Operaciones con números complejos en forma polar
En una lancha en el Lago de Atitlán, un dron o un brazo robótico, girar y cambiar de distancia son las dos cosas que más se hacen. En forma binómica, multiplicar dos complejos obligaba a desarrollar cuatro productos. En forma polar, la misma operación se reduce a multiplicar dos números y sumar dos ángulos. ¿Por qué un giro es, en el fondo, una multiplicación? Al final de la página lo vas a poder explicar.
Producto y cociente: módulos y argumentos por separado
Dados los números complejos $z_1 = 4_{30^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcula su producto $z_1 \times z_2$ expresando el resultado en forma polar.
Dados los números complejos $z_1 = 4_{30^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcula su producto $z_1 \times z_2$ expresando el resultado en forma polar.
Calcula el cociente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ y expresa el resultado en forma polar.
Calcula el cociente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ y expresa el resultado en forma polar.
Realiza la siguiente operación combinada y expresa el resultado en forma polar: $$ \frac{2_{20^\circ} \times 6_{70^\circ}}{4_{40^\circ}} $$
Realiza la siguiente operación combinada y expresa el resultado en forma polar:
$$ \frac{2_{20^\circ} \times 6_{70^\circ}}{4_{40^\circ}} $$Multiplicar es girar y escalar
Como multiplicar por $s_\beta$ rota un ángulo $\beta$ y escala por $s$, multiplicar por un complejo de módulo $1$ es un giro puro. Multiplicar por $1_{90^\circ}=i$ gira un cuarto de vuelta en sentido antihorario.
También puedes combinar las dos cosas en una sola multiplicación: por ejemplo, multiplicar por $3_{90^\circ}$ triplica la distancia al origen y gira $90^\circ$.
Un barco navega en la dirección y distancia indicadas por el vector asociado al número complejo $z = 10_{30^\circ}$. Por motivos climáticos, el capitán decide realizar…
Un barco navega en la dirección y distancia indicadas por el vector asociado al número complejo $z = 10_{30^\circ}$. Por motivos climáticos, el capitán decide realizar un giro de $90^\circ$ en sentido antihorario manteniendo la misma distancia. ¿Por qué número complejo en forma polar debe multiplicar $z$ para obtener su nueva trayectoria, y cuál es la posición final?
Un dron de exploración submarina parte del origen y se desplaza en línea recta hasta el punto correspondiente al afijo del número complejo $z_1 = 2_{45^\circ}$ (en…
Un dron de exploración submarina parte del origen y se desplaza en línea recta hasta el punto correspondiente al afijo del número complejo $z_1 = 2_{45^\circ}$ (en kilómetros). A continuación, el centro de control le envía una instrucción que equivale a multiplicar su posición actual por el complejo $z_2 = 3_{90^\circ}$. Calcula las coordenadas polares de su posición final y explica qué transformación geométrica ha sufrido respecto a su vector de posición inicial.
En el diseño del software de un brazo robótico, la posición final del efector se calcula aplicando una rotación y un escalado a su posición inicial $z_0 = 5_{20^\circ}$.…
En el diseño del software de un brazo robótico, la posición final del efector se calcula aplicando una rotación y un escalado a su posición inicial $z_0 = 5_{20^\circ}$. Esta transformación equivale a multiplicar $z_0$ por la raíz cúbica del número complejo $W = 27_{150^\circ}$ que tiene su argumento en el primer cuadrante. Determina la posición final del efector en forma polar y el ángulo total de rotación aplicado respecto a la posición inicial.
Fórmula de Moivre: potencias en polar
Elevar a una potencia es multiplicar un número por sí mismo varias veces. Si aplicas la regla del producto $n$ veces, el módulo se multiplica por sí mismo $n$ veces (queda $r^n$) y el argumento se suma consigo mismo $n$ veces (queda $n\alpha$).
Utilizando la fórmula de Moivre, calcula la potencia $(2_{40^\circ})^3$ y expresa el resultado en forma polar.
