Sucesión creciente
Ixchel ahorra Q200 el primer mes para comprar un celular y cada mes guarda Q15 más que el anterior. ¿Cómo estar seguro de que en el mes 100 guarda más que en el mes 99, sin calcular los 100 términos? Con una demostración que valga para todo $n$.
El criterio de la diferencia
¿Por qué funciona? Si cada paso $a_{n+1}-a_n$ es positivo, cada término se queda por encima del anterior, y así sucesivamente sin excepción.
Para Ixchel (en quetzales): $a_n = 200 + 15(n-1) = 15n + 185$, y $a_{n+1}-a_n = 15(n+1)+185-(15n+185) = 15 > 0$. Vuelve al principio: en cualquier mes guarda Q15 más que en el anterior, así que la sucesión es estrictamente creciente.
Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión $a_n = 3n - 5$ y comprueba, calculando la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que se trata de una sucesión estrictamente…
Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión $a_n = 3n - 5$ y comprueba, calculando la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que se trata de una sucesión estrictamente creciente.
Determina si la sucesión $c_n = n^2 + 2n$ es creciente. Para ello, calcula algebraicamente la diferencia entre el término $n+1$ y el término $n$, y analiza el signo del…
Determina si la sucesión $c_n = n^2 + 2n$ es creciente. Para ello, calcula algebraicamente la diferencia entre el término $n+1$ y el término $n$, y analiza el signo del resultado.
Demuestra de forma algebraica que la sucesión de término general $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ es estrictamente creciente. Para ello, desarrolla la inecuación…
Demuestra de forma algebraica que la sucesión de término general $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ es estrictamente creciente. Para ello, desarrolla la inecuación $a_{n+1} - a_n > 0$ y justifica el signo del numerador y del denominador resultantes.
Primeros términos y modelos lineales
Calcular unos términos sirve para intuir y para descartar. Si un término es menor que el anterior, la sucesión no es creciente: basta un contraejemplo. Pero para afirmar que sí lo es, necesitas la demostración.
Esto explica los ahorros con aumento fijo: sumar siempre la misma cantidad positiva produce una sucesión creciente. Por ejemplo, $b_n = \frac{n}{2}+4$ tiene $p = \frac12 > 0$. Si guardas Q10 el primer mes y Q5 más cada mes, en quetzales $a_n=10+5(n-1)=5n+5$ y $p=5>0$. Solo importa el signo de la diferencia.
Dada la sucesión de término general $b_n = \frac{n}{2} + 4$, demuestra que es creciente verificando que $b_{n+1} \geq b_n$ para cualquier número natural $n$.
Dada la sucesión de término general $b_n = \frac{n}{2} + 4$, demuestra que es creciente verificando que $b_{n+1} \geq b_n$ para cualquier número natural $n$.
Un estudiante decide ahorrar dinero para un viaje. El primer mes guarda $80$ quetzales, y cada mes sucesivo guarda $40$ quetzales más que el mes anterior. Escribe el…
Un estudiante decide ahorrar dinero para un viaje. El primer mes guarda $80$ quetzales, y cada mes sucesivo guarda $40$ quetzales más que el mes anterior. Escribe el término general del dinero guardado en el mes $n$ y justifica matemáticamente por qué esta sucesión es estrictamente creciente.
Identifica cuál de las siguientes sucesiones es estrictamente creciente calculando sus tres primeros términos y analizando su evolución: $x_n = -2n + 10$,…
Identifica cuál de las siguientes sucesiones es estrictamente creciente calculando sus tres primeros términos y analizando su evolución: $x_n = -2n + 10$, $y_n = \frac{1}{n}$, $z_n = \frac{n+1}{n+2}$.
El criterio del cociente
Cuando todos los términos son positivos, comparar es más cómodo dividiendo que restando.
La razón: si $a_n>0$, multiplicar $a_n$ por un número mayor que $1$ lo hace crecer.
Dada la sucesión geométrica $d_n = 3^n$, utiliza el método del cociente (es decir, calcula $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) para demostrar que es una sucesión estrictamente…
Dada la sucesión geométrica $d_n = 3^n$, utiliza el método del cociente (es decir, calcula $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) para demostrar que es una sucesión estrictamente creciente.
