Desigualdades
Ana Lucía tiene Q200. Quiere comprar una entrada de Q80 para un concierto y, con lo que le sobre, chuchitos a Q15 cada uno. ¿Cuántos chuchitos puede comprar? No hay una sola respuesta: puede comprar 0, 1, 2… hasta cierto máximo. Una ecuación suele tener pocas soluciones; una desigualdad casi siempre tiene infinitas, o toda una zona de la recta. En esta página vas a aprender a resolver los distintos tipos de desigualdades y a escribir su solución como intervalo.
Qué es una desigualdad y cómo se escribe la solución
El conjunto solución suele ser un tramo de la recta real, y se escribe como intervalo.
En las desigualdades lineales se despeja la incógnita igual que en una ecuación, con una única regla nueva.
Vuelve al principio: para Ana Lucía, $80 + 15n \leq 200$ da $n \leq 8$. Puede comprar de 0 a 8 chuchitos.
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado, expresando la solución en forma de intervalo: $\frac{3x - 1}{2} - \frac{x + 4}{3} \leq \frac{5x}{6} + 1$
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado, expresando la solución en forma de intervalo:
$\frac{3x - 1}{2} - \frac{x + 4}{3} \leq \frac{5x}{6} + 1$
Una empresa de alquiler de vehículos ofrece dos tarifas. La tarifa A cobra 400 quetzales fijos más 1.60 quetzales por kilómetro recorrido. La tarifa B cobra 240…
Una empresa de alquiler de vehículos ofrece dos tarifas. La tarifa A cobra 400 quetzales fijos más 1.60 quetzales por kilómetro recorrido. La tarifa B cobra 240 quetzales fijos más 2.80 quetzales por kilómetro recorrido. Plantea una inecuación y determina a partir de cuántos kilómetros resulta estrictamente más económica la tarifa A.
Sistemas de desigualdades con una incógnita
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con una incógnita: $2x - 3 < 5$ $4 - x \leq 2$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con una incógnita:
$2x - 3 < 5$
$4 - x \leq 2$
Para que un determinado compuesto químico se mantenga estable, su temperatura $T$ (en grados Celsius) debe cumplir simultáneamente dos condiciones: el doble de la…
Para que un determinado compuesto químico se mantenga estable, su temperatura $T$ (en grados Celsius) debe cumplir simultáneamente dos condiciones: el doble de la temperatura disminuida en 5 grados no debe superar los 35 grados, y la tercera parte de la temperatura aumentada en 10 grados debe ser estrictamente mayor que 15 grados. Plantea un sistema de inecuaciones y halla el rango de temperaturas en el que se mantiene estable el compuesto.
Desigualdades cuadráticas
Una desigualdad como $ax^2 + bx + c > 0$ pregunta dónde la parábola está por encima del eje $x$. Primero se buscan los ceros con la fórmula general; después se mira el signo en cada tramo.
Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación de segundo grado: $-2x^2 + 8x - 6 > 0$
Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación de segundo grado:
$-2x^2 + 8x - 6 > 0$
La altura $h$ (en metros) de un cohete de agua en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina el intervalo de…
La altura $h$ (en metros) de un cohete de agua en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el cohete se encuentra a una altura estrictamente superior a 17 metros.
Determina el valor o los valores del parámetro $k$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - 6x + k > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.
Determina el valor o los valores del parámetro $k$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - 6x + k > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.
Parámetros, problemas y una demostración
El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ dice cuántos ceros tiene la cuadrática y, por lo tanto, si la parábola cruza el eje.
Cuando el parámetro está en el coeficiente de $x^2$ hay que discutir por casos: $m = 0$ (deja de ser cuadrática), $m > 0$ y $m < 0$, y en cada uno mirar el discriminante.
Para los problemas con contexto: plantea la expresión que depende de $x$ (una ganancia es ingresos menos costos; un tiempo es distancia dividida por velocidad), escribe la desigualdad y resuélvela con el método que corresponda.
