Forma polar y trigonométrica de un número complejo

Módulo y argumento: las coordenadas polares de $z$

Hasta ahora ubicabas el punto de $z = a + bi$ con el par $(a, b)$. También puedes ubicarlo con su distancia al origen y el ángulo que forma con el semieje real positivo: son las coordenadas polares.

Argumentos equivalentes

Sumar o restar vueltas completas ($360^\circ$) deja el vector en el mismo lugar. Entonces, para $r, s > 0$: $r_\alpha = s_\beta$ si y solo si $r = s$ y $\alpha = \beta + 360^\circ k$ con $k$ entero. Por eso el argumento se suele dar entre $0^\circ$ y $360^\circ$: así cada complejo no nulo tiene una única forma polar «estándar».

De polar a binómica: forma trigonométrica

Si tienes $r$ y $\alpha$, recuperar $a$ y $b$ es trigonometría del triángulo rectángulo: el cateto adyacente es $a = r\cos\alpha$ y el opuesto es $b = r\,\sen\alpha$.

Conjugado y opuesto en forma polar

En binómica, conjugar cambia el signo de $b$, y el opuesto cambia los dos signos. En polar se ve en el ángulo: conjugar refleja el vector respecto del eje real, y el opuesto lo gira media vuelta.

Producto, cociente e inverso

La gran ventaja de la forma polar: multiplicar y dividir se vuelve muy simple.

¿Por qué? Multiplicando en forma trigonométrica:

$r(\cos\alpha + i\,\sen\alpha) \cdot s(\cos\beta + i\,\sen\beta) = rs\,[(\cos\alpha\cos\beta - \sen\alpha\,\sen\beta) + i(\sen\alpha\cos\beta + \cos\alpha\,\sen\beta)]$

y las fórmulas del seno y del coseno de una suma convierten los paréntesis en $\cos(\alpha + \beta)$ y $\sen(\alpha + \beta)$. El cociente sale de que dividir es multiplicar por el inverso.

Multiplicar por $1_\theta$ no cambia el módulo y suma $\theta$ al argumento: es un giro de $\theta$ alrededor del origen en sentido antihorario. También sirve para ubicar vectores consecutivos: si un segmento está girado $\theta$ respecto de otro, su argumento es el del otro más $\theta$.

Potencias: fórmula de Moivre

Elevar a la $n$ es multiplicar $n$ veces por el mismo número: los módulos se multiplican (queda $r^n$) y los ángulos se suman $n$ veces (queda $n\alpha$).

Cuando $r = 1$ la fórmula se usa para deducir identidades trigonométricas. Por ejemplo, con $n = 2$:

$(\cos\alpha + i\,\sen\alpha)^2 = \cos 2\alpha + i\,\sen 2\alpha.$

Si desarrollas el cuadrado a la izquierda, $\cos^2\alpha - \sen^2\alpha + 2i\,\sen\alpha\cos\alpha$, e igualas partes reales e imaginarias, queda $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sen^2\alpha$ y $\sen 2\alpha = 2\,\sen\alpha\cos\alpha$. Con exponente 3 se procede igual, desarrollando el cubo del binomio.

También conviene saber que las potencias de un complejo de módulo 1 se repiten: si $z = 1_{120^\circ}$, entonces $z^3 = 1_{360^\circ} = 1$, y a partir de ahí $z^4 = z$, $z^5 = z^2$, etc. Para exponentes grandes, divide el exponente entre 3 y quédate con el resto.

Raíces n-ésimas y ecuaciones

Una raíz $n$-ésima de $w$ es un número $z$ tal que $z^n = w$. Si $z = \rho_\theta$ y $w = r_\alpha$, por Moivre debe ser $\rho^n = r$ y $n\theta = \alpha + 360^\circ k$. De ahí sale la fórmula.

¿Por qué solo $n$ valores de $k$? Para $k = n$ el ángulo aumenta en $360^\circ$ y se repite la raíz de $k = 0$.

Para resolver una ecuación del tipo $z^n = w$, pasa $w$ a polar y aplicá la fórmula. Por ejemplo, $z^3 = -8$: como $-8 = 8_{180^\circ}$, las raíces tienen módulo $2$ y argumentos $60^\circ, 180^\circ, 300^\circ$. En binómica: $1 + \sqrt{3}\,i$, $-2$ y $1 - \sqrt{3}\,i$.

Si la ecuación tiene la forma de una cuadrática en $z^k$ (bicuadrática, o con $z^6$ y $z^3$), haz un cambio de variable. Por ejemplo, $z^4 + 3z^2 - 4 = 0$: con $w = z^2$ queda $w^2 + 3w - 4 = 0$, con soluciones $w = 1$ y $w = -4$. Luego resuelves $z^2 = 1$ (da $\pm 1$) y $z^2 = -4 = 4_{180^\circ}$ (da $2_{90^\circ} = 2i$ y $2_{270^\circ} = -2i$).

Vuelve al principio: el punto del huipil de Ixchel a 3 unidades del centro, en la dirección de $10^\circ$, es $3_{10^\circ}$. Para girarlo $60^\circ$ se lo multiplica por $1_{60^\circ}$ y queda $3_{70^\circ}$: el giro es solo sumar ángulos.

Resumen