$ mediante el producto punto, e indicá qué regla de la mano derecha determina su sentido.

Fátima sostiene una llave de tuerca de $0{,}30$ m para aflojar una tuerca de la rueda del auto de su familia. Aplica una fuerza de $120$ N en el extremo de la llave, formando un ángulo de $70^\circ$ con ella. Usando el producto cruz $\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}$, calculá el módulo del torque. Después comparalo con el que obtendría si la fuerza fuera perpendicular a la llave y determiná cuál tendría que ser el ángulo para lograr el torque máximo. Argumentá tu respuesta y esquematizá la situación indicando la dirección y el sentido del torque.

Dados $\vec{a} = (2; -1; 2)$ y $\vec{b} = (1; 2; -2)$, calculá $\vec{a}\cdot\vec{b}$ y $\vec{a}\times\vec{b}$. Con ambos resultados determiná el ángulo entre los vectores de dos maneras distintas: una con el producto punto y otra con el módulo del producto cruz, usando $|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\operatorname{sen}\theta$. Explicá por qué las dos maneras deben coincidir y qué pasa con el área del paralelogramo formado por $\vec{a}$ y $\vec{b}$.