Discute, en función de los valores del parámetro real $m$, el conjunto de soluciones de la inecuación cuadrática: $mx^2 - 2mx + 3 \leq 0$
Discute, en función de los valores del parámetro real $m$, el conjunto de soluciones de la inecuación cuadrática:
$mx^2 - 2mx + 3 \leq 0$
Una empresa tecnológica fabrica placas solares. El costo de producción diario (en quetzales) al fabricar $x$ placas es $C(x) = 1\,600 + 80x$. Los ingresos por la venta…
Una empresa tecnológica fabrica placas solares. El costo de producción diario (en quetzales) al fabricar $x$ placas es $C(x) = 1\,600 + 80x$. Los ingresos por la venta de $x$ placas vienen dados por la función $I(x) = 400x - 4x^2$. Plantea una inecuación para determinar cuántas placas deben fabricarse y venderse diariamente para que las ganancias superen los 3,200 quetzales.
Demuestra teóricamente que para cualquier número real $x > 0$, se cumple la desigualdad $x + \frac{1}{x} \geq 2$. A partir de este resultado, determina el conjunto de…
Demuestra teóricamente que para cualquier número real $x > 0$, se cumple la desigualdad $x + \frac{1}{x} \geq 2$. A partir de este resultado, determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\frac{x^2 + 9}{x} \geq 6$.
Desigualdades polinómicas de grado superior
El mismo método sirve para cualquier grado, si tienes el polinomio factorizado: el signo del producto surge de los signos de los factores. Si no está factorizado, usa la división sintética (regla de Ruffini) para encontrar los ceros.
Cuando el polinomio no viene factorizado, se prueban como ceros los divisores del término independiente y se divide por $x - a$ con la división sintética (regla de Ruffini).
Resuelve la siguiente inecuación polinómica de grado superior, que ya se encuentra factorizada: $(x - 1)(x + 2)(x - 4) \leq 0$
Resuelve la siguiente inecuación polinómica de grado superior, que ya se encuentra factorizada:
$(x - 1)(x + 2)(x - 4) \leq 0$
Encuentra el conjunto solución de la siguiente inecuación polinómica de cuarto grado. (Pista: utiliza la división sintética para factorizar el polinomio).…
Encuentra el conjunto solución de la siguiente inecuación polinómica de cuarto grado. (Pista: utiliza la división sintética para factorizar el polinomio).
$x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6 < 0$
Desigualdades racionales
En $\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$ el signo del cociente depende de los signos del numerador y del denominador. Los puntos a marcar son los ceros de ambos.
Los problemas de velocidad llevan este tipo de desigualdades: si $v$ es la velocidad, el tiempo para recorrer $d$ km es $\frac{d}{v}$.
Determina los valores de $x$ que verifican la siguiente inecuación racional: $\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0$
Determina los valores de $x$ que verifican la siguiente inecuación racional:
$\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional, asegurándote de agrupar todos los términos en un solo miembro antes de operar: $\frac{2x + 1}{x - 3} \geq 2$
Resuelve la siguiente inecuación racional, asegurándote de agrupar todos los términos en un solo miembro antes de operar:
$\frac{2x + 1}{x - 3} \geq 2$
Resuelve la siguiente inecuación racional. Ten en cuenta que los polinomios del numerador y del denominador pueden tener raíces comunes que simplifiquen la expresión,…
Resuelve la siguiente inecuación racional. Ten en cuenta que los polinomios del numerador y del denominador pueden tener raíces comunes que simplifiquen la expresión, pero debes respetar el dominio original:
$\frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - x - 6} \leq 0$
Un ciclista planea una ruta de entrenamiento de 60 km. Se da cuenta de que si aumenta su velocidad media habitual en 5 km/h, tardaría al menos 1 hora menos en completar…
Un ciclista planea una ruta de entrenamiento de 60 km. Se da cuenta de que si aumenta su velocidad media habitual en 5 km/h, tardaría al menos 1 hora menos en completar el recorrido. Si su velocidad media habitual es $v$ (en km/h), plantea una inecuación racional y resuélvela para determinar las posibles velocidades medias habituales del ciclista.
