Sistemas de ecuaciones

Qué es un sistema

Para comprobar una solución se reemplaza en todas las ecuaciones. Si pruebas $x = 60$ paneles A e $y = 60$ paneles B: $60 + 60 = 120$ y $400 \cdot 60 + 250 \cdot 60 = 24{,}000 + 15{,}000 = 39{,}000$. Cumple las dos.

Sistemas lineales de dos incógnitas

Ya conoces tres métodos: sustitución (despejas una incógnita y la reemplazas en la otra ecuación), igualación (despejas la misma incógnita en las dos y las igualas) y reducción, o eliminación (sumas o restas las ecuaciones, multiplicadas por números convenientes, para eliminar una incógnita).

¿Por qué funciona la reducción? Si a dos miembros iguales les sumas miembros iguales, la igualdad se conserva. Eso te permite cancelar una incógnita sin cambiar las soluciones.

Tres incógnitas: sistemas escalonados y método de Gauss

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas siguen la misma idea que los de dos, pero con más pasos.

Un sistema está escalonado cuando cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Se resuelve de abajo hacia arriba:

Si el sistema no está escalonado, el método de Gauss lo transforma en uno escalonado con el mismo conjunto de soluciones. Si sigues reduciendo hasta que cada ecuación tenga una sola incógnita con coeficiente 1 (la matriz de coeficientes queda como la identidad), el método se llama Gauss-Jordan y la solución se lee directamente. Por ejemplo, de $x + 2z = 7$, $y - z = 1$, $z = 2$: haces ceros también arriba, restando $2F_3$ a $F_1$ y sumando $F_3$ a $F_2$, y obtienes $x = 3$, $y = 3$, $z = 2$. Se permite: intercambiar ecuaciones, multiplicar una ecuación por un número distinto de cero, y sumarle a una ecuación un múltiplo de otra. Con esto vas "haciendo ceros" debajo de cada incógnita.

Discusión de un sistema con un parámetro

Ampliación (el núcleo del CNB solo pide clasificar sistemas como consistentes o inconsistentes): discutir un sistema es decir cuántas soluciones tiene según el valor de un parámetro.

Discutir un sistema es clasificarlo según el valor de un parámetro:

• Consistente con solución única: una única solución.

• Consistente con infinitas soluciones: infinitas soluciones.

• Inconsistente: ninguna solución.

En dos incógnitas cada ecuación es una recta, y las tres situaciones son las posiciones de dos rectas.

Para un sistema $2 \times 2$ con coeficientes $a_1x + b_1y = c_1$ y $a_2x + b_2y = c_2$, el determinante del sistema es $\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1$. Si $\Delta \neq 0$ las rectas se cortan en un punto: solución única. Si $\Delta = 0$ hay que mirar los términos independientes, y queda con infinitas soluciones (rectas coincidentes) o inconsistente (rectas paralelas).

Con tres incógnitas se usa Gauss y se mira qué pasa con la última ecuación.

Sistemas no lineales

Este tema es de ampliación: no forma parte del núcleo del programa de 4° Bachillerato (CNB). Aquí una de las ecuaciones deja de ser una recta y el sistema puede tener varias soluciones.

Si alguna ecuación tiene $x^2$, $x \cdot y$ u otra expresión que no es de primer grado, el sistema es no lineal. La estrategia general: despeja en la ecuación más sencilla y sustituye en la otra. Geométricamente se buscan los puntos donde se cortan las dos gráficas.

Sistemas simétricos. Cuando las ecuaciones no cambian al intercambiar $x$ e $y$, conviene usar la suma $s = x + y$ y el producto $p = xy$. Por ejemplo, $x^2 + y^2 = s^2 - 2p$ y $x^2 + xy + y^2 = s^2 - p$. Conocidos $s$ y $p$, $x$ e $y$ son las raíces de $t^2 - st + p = 0$.

Cuadráticas en $x^2$ e $y^2$. Si solo aparecen $x^2$ e $y^2$, trátalas como incógnitas nuevas: $u = x^2$, $v = y^2$. Queda un sistema lineal en $u$ y $v$. Después se vuelve con $x = \pm\sqrt{u}$, $y = \pm\sqrt{v}$.

Sistemas con radicales, fracciones y valor absoluto

Ampliación (fuera del núcleo del CNB): son sistemas que se reducen a uno más simple con un buen cambio de variable o separando en casos.

Radicales. Aísla cada raíz y eleva al cuadrado para quedarte con expresiones lineales. Como una raíz cuadrada nunca es negativa, comprueba al final.

Fracciones con incógnita en el denominador. Usa $u = \dfrac{1}{x}$ y $v = \dfrac{1}{y}$: el sistema pasa a ser lineal en $u$ y $v$. Al final se vuelve con $x = \dfrac{1}{u}$ e $y = \dfrac{1}{v}$.

Valor absoluto. Recuerda que $|A| = c$ (con $c > 0$) significa $A = c$ o $A = -c$. Se resuelven los dos sistemas por separado y se juntan las soluciones.

Sistemas exponenciales

Ampliación (fuera del núcleo del CNB): usa lo que sabes de las potencias para volver lineal un sistema.

Si las potencias tienen la misma base, igualas exponentes; si no se puede, haces un cambio de variable ($u = 3^x$, $v = 2^y$…) para obtener un sistema lineal, y después deshaces el cambio.

¿Por qué se pueden igualar exponentes? Porque la exponencial es inyectiva: $a^m = a^n$ (con $a > 0$, $a \neq 1$) implica $m = n$.

Sistemas logarítmicos y mixtos

Ampliación (fuera del núcleo del CNB): aplica las propiedades de los logaritmos para convertir el sistema en uno más simple. Recuerda las propiedades: $\log(a \cdot b) = \log a + \log b$, $\log\dfrac{a}{b} = \log a - \log b$ y $\log a^n = n \log a$. Con ellas, o con un cambio de variable ($u = \log x$, $v = \log y$), un sistema logarítmico se vuelve lineal.

Cuando las ecuaciones tienen un solo logaritmo cada una, se pasa a forma exponencial: $\log_a A = c$ significa $A = a^c$. Por ejemplo, $\log_2 x + \log_2 y = 3$ equivale a $\log_2(xy) = 3$, o sea $xy = 8$.

Sistemas mixtos (exponencial y logarítmica): usa la ecuación logarítmica para obtener una relación algebraica entre $x$ e $y$, sustituye en la exponencial y toma logaritmos de ambos miembros.

Problemas que se resuelven con sistemas lineales

Plantear bien es la mitad del trabajo. Sigue estos pasos:

1. Elige las incógnitas y escribe qué representa cada una (con unidades).

2. Traduce cada condición del enunciado a una ecuación.

3. Resuelve el sistema con el método más cómodo.

4. Interpreta y comprueba en el enunciado: ¿tiene sentido el resultado (positivo, entero si cuenta objetos)?

Problemas que llevan a sistemas no lineales

A veces las condiciones son de producto (áreas, distancia = velocidad · tiempo) o de Pitágoras; el sistema resulta no lineal. El plan es el mismo, y después usas sustitución o suma y producto.

Para los triángulos rectángulos suele servir esta combinación: perímetro (suma), Pitágoras $x^2 + y^2 = z^2$ y área expresada de dos maneras (catetos y base por altura sobre la hipotenusa).

Resumen