Un árbol recién plantado mide $150$ cm. Cada año, su altura aumenta en un $5$ % respecto a la altura del año anterior. Expresa su altura $h_n$ al cabo de $n$ años y…
Un árbol recién plantado mide $150$ cm. Cada año, su altura aumenta en un $5$ % respecto a la altura del año anterior. Expresa su altura $h_n$ al cabo de $n$ años y justifica mediante el criterio del cociente que la sucesión de sus alturas es creciente.
La población de una colonia de bacterias en un cultivo controlado se modeliza mediante la sucesión $P_n = 200 \times (1,15)^n$, donde $n \geq 1$ representa los días…
La población de una colonia de bacterias en un cultivo controlado se modeliza mediante la sucesión $P_n = 200 \times (1,15)^n$, donde $n \geq 1$ representa los días transcurridos. Utiliza el criterio del cociente $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ para demostrar rigurosamente que la población está en constante crecimiento.
Gráficas y cotas
Una sucesión creciente puede subir sin parar o acercarse a un valor sin pasarlo. Para saber cuál ocurre, además de la monotonía conviene buscar una cota superior: un número $M$ con $a_n \le M$ para todo $n$.
En un experimento de cinemática, la velocidad de un móvil en el instante $n$ (en segundos) está dada por la sucesión $v_n = 10 - \frac{20}{n+1}$ en m/s. Demuestra…
En un experimento de cinemática, la velocidad de un móvil en el instante $n$ (en segundos) está dada por la sucesión $v_n = 10 - \frac{20}{n+1}$ en m/s. Demuestra analíticamente que el móvil está acelerando continuamente (la sucesión de velocidades es estrictamente creciente) y observa la gráfica para determinar si superará en algún momento los $10$ m/s.
Una empresa de tecnología prevé que sus ganancias mensuales (en miles de quetzales) sigan la sucesión $B_n = 400 - \frac{800}{2^n}$. Prueba matemáticamente que las…
Una empresa de tecnología prevé que sus ganancias mensuales (en miles de quetzales) sigan la sucesión $B_n = 400 - \frac{800}{2^n}$. Prueba matemáticamente que las ganancias aumentan de un mes al siguiente.
En un proceso de calentamiento industrial, la temperatura de una aleación metálica en el minuto $n$ sigue la ley $T_n = 120 - 90(0,75)^n$ en grados Celsius. Demuestra…
En un proceso de calentamiento industrial, la temperatura de una aleación metálica en el minuto $n$ sigue la ley $T_n = 120 - 90(0,75)^n$ en grados Celsius. Demuestra matemáticamente que la temperatura es estrictamente creciente. A partir de la gráfica, deduce si la sucesión está acotada superiormente.
Fracciones con parámetro y condiciones «si y solo si»
Un truco útil: reescribe la fracción como un número más una fracción pequeña. Por ejemplo, $\dfrac{n^2}{n^2+1} = 1 - \dfrac{1}{n^2+1}$. Como el denominador crece, se resta cada vez menos, así que la sucesión sube sin llegar a $1$.
Para probar «A si y solo si B» hay que ver las dos direcciones: si se cumple B, la sucesión crece, y si crece, se cumple B.
Demuestra que la sucesión $b_n = \frac{n^2}{n^2+1}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$. ¿Existe algún valor de $n$ para el cual se cumpla que $b_n \geq 1$?…
Demuestra que la sucesión $b_n = \frac{n^2}{n^2+1}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$. ¿Existe algún valor de $n$ para el cual se cumpla que $b_n \geq 1$? Justifica tu respuesta.
Demuestra que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+q}{rn+s}$ (asumiendo que $r > 0$ y $rn+s > 0$ para todo $n \geq 1$) es estrictamente creciente si y solo si se cumple…
Demuestra que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+q}{rn+s}$ (asumiendo que $r > 0$ y $rn+s > 0$ para todo $n \geq 1$) es estrictamente creciente si y solo si se cumple la condición $ps - qr > 0$.
Analiza el crecimiento de la sucesión $a_n = \frac{n^2+k}{n}$, donde $k$ es un número real. Demuestra que la sucesión es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$ si…
Analiza el crecimiento de la sucesión $a_n = \frac{n^2+k}{n}$, donde $k$ es un número real. Demuestra que la sucesión es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$ si y solo si el parámetro $k$ cumple la condición $k < 2$.