Desigualdades con valor absoluto
El valor absoluto $|x - a|$ es la distancia entre $x$ y $a$ en la recta. Eso da la clave para traducir las desigualdades.
Resuelve la siguiente inecuación con valor absoluto y representa la solución en la recta real: $|2x - 5| < 3$
Resuelve la siguiente inecuación con valor absoluto y representa la solución en la recta real:
$|2x - 5| < 3$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación: $|3x + 1| \geq 8$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:
$|3x + 1| \geq 8$
En una fábrica de piezas de precisión, el diámetro $d$ de un cilindro metálico debe medir 45 mm, con una tolerancia de error máxima de 0.02 mm. Expresa esta condición…
En una fábrica de piezas de precisión, el diámetro $d$ de un cilindro metálico debe medir 45 mm, con una tolerancia de error máxima de 0.02 mm. Expresa esta condición mediante una inecuación con valor absoluto y determina el intervalo de medidas aceptables para el diámetro.
Valor absoluto con cuadráticas y racionales
La misma traducción vale cuando adentro del módulo hay una expresión más compleja: $E$ puede ser cuadrática o racional. Lo único que cambia es que cada desigualdad resultante se resuelve con el método que le corresponda, y después se unen (caso $>$) o se intersecan (caso $<$) las soluciones.
Con $|E| > k$ queda $E < -k$ o $E > k$: se resuelven las dos desigualdades y se hace la unión. Si $E$ es racional ($\frac{2x-1}{x+3}$, por ejemplo), cada una de las dos es una desigualdad racional: pasa todo a un miembro y usa la tabla de signos, sin olvidar el dominio.
Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación que involucra un valor absoluto sobre una expresión cuadrática: $|x^2 - 5x + 4| > 2$
Halla el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación que involucra un valor absoluto sobre una expresión cuadrática:
$|x^2 - 5x + 4| > 2$
Resuelve la siguiente inecuación que combina valor absoluto y una expresión racional. Expresa la solución como unión de intervalos:…
Resuelve la siguiente inecuación que combina valor absoluto y una expresión racional. Expresa la solución como unión de intervalos:
$\left| \frac{2x - 1}{x + 3} \right| \geq 2$
Desigualdades irracionales (con raíces cuadradas)
La raíz cuadrada exige dos precauciones: lo que está dentro no puede ser negativo, y la raíz nunca es negativa. Elevar al cuadrado solo conserva el orden cuando ambos miembros son $\geq 0$.
Con dos raíces, como $\sqrt{A} - \sqrt{B} > 1$, el dominio es el de ambas a la vez. Se deja una raíz sola de un lado, por ejemplo $\sqrt{A} > 1 + \sqrt{B}$, y como los dos miembros son positivos se eleva al cuadrado. Si queda una raíz, se repite el procedimiento: se aísla y se vuelve a elevar al cuadrado.
Determina el intervalo de valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación irracional, teniendo en cuenta el dominio de la raíz: $\sqrt{2x - 4} < 4$
Determina el intervalo de valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación irracional, teniendo en cuenta el dominio de la raíz:
$\sqrt{2x - 4} < 4$
Resuelve la siguiente inecuación irracional. Presta especial atención al dominio de definición de la raíz cuadrada y a las condiciones que se generan al elevar al…
Resuelve la siguiente inecuación irracional. Presta especial atención al dominio de definición de la raíz cuadrada y a las condiciones que se generan al elevar al cuadrado:
$\sqrt{x + 2} \leq x$
Resuelve la siguiente inecuación irracional, analizando cuidadosamente el dominio conjunto de las raíces y las implicaciones de elevar al cuadrado en cada paso:…
Resuelve la siguiente inecuación irracional, analizando cuidadosamente el dominio conjunto de las raíces y las implicaciones de elevar al cuadrado en cada paso:
$\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 2} > 1$