Dilatación lineal, superficial y volumétrica
En Managua, a las dos de la tarde, los cables del tendido eléctrico cuelgan más flojos que a las cinco de la madrugada. Nadie los aflojó: el calor los hizo más largos. ¿Cuánto crece un cable, un riel o un tanque de gasolina cuando sube la temperatura? Al final de la página lo calcularás.
Por qué se dilatan los cuerpos
Un sólido está formado por partículas (átomos o moléculas) que vibran alrededor de una posición. Cuando la temperatura sube, la agitación térmica aumenta: cada partícula vibra con más amplitud y empuja un poco más a sus vecinas. Resultado: la distancia media entre partículas crece y todo el cuerpo se hace más grande. A este aumento de tamaño con la temperatura se le llama dilatación térmica.
Fíjate en dos cosas:
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Se dilata todo el cuerpo: largo, ancho y alto. Por eso hablamos de tres tipos de dilatación: lineal (una dimensión), superficial (área) y volumétrica (volumen).
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Cuando el cuerpo se enfría, ocurre lo contrario: se contrae.
Cuál de las tres importa más depende de la forma. Un cable o una varilla son largos y delgados, así que lo que se nota es el cambio de longitud (lineal). Una lámina de zinc de un techo pide pensar en el área, y un líquido en un tanque, en el volumen.
Los rieles de una vía y los cables del tendido eléctrico se dejan con cierta holgura. Explica con tus palabras por qué ocurre esto y nombra qué tipo de dilatación…
Los rieles de una vía y los cables del tendido eléctrico se dejan con cierta holgura. Explica con tus palabras por qué ocurre esto y nombra qué tipo de dilatación (lineal, superficial o volumétrica) predomina en un cable largo y delgado.
Dilatación lineal
Si calientas una varilla, ¿de qué depende cuánto se alarga? La experiencia dice tres cosas:
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Cuanto más larga es al inicio, más se alarga (la mitad de varilla se alarga la mitad).
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Cuanto mayor es el cambio de temperatura, más se alarga.
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Depende del material: el aluminio se alarga más que el acero con el mismo calentamiento.
Juntando las tres ideas, el alargamiento es proporcional a $L_0$ y a $\Delta T$:
El coeficiente $\alpha$ indica la fracción de su longitud que aumenta cada metro de material por cada grado Celsius. Si $\alpha = 1.2\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$, un metro de ese material se alarga $0.000012\ \text{m}$ por cada $1\ °\text{C}$ que sube.
| Material | $\alpha\ (°\text{C}^{-1})$ |
|---|---|
| Vidrio común | $0.9\times10^{-5}$ |
| Acero | $1.2\times10^{-5}$ |
| Cobre | $1.7\times10^{-5}$ |
| Latón | $1.9\times10^{-5}$ |
| Aluminio | $2.4\times10^{-5}$ |
Prueba cómo cambia el alargamiento de un riel de $12\ \text{m}$ (la gráfica da $\Delta L$ en milímetros; $a$ es $\alpha$ en unidades de $10^{-6}\ °\text{C}^{-1}$, así que $a = 12$ es el acero):
Una varilla de aluminio mide $2.00\ \text{m}$ a $20\ °\text{C}$. Su coeficiente de dilatación lineal es $\alpha = 2.4\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$. Escribe la ecuación…
Una varilla de aluminio mide $2.00\ \text{m}$ a $20\ °\text{C}$. Su coeficiente de dilatación lineal es $\alpha = 2.4\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$. Escribe la ecuación que permite calcular su variación de longitud y calcula cuánto se alarga cuando se calienta hasta $70\ °\text{C}$.
Un puente metálico de $120\ \text{m}$ de longitud a $20\ °\text{C}$ está hecho de un acero con $\alpha = 1.2\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$. Durante el año la temperatura…
Un puente metálico de $120\ \text{m}$ de longitud a $20\ °\text{C}$ está hecho de un acero con $\alpha = 1.2\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$. Durante el año la temperatura va de $18\ °\text{C}$ a $42\ °\text{C}$. Calcula la variación total de longitud entre esos dos extremos y explica para qué sirven las juntas de dilatación.
Dilatación superficial y volumétrica
Una lámina de metal crece en largo y en ancho. Si cada lado aumenta la fracción $\alpha\,\Delta T$, el área, que es largo por ancho, aumenta aproximadamente el doble de esa fracción:
$$A = (L_0(1+\alpha\Delta T))^2 = A_0\,(1 + 2\alpha\Delta T + \alpha^2\Delta T^2) \approx A_0\,(1 + 2\alpha\Delta T)$$El término $\alpha^2\Delta T^2$ es diminuto (del orden de $10^{-6}$ o menos) y se desprecia. Con el volumen (tres dimensiones) pasa igual, con factor 3.
Completa la relación entre los coeficientes de dilatación de un mismo material isótropo: el coeficiente superficial es $\beta \approx \\\ \alpha$ y el volumétrico es…
Completa la relación entre los coeficientes de dilatación de un mismo material isótropo: el coeficiente superficial es $\beta \approx \_\_\ \alpha$ y el volumétrico es $\gamma \approx \_\_\ \alpha$. Luego, si $\alpha = 1.2\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$ para el acero, calcula $\gamma$.
Una lámina cuadrada de cobre de $0.50\ \text{m}$ de lado se encuentra a $25\ °\text{C}$ en un taller de Masaya. El coeficiente de dilatación lineal del cobre es…
Una lámina cuadrada de cobre de $0.50\ \text{m}$ de lado se encuentra a $25\ °\text{C}$ en un taller de Masaya. El coeficiente de dilatación lineal del cobre es $1.7\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$. Calcula el área final de la lámina cuando se calienta hasta $225\ °\text{C}$ y el aumento de área que experimenta.
