Polinomios
¿Cómo resolverías $x^3-3x^2-4x+12=0$? No hay una fórmula sencilla como la de las ecuaciones cuadráticas. Pero si lograras escribir el polinomio como un producto de factores, cada factor te daría una solución. Piensa en María José, que en una cooperativa de Xela modela con un polinomio las ganancias de su tienda y necesita saber en qué día se anulan. Para eso tienes que operar con polinomios, dividirlos y factorizarlos, y de eso trata este apartado. Al final de la sección de factorización volvemos a esta ecuación.
Definición, grado y operaciones básicas
Un polinomio en $x$ es una suma $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, con coeficientes $a_i$ reales y exponentes naturales. El grado es el mayor exponente con coeficiente no nulo. $a_n$ es el coeficiente principal y $a_0$ el término independiente.
Sumar o restar es reducir términos semejantes (mismo grado). Multiplicar es aplicar la propiedad distributiva: cada término del primero por cada término del segundo, y después reducir.
Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado…
Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.
División de polinomios
Dividir $D(x)$ entre $d(x)$ da un cociente $C(x)$ y un resto $R(x)$ con
$$D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x),$$y el resto es de grado menor que el divisor (o nulo). El algoritmo es la división larga de siempre: divides el término de mayor grado, multiplicas, restas y repites con lo que queda.
Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:…
Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:
$(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5) : (x^2 - x + 1)$
Divisor $x-a$: división sintética (regla de Ruffini)
Cuando el divisor es de la forma $x-a$, no hace falta la división larga. La división sintética (regla de Ruffini) trabaja solo con los coeficientes y con el número $a$. Se baja el primer coeficiente; después se multiplica por $a$, se suma al coeficiente siguiente, y así hasta el final. El último número es el resto.
Utiliza la regla de Ruffini para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indica el cociente y el residuo.
Utiliza la regla de Ruffini para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indica el cociente y el residuo.
Teorema del resto y teorema del factor
Antes de dividir conviene saber si vale la pena. El teorema del resto dice que el resto de dividir $P(x)$ entre $x-a$ es $P(a)$. Esto se ve en $P(x)=(x-a)C(x)+R$: al poner $x=a$ el primer sumando se anula y queda $P(a)=R$.
La gráfica corta el eje $x$ justo en las raíces. Aquí son $-1$, $1$ y $2$.
Divisibilidad entre $x^n - a^n$
$P(x)=x^n-a^n$ cumple $P(a)=a^n-a^n=0$ para todo $n\ge 1$. Por el teorema del factor, $x-a$ divide siempre a $x^n-a^n$, y el cociente es
$$x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+a\,x^{n-2}+\dots+a^{n-1}).$$Por ejemplo, $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ y $x^5-32=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)$.
Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división…
Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división completa.
Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los…
Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Demuestra, utilizando el Teorema del Factor, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n \ge 1$. A…
Demuestra, utilizando el Teorema del Factor, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n \ge 1$. A continuación, aplica esta propiedad para extraer la raíz evidente y factorizar completamente el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ en el conjunto de los números reales.
Factorizar polinomios
Factorizar es escribir el polinomio como producto. El orden que conviene seguir es: factor común, productos notables (diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cubos) y, si hace falta, raíces y Ruffini.
Vuelve al principio: la ecuación $x^3-3x^2-4x+12=0$ queda como $(x-2)(x-3)(x+2)=0$. Un producto es cero si algún factor es cero, así que las soluciones son $x=2$, $x=3$ y $x=-2$.
Extrae el factor común y utiliza los productos notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Extrae el factor común y utiliza los productos notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Factoriza completamente el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de su forma factorizada, indica todas sus raíces reales.
Factoriza completamente el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de su forma factorizada, indica todas sus raíces reales.
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es un cociente de polinomios. Se opera como con fracciones numéricas, pero conviene factorizar primero. Todo valor que anule un denominador queda excluido.
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Simplificar: se cancelan factores completos comunes al numerador y al denominador.