Sucesiones con un parámetro
Algunos problemas piden hallar para qué valores de un parámetro una sucesión es creciente: se plantea $a_{n+1}-a_n>0$ (o cociente $>1$) y se despeja.
Así, en $a_n=(2x-1)^n$ la base es $r=2x-1$, y la condición «creciente y positiva» equivale a $r>1$.
Halla los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la sucesión definida por $a_n = (k-3)n + 5$ es estrictamente creciente. Razona tu respuesta a partir…
Halla los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la sucesión definida por $a_n = (k-3)n + 5$ es estrictamente creciente. Razona tu respuesta a partir de la diferencia $a_{n+1} - a_n$.
Encuentra el rango de valores de $x \in \mathbb{R}$ para los que la sucesión geométrica $a_n = (2x - 1)^n$ es estrictamente creciente y de términos exclusivamente…
Encuentra el rango de valores de $x \in \mathbb{R}$ para los que la sucesión geométrica $a_n = (2x - 1)^n$ es estrictamente creciente y de términos exclusivamente positivos.
Sucesiones por recurrencia y sumas parciales
Si la sucesión se define con $a_{n+1}=f(a_n)$, no tienes fórmula para $a_n$, pero la diferencia $a_{n+1}-a_n$ ya aparece escrita.
Las sumas parciales $S_n = t_1+\dots+t_n$ cumplen $S_{n+1}-S_n = t_{n+1}$. Si todos los $t_i>0$, $S_n$ es estrictamente creciente. Ejemplo: $S_n=\sum_{i=1}^n\frac1{i^2}$ tiene $S_{n+1}-S_n=\frac1{(n+1)^2}>0$. Estos saltos son cada vez más pequeños.
Cuando el término general lleva una raíz, multiplica y divide la diferencia por su conjugado: $\sqrt{A}-\sqrt{B}=\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$.
Cuando hay una raíz en una recurrencia, como en $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$, se compara $a_{n+1}^2-a_n^2$. Si $a_n>0$ y $a_{n+1}>0$, el signo de la diferencia de cuadrados es el de la diferencia.
Comprueba que la sucesión definida por recurrencia como $a_1 = 3$ y $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$.
Comprueba que la sucesión definida por recurrencia como $a_1 = 3$ y $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$.
Dada la sucesión definida como la suma parcial $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$. Justifica de forma analítica…
Dada la sucesión definida como la suma parcial $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$. Justifica de forma analítica por qué esta sucesión es estrictamente creciente y deduce si la diferencia entre términos consecutivos aumenta o disminuye a medida que $n$ se hace muy grande.
Una red de servidores registra el tiempo medio de latencia (en milisegundos) mediante la sucesión recurrente $u_1 = 2$, $u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}$. Sabiendo que todos…
Una red de servidores registra el tiempo medio de latencia (en milisegundos) mediante la sucesión recurrente $u_1 = 2$, $u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}$. Sabiendo que todos los términos generados son positivos y estrictamente menores que $3$, demuestra analizando el signo de $u_{n+1}^2 - u_n^2$ que la sucesión es estrictamente creciente.
Cuando no siempre crece: factoriales
Una sucesión puede empezar creciendo y luego cambiar. Con factoriales, el cociente lo muestra: $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$.
Estudia la monotonía de la sucesión $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Demuestra que no es estrictamente creciente para todo $n$, indicando a partir de qué término específico…
Estudia la monotonía de la sucesión $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Demuestra que no es estrictamente creciente para todo $n$, indicando a partir de qué término específico comienza a decrecer de forma estricta.
Un caso famoso: $\left(1+\frac1n\right)^n$
Calcula los primeros términos de $a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$: $a_1=2$, $a_2=\frac94=2.25$, $a_3=\frac{64}{27}\approx2.370$. Sube, y esto se conserva para todo $n$.
Sea la sucesión $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Sabiendo que esta sucesión modeliza el crecimiento del capital bajo un interés compuesto del 100 % anual con $n$…
Sea la sucesión $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Sabiendo que esta sucesión modeliza el crecimiento del capital bajo un interés compuesto del 100 % anual con $n$ capitalizaciones (cuyo límite es la capitalización continua), calcula sus tres primeros términos para comprobar empíricamente que crece. A continuación, plantea el inicio de su demostración general desarrollando el binomio de Newton para $a_n$ y $a_{n+1}$.