Teorema del resto
Ixchel, de 4° Bachillerato, tiene que averiguar el resto de dividir $P(x)=x^4-3x^3+2x^2-7x+4$ entre $x-3$. Dividir entero es largo. Con una sola sustitución, $P(3)$, el problema se resuelve en un minuto. El teorema del resto es esa sustitución, y en este apartado vas a aprender a usarla para calcular restos, detectar factores y hallar coeficientes desconocidos.
El teorema del resto
Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
Determina el resto de la división de $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ entre $x - 2$ evaluando el polinomio.
Determina el resto de la división de $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ entre $x - 2$ evaluando el polinomio.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indica qué significado tiene este valor respecto a la división polinómica de…
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indica qué significado tiene este valor respecto a la división polinómica de $P(x)$ entre $x + 1$.
La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) está dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utiliza el teorema…
La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) está dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utiliza el teorema del residuo para calcular la posición del móvil en el instante $t = 3$ y explica la relación conceptual entre el valor hallado y la división polinomial de $x(t)$ entre $t - 3$.
El teorema del factor: cuando el resto es cero
Si el resto $P(a)$ da $0$, la división es exacta: $(x-a)$ es un factor de $P(x)$ y $a$ es un cero (o raíz) del polinomio. Es el mismo teorema, aplicado al caso en que el resto se anula.
Fíjate en la gráfica: la curva corta al eje $x$ justo en los ceros, y cada corte corresponde a un factor del polinomio.
Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.
Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
El crecimiento de una colonia de bacterias en un medio controlado se modela con el polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, donde $t$ es el tiempo en días y…
El crecimiento de una colonia de bacterias en un medio controlado se modela con el polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, donde $t$ es el tiempo en días y $P(t)$ representa la desviación respecto a la población inicial. Demuestra, utilizando el teorema del factor, que en los días $t=1$, $t=2$ y $t=3$ la población vuelve exactamente a su nivel inicial.
Hallar un parámetro con una condición
Cuando el polinomio tiene un coeficiente desconocido y se conoce (o se exige) un resto, se sustituye igual: la condición se convierte en una ecuación con esa incógnita.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.
Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.
Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.
Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.
Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.
La deflexión de una viga en un punto $x$ (en metros) viene dada por el polinomio $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sabiendo que la deflexión en $x = 2$ es de $20$ mm, halla…
La deflexión de una viga en un punto $x$ (en metros) viene dada por el polinomio $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sabiendo que la deflexión en $x = 2$ es de $20$ mm, halla el valor de la constante $k$ apoyándote en el teorema del resto y determina cuál será la deflexión en la coordenada $x = -1$.
Varias condiciones a la vez
Con dos parámetros desconocidos hacen falta dos condiciones (dos restos, o un resto y una divisibilidad). Cada una da una ecuación y juntas forman un sistema de ecuaciones lineales, que resuelves por el método que prefieras (sustitución, igualación o eliminación, o suma y resta).
Halla los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sea divisible por $x - 2$ y deje un resto de $-24$ al dividirlo por…
Halla los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sea divisible por $x - 2$ y deje un resto de $-24$ al dividirlo por $x + 2$.
Calcula el valor de $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ es divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 1)$.
Calcula el valor de $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ es divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 1)$.
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un…
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un resto de $16$, determina la expresión completa del polinomio $P(x)$ en su forma desarrollada.
Resumen
Vuelve al principio: el resto de dividir $x^4-3x^3+2x^2-7x+4$ entre $x-3$ es $P(3)=81-81+18-21+4=1$, sin hacer ninguna división.