Utilizando la fórmula de Moivre, calcula la potencia $(2_{40^\circ})^3$ y expresa el resultado en forma polar.
Efectúa la siguiente operación con números complejos expresando el resultado final en forma polar: $$ \frac{(2_{30^\circ})^4 \times \sqrt{3}{150^\circ}}{4_{60^\circ}} $$
Efectúa la siguiente operación con números complejos expresando el resultado final en forma polar:
$$ \frac{(2_{30^\circ})^4 \times \sqrt{3}_{150^\circ}}{4_{60^\circ}} $$Determina el menor número entero positivo $n$ para que el resultado de $(\sqrt{3} + i)^n$ sea un número real negativo.
Determina el menor número entero positivo $n$ para que el resultado de $(\sqrt{3} + i)^n$ sea un número real negativo.
Moivre y las identidades del ángulo triple
Moivre también sirve «al revés»: se puede calcular la misma potencia de dos maneras y comparar. Con $n=3$, por un lado vale $\cos3\alpha+i\,\sen3\alpha$. Por otro lado, la desarrollas con el cubo de un binomio.
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la potencia $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir del resultado, igualando las partes reales e imaginarias, demuestra…
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la potencia $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir del resultado, igualando las partes reales e imaginarias, demuestra las identidades trigonométricas del ángulo triple:
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$\cos(3\alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$
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$\sin(3\alpha) = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$
Inverso, conjugado y opuesto
Halla el inverso del número complejo $z = 5_{120^\circ}$ expresando el resultado final en forma polar.
Halla el inverso del número complejo $z = 5_{120^\circ}$ expresando el resultado final en forma polar.
Dado el número complejo $z = 3_{50^\circ}$, expresa su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$ en forma polar.
Dado el número complejo $z = 3_{50^\circ}$, expresa su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$ en forma polar.
Sumar en polar: pasar por la forma binómica
El producto, el cociente y las potencias se hacen directo en polar, pero la suma y la resta no: no se pueden sumar módulos ni argumentos. Para sumar, pasas a forma binómica, sumas las partes reales y las imaginarias, y si hace falta vuelves a polar.
En un circuito de corriente alterna, la impedancia total $Z_T$ de dos componentes conectados en paralelo se calcula mediante la fórmula…
En un circuito de corriente alterna, la impedancia total $Z_T$ de dos componentes conectados en paralelo se calcula mediante la fórmula $\frac{1}{Z_T} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}$. Si las impedancias de los componentes son $Z_1 = 10_{30^\circ} \ \Omega$ y $Z_2 = 10_{-30^\circ} \ \Omega$, halla la impedancia total $Z_T$ en forma polar. Pista: pasa a forma binómica para realizar la suma.
Raíces n-ésimas: $n$ soluciones en un polígono regular
La ecuación $x^2=4$ tiene dos soluciones reales, $\pm2$. En los complejos, $z^n=w$ (con $w\neq0$) tiene exactamente $n$ soluciones, y sus puntos en el plano complejo son los vértices de un polígono regular de $n$ lados centrado en el origen.
Calcula las dos raíces cuadradas del número complejo $16_{120^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Calcula las dos raíces cuadradas del número complejo $16_{120^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Resuelve la ecuación $z^3 = -8i$. Pasa primero el número $-8i$ a forma polar antes de calcular las raíces y expresa los resultados finales tanto en forma polar como en…
Resuelve la ecuación $z^3 = -8i$. Pasa primero el número $-8i$ a forma polar antes de calcular las raíces y expresa los resultados finales tanto en forma polar como en forma binómica.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ en el conjunto de los números complejos. Expresa las soluciones en forma polar y represéntalas gráficamente en el plano complejo (eje…
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ en el conjunto de los números complejos. Expresa las soluciones en forma polar y represéntalas gráficamente en el plano complejo (eje real horizontal y eje imaginario vertical).