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Multiplicar: numerador por numerador y denominador por denominador, y después simplificar.
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Dividir: se multiplica por la inversa. En una fracción de fracciones, extremos por extremos y medios por medios.
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Sumar y restar: se busca el mcm de los denominadores (factores comunes y no comunes, con el mayor exponente), se amplifica cada fracción y se opera el numerador.
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica, factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica, factorizando previamente el numerador y el denominador:
$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\frac{2x}{x-1} \times \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y simplifica el resultado:
$\frac{2x}{x-1} \times \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ viene dada por la siguiente expresión de fracciones algebraicas:…
En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ viene dada por la siguiente expresión de fracciones algebraicas:
$R_{eq}(x) = \frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x+1}$
Realiza las operaciones indicadas, calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores y simplifica la fracción resultante al máximo. ¿Cuál es el valor de la resistencia si $x = 3 \ \Omega$?
El área de una ventana de diseño especial en un edificio viene dada por la expresión $A(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Simplifica esta fracción algebraica factorizando…
El área de una ventana de diseño especial en un edificio viene dada por la expresión $A(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Simplifica esta fracción algebraica factorizando previamente el numerador (diferencia de cubos) y el denominador. Luego, evalúa el área cuando $x = 3$ metros.
En el diseño de un mecanismo de engranajes, la relación de transmisión se modela mediante la siguiente expresión algebraica compleja:…
En el diseño de un mecanismo de engranajes, la relación de transmisión se modela mediante la siguiente expresión algebraica compleja:
$T(x) = \frac{\frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}}{\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 2x + 4}}$
Simplifica $T(x)$ al máximo factorizando previamente todos los numeradores y denominadores. ¿Qué problema matemático (y por tanto físico) ocurre con la relación de transmisión si $x = 2$?
Dada la fracción algebraica que modela la relación señal-ruido en una red de telecomunicaciones: $S(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12}{x^3 - 5x^2 + 2x + 8}$…
Dada la fracción algebraica que modela la relación señal-ruido en una red de telecomunicaciones:
$S(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12}{x^3 - 5x^2 + 2x + 8}$
Factoriza completamente el numerador y el denominador utilizando la regla de Ruffini y la resolución de ecuaciones de segundo grado. Simplifica la fracción al máximo y determina, si existe, para qué valor real de $x$ la fracción simplificada es igual a $3$.
Polinomios con parámetros
A veces un polinomio tiene coeficientes desconocidos. Cada condición que se da sobre él se traduce en una ecuación:
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«El valor en $a$ es $v$» da $P(a)=v$.
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«El resto de dividir entre $x-a$ es $r$» da $P(a)=r$.
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«Es divisible por $x-a$» da $P(a)=0$.
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«Es divisible por $(x-a)^2$» significa que $a$ es raíz doble: se divide por $x-a$ con Ruffini y el cociente vuelve a dar resto $0$ al dividirlo otra vez. Aporta dos ecuaciones.
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«Tiene raíces $r_1,r_2,r_3$» da $P(x)=k(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$, y otro dato fija $k$.
Con $n$ incógnitas hacen falta $n$ condiciones independientes: un sistema de $n$ ecuaciones. Si el ejercicio viene con un enunciado en palabras, lo primero es escribir el polinomio que pide; después se trabaja con las mismas herramientas (productos, desarrollo, Ruffini).
En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un…
En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un número constante (es decir, un polinomio de grado 0). ¿Cuál es el valor exacto de ese resto?
Las ganancias diarias de una empresa, en miles de quetzales, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7).…
Las ganancias diarias de una empresa, en miles de quetzales, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7). Se sabe que el día 1 la ganancia es cero. Además, al dividir $B(x)$ entre $x-2$, el residuo es $2$. Calcula los parámetros $a$ y $b$, y factoriza el polinomio para determinar en qué otro día de la semana la ganancia vuelve a ser exactamente cero.
Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de…
Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de lado $x$ en cada esquina y pliegan los bordes hacia arriba. Expresa el volumen $V(x)$ de la caja como un polinomio en forma estándar (desarrollado). Después, calcula el volumen exacto si se recortan cuadrados de $x = 4 \text{ cm}$.
La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha…
La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha comprobado que a las temperaturas $t = 1 \ ^\circ\text{C}$, $t = 2 \ ^\circ\text{C}$ y $t = -1 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es nula. Sin embargo, a $t = 0 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es de $2 \text{ mm}$. Determina el valor de los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio.
La curva de flexión de una viga sometida a carga se modela con el polinomio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Se sabe que el polinomio es exactamente divisible por…
La curva de flexión de una viga sometida a carga se modela con el polinomio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Se sabe que el polinomio es exactamente divisible por $(x-1)^2$. Además, al dividirlo por $x+1$ el resto es $-8$, y al dividirlo por $x-2$ el resto es $4$. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y halla los valores de $a, b, c$ y $d$.
Un envase cilíndrico se inscribe dentro de una esfera de radio $R = 10 \text{ cm}$. El volumen del cilindro en función de su semialtura $x$ es…
Un envase cilíndrico se inscribe dentro de una esfera de radio $R = 10 \text{ cm}$. El volumen del cilindro en función de su semialtura $x$ es $V(x) = 2\pi x (100 - x^2)$. Se desea que el volumen sea exactamente $768\pi \text{ cm}^3$. Formula la ecuación polinómica $P(x) = 0$, encuentra su raíz entera utilizando la regla de Ruffini y factoriza el polinomio resultante para hallar todas las posibles semialturas $x$ que cumplen la condición geométrica.
En un proyecto de diseño 3D, se parte de un cubo macizo de arista $x+2 \text{ cm}$. Se perfora su interior extrayendo otro cubo concéntrico de arista $x-1 \text{ cm}$.…
En un proyecto de diseño 3D, se parte de un cubo macizo de arista $x+2 \text{ cm}$. Se perfora su interior extrayendo otro cubo concéntrico de arista $x-1 \text{ cm}$. Expresa el volumen de material restante como un polinomio en forma estándar (desarrollando los binomios al cubo y simplificando). Después, halla el valor de $x$ si se sabe que el volumen de material restante es exactamente de $117 \text{ cm}^3$.
Potencias de un binomio
Desarrollar $(a+b)^n$ multiplicando $n$ veces es muy largo. Los coeficientes se leen en el triángulo de Tartaglia (o de Pascal): cada número es la suma de los dos de arriba.
Desarrolla completamente la potencia del binomio $(2x - y)^4$ utilizando la fórmula del Binomio de Newton o el triángulo de Tartaglia.
Desarrolla completamente la potencia del binomio $(2x - y)^4$ utilizando la fórmula del Binomio de Newton o el triángulo de Tartaglia.
En un estudio de combinaciones genéticas, la distribución de cierta probabilidad está relacionada con el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$.…
En un estudio de combinaciones genéticas, la distribución de cierta probabilidad está relacionada con el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$. Encuentra el valor numérico exacto del término independiente (el término que no depende de $x$) en este desarrollo.
En el desarrollo del binomio $(x + 2)^n$, se sabe que el coeficiente del término que contiene $x^{n-2}$ es exactamente $180$. Plantea la ecuación correspondiente…
En el desarrollo del binomio $(x + 2)^n$, se sabe que el coeficiente del término que contiene $x^{n-2}$ es exactamente $180$. Plantea la ecuación correspondiente utilizando la fórmula del Binomio de Newton, halla el valor del número natural $n$ y calcula el término independiente de dicho desarrollo.
Potenciación y radicación de polinomios
Elevar un polinomio a una potencia es multiplicarlo por sí mismo: $(x-2)^2=x^2-4x+4$. La raíz cuadrada de un polinomio hace el camino contrario: si el polinomio es el cuadrado de otro, su raíz es ese otro (con signo, $\pm$).