Líquidos, recipientes y orificios
Líquidos en recipientes
Los líquidos no tienen forma propia, así que solo tiene sentido hablar de su dilatación volumétrica, con su propio $\gamma$. Y como el recipiente también se dilata, lo que se derrama es la diferencia:
$$V_{\text{derramado}} = \Delta V_{\text{líquido}} - \Delta V_{\text{recipiente}}$$Los líquidos suelen tener un $\gamma$ mucho mayor que el de los sólidos; por eso se derraman al calentarse.
Orificios en una placa
Si una placa tiene un agujero y la calientas, ¿el agujero se achica o se agranda? Imagina que el agujero está lleno del mismo metal: al calentar, ese trozo se dilataría como todo lo demás. El agujero se comporta como si fuera de ese material: se agranda. La dilatación es un escalamiento uniforme de todo el cuerpo, huecos incluidos. Por eso un tapón metálico apretado en un frasco de vidrio se afloja al calentarlo con agua tibia.
Así, el diámetro del orificio se calcula como una dilatación lineal: $D = D_0\,(1 + \alpha\,\Delta T)$.
Un tanque de acero de $200\ \text{L}$ se llena completamente de gasolina a $15\ °\text{C}$ en una gasolinera de Managua. Luego queda al sol y la temperatura sube a…
Un tanque de acero de $200\ \text{L}$ se llena completamente de gasolina a $15\ °\text{C}$ en una gasolinera de Managua. Luego queda al sol y la temperatura sube a $35\ °\text{C}$. El coeficiente de dilatación volumétrica de la gasolina es $9.5\times10^{-4}\ °\text{C}^{-1}$ y el del acero es $3.6\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$. Calcula cuánto se dilata la gasolina, cuánto aumenta la capacidad del tanque y qué volumen de gasolina se derrama.
Una placa metálica tiene un orificio circular de $4.00\ \text{cm}$ de diámetro a $20\ °\text{C}$. Se calienta hasta $220\ °\text{C}$ y el material tiene…
Una placa metálica tiene un orificio circular de $4.00\ \text{cm}$ de diámetro a $20\ °\text{C}$. Se calienta hasta $220\ °\text{C}$ y el material tiene $\alpha = 2.2\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$. Un estudiante afirma que el orificio se achica porque el metal «se hincha hacia adentro». Calcula el diámetro final del orificio, decide si la afirmación es correcta y argumenta tu respuesta.
Comparar dos materiales y aplicaciones
La dilatación no es solo un cálculo: es un problema de ingeniería.
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Rieles, puentes y cables: se dejan juntas de dilatación (pequeños espacios) para que al calentarse haya sitio donde crecer. Sin ellas, la estructura se pandea o se agrieta.
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Cables del tendido: se tienden algo flojos para que en la madrugada, al contraerse, no se tensen demasiado.
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Concreto armado: el acero y el concreto tienen $\alpha$ casi iguales; si no, se separarían con los cambios de temperatura.
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Termómetros de líquido: miden la temperatura porque el líquido se dilata más que el tubo de vidrio.
Cuando dos barras de materiales distintos tienen longitudes iniciales diferentes, la que tiene mayor $\alpha$ puede «alcanzar» a la otra. Para saber a qué temperatura igualan su longitud, escribe $L(T) = L_0\,(1+\alpha T)$ para cada una (con $T$ medida desde $0\ °\text{C}$) e iguala.
Si el resultado de $T$ saliera fuera del rango del problema (por ejemplo, mayor que $500\ °\text{C}$), la respuesta es que no se igualan en ese rango: se comprueba y se explica.
Una barra de latón ($\alpha = 1.9\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$) y una de acero ($\alpha = 1.2\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$) miden $1.00\ \text{m}$ y $1.50\ \text{m}$…
Una barra de latón ($\alpha = 1.9\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$) y una de acero ($\alpha = 1.2\times10^{-5}\ °\text{C}^{-1}$) miden $1.00\ \text{m}$ y $1.50\ \text{m}$ respectivamente a $0\ °\text{C}$. Calcula a qué temperatura tendrían la misma longitud si fuera posible, o demuestra que no la alcanzan en el rango de $0\ °\text{C}$ a $500\ °\text{C}$. Analiza además qué ocurre con la diferencia de longitudes cuando aumenta la temperatura.
Vuelve al principio: a las dos de la tarde el cable está más caliente, $\Delta T$ es positivo, $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$ es positivo y el cable se alarga y cuelga más; en la madrugada se contrae y queda más tenso.
Resumen
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La dilatación térmica ocurre porque la agitación térmica aumenta la distancia media entre partículas. Al enfriar, el cuerpo se contrae.
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Lineal: $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$. Superficial: $\Delta A = \beta A_0 \Delta T$. Volumétrica: $\Delta V = \gamma V_0 \Delta T$.
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Para materiales isótropos: $\beta \approx 2\alpha$ y $\gamma \approx 3\alpha$.
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$\Delta T = T_f - T_i$; si baja la temperatura, $\Delta T$ y $\Delta L$ son negativos.
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Los orificios se agrandan al calentar. En un recipiente lleno, el líquido derramado es $\Delta V_{\text{líquido}} - \Delta V_{\text{recipiente}}$.
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Las juntas de dilatación dejan espacio para que puentes y rieles crezcan sin dañarse.