Problemas y ecuaciones con complejos
Con las herramientas anteriores se resuelven problemas más variados. Algunas ideas útiles:
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Si las raíces de $z^n=w$ forman un polígono regular, puedes calcular su lado con el módulo $\rho$ de las raíces: el lado de un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $\rho$ mide $2\rho\,\sen\dfrac{180^\circ}{n}$.
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Si conoces un vértice de un polígono regular centrado en el origen, los demás se obtienen sumando $\frac{360^\circ}{n}$ al argumento (multiplicar por $1_{360^\circ/n}$).
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Para $z^n=\bar z^{\,m}$ (o ecuaciones con conjugado) iguala módulos y argumentos por separado, recordando que los argumentos son iguales salvo múltiplos de $360^\circ$.
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Si la ecuación es $(z-a)^n=w$, resuelve primero $u^n=w$ con $u=z-a$ y después suma $a$ a cada solución.
Halla el área del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas del número complejo $z = 64_{90^\circ}$.
Halla el área del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas del número complejo $z = 64_{90^\circ}$.
Un radar de tráfico aéreo detecta tres aviones cuyas posiciones forman un triángulo equilátero centrado en la torre de control (situada en el origen de coordenadas). Si…
Un radar de tráfico aéreo detecta tres aviones cuyas posiciones forman un triángulo equilátero centrado en la torre de control (situada en el origen de coordenadas). Si uno de los aviones se encuentra en la posición descrita por el número complejo $z_1 = 4 + 4\sqrt{3}i$ (en kilómetros), determina la posición de los otros dos aviones en forma polar y calcula la distancia en línea recta que separa a dos aviones cualesquiera.
Halla dos números complejos $z_1$ y $z_2$ en forma polar sabiendo que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones: Su cociente $\frac{z_1}{z_2}$ es igual a…
Halla dos números complejos $z_1$ y $z_2$ en forma polar sabiendo que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:
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Su cociente $\frac{z_1}{z_2}$ es igual a $2_{150^\circ}$
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Su producto $z_1 \times z_2$ es igual a $18_{90^\circ}$
Resuelve la ecuación $(z - 2i)^4 = 16_{180^\circ}$. Expresa las cuatro soluciones de $z$ en forma binómica.
Resuelve la ecuación $(z - 2i)^4 = 16_{180^\circ}$. Expresa las cuatro soluciones de $z$ en forma binómica.
Calcula la suma de las seis raíces sextas de la unidad ($z^6 = 1$). Justifica tu respuesta de dos formas distintas: algebraicamente (utilizando la suma de una progresión…
Calcula la suma de las seis raíces sextas de la unidad ($z^6 = 1$). Justifica tu respuesta de dos formas distintas: algebraicamente (utilizando la suma de una progresión geométrica o las propiedades de las raíces) y geométricamente (interpretando los afijos como vectores).
Un sistema de encriptación genera claves basadas en las coordenadas de los afijos de las soluciones de la ecuación $z^5 + 32 = 0$. Calcula todas las soluciones en forma…
Un sistema de encriptación genera claves basadas en las coordenadas de los afijos de las soluciones de la ecuación $z^5 + 32 = 0$. Calcula todas las soluciones en forma polar y determina el perímetro del polígono regular que forman.
Determina todos los números complejos $z$ expresados en forma polar que cumplen la ecuación $z^3 = (\bar{z})^2$, donde $\bar{z}$ es el conjugado de $z$.
Determina todos los números complejos $z$ expresados en forma polar que cumplen la ecuación $z^3 = (\bar{z})^2$, donde $\bar{z}$ es el conjugado de $z$.
Calcula el valor de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Para ello, transforma primero la base a forma polar, aplica la fórmula de Moivre y devuelve el resultado final en forma binómica.
Calcula el valor de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Para ello, transforma primero la base a forma polar, aplica la fórmula de Moivre y devuelve el resultado final en forma binómica.
Vuelve al principio: en la lancha, el dron o el brazo robótico, un giro es una multiplicación porque multiplicar por $s_\beta$ rota el vector un ángulo $\beta$ y lo escala por $s$. Con módulo $1$, es un giro puro.