Fuerza centrípeta y peralte de una curva
Usted va en un bus por el bulevar Morazán y el conductor toma una curva cerrada. Su cuerpo se siente empujado hacia la ventana, aunque nadie lo empuje. ¿Qué fuerza obliga al bus a girar? ¿Por qué las curvas de las carreteras se construyen inclinadas? En esta página responderemos ambas preguntas.
Del movimiento lineal al rotacional
Una cabina de la rueda de la fortuna en la feria describe un círculo. Todas las cabinas dan una vuelta en el mismo tiempo, pero la que está más lejos del eje recorre un círculo más grande. Por eso va más rápido.
Dos magnitudes describen este movimiento:
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La velocidad angular $\omega$ (en rad/s) dice qué tan rápido gira el conjunto. Es igual para todos los puntos de la rueda.
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La rapidez lineal $v$ (en m/s) es la rapidez con que se mueve un punto. Depende de qué tan lejos esté del eje.
El porqué: en una vuelta completa, un punto recorre $2\pi r$ en un tiempo $T$. Entonces $v = \dfrac{2\pi r}{T} = \omega r$.
Una rueda de la fortuna de la feria gira con una velocidad angular de $0.50\ \text{rad/s}$. Una cabina está a $8.0\ \text{m}$ del eje. Calcule la rapidez lineal de la…
Una rueda de la fortuna de la feria gira con una velocidad angular de $0.50\ \text{rad/s}$. Una cabina está a $8.0\ \text{m}$ del eje. Calcule la rapidez lineal de la cabina usando la relación entre movimiento lineal y rotacional.
La fuerza centrípeta
Cuando un cuerpo se mueve en círculo con rapidez constante, la dirección de su velocidad cambia todo el tiempo. Cambiar la velocidad es acelerar. Esa aceleración apunta hacia el centro y se llama aceleración centrípeta:
$$a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$Por la segunda ley de Newton, si hay aceleración hacia el centro, tiene que haber una fuerza neta hacia el centro.
Observe que no es una fuerza nueva. Es el nombre que se le da al resultado de las fuerzas reales (tensión, fricción, normal, peso) que apuntan al centro. En un diagrama de cuerpo libre no se dibuja una flecha extra llamada «centrípeta». Se dibujan las fuerzas reales, y su suma hacia el centro es $F_c$.
La velocidad es tangente al círculo. La fuerza apunta al centro, perpendicular a la velocidad. Por eso la fuerza cambia la dirección de $v$ pero no su valor.
Explique con sus propias palabras qué es la fuerza centrípeta, hacia dónde apunta y si es una fuerza distinta de las demás (como la tensión o la fricción) o el resultado…
Explique con sus propias palabras qué es la fuerza centrípeta, hacia dónde apunta y si es una fuerza distinta de las demás (como la tensión o la fricción) o el resultado de ellas. Escriba su expresión en función de la masa, la rapidez y el radio.
Una piedra de $0.50\ \text{kg}$ atada a una cuerda gira en un círculo horizontal de $2.0\ \text{m}$ de radio con una rapidez de $4.0\ \text{m/s}$. Calcule la fuerza…
Una piedra de $0.50\ \text{kg}$ atada a una cuerda gira en un círculo horizontal de $2.0\ \text{m}$ de radio con una rapidez de $4.0\ \text{m/s}$. Calcule la fuerza centrípeta que ejerce la cuerda sobre la piedra.
Curva plana: la fricción hace de fuerza centrípeta
Un carro que toma una curva en una carretera horizontal necesita una fuerza hacia el centro de la curva. La única fuerza horizontal que actúa sobre él es la fricción estática entre las llantas y el pavimento. Esa fricción es la fuerza centrípeta.
La fricción estática tiene un máximo: $f_{s,\max} = \mu_s N = \mu_s m g$, porque en una superficie plana $N = mg$. El carro no derrapa mientras
$$\frac{m v^2}{r} \le \mu_s\, m g$$Cuando se llega al límite, la masa se cancela y queda:
El porqué de la masa: un carro más pesado necesita más fuerza centrípeta, pero también la fricción es mayor. Los dos efectos se compensan.
Un carro de $1{,}200\ \text{kg}$ toma una curva plana de $50\ \text{m}$ de radio en el bulevar Morazán, a $15\ \text{m/s}$. Calcule la fuerza centrípeta necesaria e…
Un carro de $1{,}200\ \text{kg}$ toma una curva plana de $50\ \text{m}$ de radio en el bulevar Morazán, a $15\ \text{m/s}$. Calcule la fuerza centrípeta necesaria e indique qué fuerza real la proporciona. Luego determine qué ocurre con esa fuerza si la rapidez se duplica.
Una curva plana de carretera tiene un radio de $80\ \text{m}$ y el coeficiente de fricción estática entre las llantas y el asfalto seco es $0.60$. Considere…
Una curva plana de carretera tiene un radio de $80\ \text{m}$ y el coeficiente de fricción estática entre las llantas y el asfalto seco es $0.60$. Considere $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. Calcule la rapidez máxima, en m/s y en km/h, con la que un carro puede tomar la curva sin derrapar. Explique por qué el valor disminuye cuando el pavimento está mojado.
Peralte de una curva
Con lluvia o con hielo la fricción casi desaparece. Para no depender de ella, los ingenieros inclinan la curva hacia el centro. Este ángulo se llama peralte.
En una curva peraltada sin fricción actúan solo dos fuerzas: el peso $mg$ (vertical) y la normal $N$ (perpendicular a la pista, inclinada un ángulo $\theta$). La componente horizontal de $N$ apunta al centro y es la fuerza centrípeta.
Las ecuaciones de Newton son:
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Vertical (no hay aceleración): $N\cos\theta = mg$
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Horizontal, hacia el centro: $N\sin\theta = \dfrac{m v^2}{r}$
Al dividir la segunda entre la primera, $N$ y $m$ se cancelan:
¿Qué pasa si el carro no va a la rapidez ideal?
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Si va más rápido, necesita más fuerza centrípeta de la que da la normal. Tiende a deslizarse hacia arriba, hacia el borde exterior de la curva, y la fricción debe apuntar hacia abajo de la pendiente.
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Si va más lento, tiende a deslizarse hacia abajo, hacia el interior, y la fricción apunta hacia arriba de la pendiente.
Una curva peraltada de $60\ \text{m}$ de radio está diseñada para que un carro la tome sin necesitar fricción a $18\ \text{m/s}$. Considere $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ y use…
Una curva peraltada de $60\ \text{m}$ de radio está diseñada para que un carro la tome sin necesitar fricción a $18\ \text{m/s}$. Considere $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ y use la relación $\tan\theta = \dfrac{v^2}{r\,g}$. Calcule el ángulo de peralte de la curva.
Un bus de $8{,}000\ \text{kg}$ recorre una curva peraltada de $100\ \text{m}$ de radio y ángulo de peralte de $10^\circ$. Considere $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. (a) Calcule…
Un bus de $8{,}000\ \text{kg}$ recorre una curva peraltada de $100\ \text{m}$ de radio y ángulo de peralte de $10^\circ$. Considere $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. (a) Calcule la rapidez ideal a la que no se necesita fricción. (b) Analice qué pasaría con la necesidad de fricción si el conductor va más rápido que esa rapidez ideal y hacia dónde tendería a deslizarse el bus. (c) Argumente si la rapidez ideal depende de la masa del vehículo.
Círculo vertical
Si usted hace girar una cubeta con agua en un círculo vertical, la fuerza centrípeta cambia de punto a punto, porque el peso unas veces ayuda a apuntar al centro y otras no. Siempre se plantea:
$$\sum F_{\text{hacia el centro}} - \sum F_{\text{hacia afuera}} = \frac{m v^2}{r}$$-
Punto más bajo: el centro está arriba. La tensión $T$ apunta al centro y el peso $mg$ se aleja de él: $T - mg = \dfrac{m v^2}{r}$, entonces $T = mg + \dfrac{m v^2}{r}$.
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Punto más alto: el centro está abajo. La tensión y el peso apuntan al centro: $T + mg = \dfrac{m v^2}{r}$, entonces $T = \dfrac{m v^2}{r} - mg$.
La tensión es mayor abajo que arriba: abajo tiene que sostener el peso y además dar la fuerza centrípeta.
El agua no se derrama en el punto más alto mientras la cuerda pueda tirar. El caso límite es $T = 0$: solo el peso hace de fuerza centrípeta, $mg = \dfrac{m v^2}{r}$, y resulta
$$v_{\min} = \sqrt{g\,r}$$Una cubeta con agua, de $2.0\ \text{kg}$ en total, se hace girar en un círculo vertical con una cuerda de $0.80\ \text{m}$. Considere $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. (a)…
Una cubeta con agua, de $2.0\ \text{kg}$ en total, se hace girar en un círculo vertical con una cuerda de $0.80\ \text{m}$. Considere $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. (a) Determine la rapidez mínima en el punto más alto para que el agua no se derrame. (b) Con una rapidez de $5.0\ \text{m/s}$ en el punto más bajo, calcule la tensión de la cuerda en ese punto. (c) Compare la tensión en el punto más bajo con la del punto más alto y justifique la diferencia.
Vuelva al principio: lo que empuja al bus hacia el interior de la curva es la fricción de las llantas, que hace de fuerza centrípeta. Su sensación de ir hacia la ventana es la inercia de su cuerpo. Las curvas se inclinan para que la normal aporte la fuerza centrípeta y se dependa menos de la fricción.