La recta real

Expresa como intervalo y como desigualdad el conjunto de números reales que son mayores o iguales que $-3$ y estrictamente menores que $5$.

Escribe en forma de intervalo el conjunto de números reales que cumplen la condición $|x| \le 7$.

Indica cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo $[-1, \pi)$:

$-1.01$, $-1$, $3.14$, $\frac{22}{7}$, $\sqrt{10}$.

Expresa el entorno $E(-1, 3)$ como un intervalo numérico y descríbelo mediante una desigualdad con valor absoluto.

Dado el intervalo abierto $(2, 8)$, exprésalo en forma de entorno indicando explícitamente cuál es su centro $a$ y su radio $r$.

En un laboratorio de biología, una incubadora debe mantener una temperatura $T$ en grados Celsius que no difiera de $37^{\circ}\text{C}$ en más de $0.5^{\circ}\text{C}$. Expresa esta condición de tolerancia mediante una desigualdad con valor absoluto y determina el intervalo de temperaturas permitidas.

El precio de una acción en bolsa fluctúa alrededor de un valor central. Si el intervalo de fluctuación durante la semana ha sido $[112.5 , 127.5]$, expresa este rango utilizando la notación de entorno $E(a, r)$ y mediante una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$.

Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -4.5$ y $B = 2.3$, y expresa la operación matemática utilizando la notación de valor absoluto.

Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $|x - 4| = 9$.

Una pieza de motor cilíndrica tiene un diámetro ideal de $50\text{ mm}$. El control de calidad rechaza la pieza si el diámetro $d$ medido cumple que $|d - 50| > 0.02$. Escribe el intervalo de diámetros que son aceptados por el control de calidad.

En una competición de tiro con arco, un lanzamiento se considera "excelente" si la flecha impacta a una distancia $d$ del centro de la diana que cumple $|d| < 2.5\text{ cm}$. Si la diana está situada de modo que su centro es el origen de coordenadas de un eje unidimensional, indica el intervalo de posiciones "excelentes".

Dados los intervalos $A = [-2, 4)$ y $B = (1, 6]$, determina y expresa como un único intervalo el resultado de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.

Dados los conjuntos $A = (-\infty, 2]$, $B = (-1, 5)$ y $C = [0, +\infty)$, calcula $(A \cap B) \cup C$ y expresa el resultado como un único intervalo numérico.

Considera el intervalo $I = [-3, 4)$. Determina el conjunto complementario $\mathbb{R} \setminus I$ y exprésalo como la unión de dos intervalos.

Determina los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la intersección de los intervalos $A = (-\infty, 2k]$ y $B = (k + 3, +\infty)$ es un intervalo de longitud exactamente igual a $5$.

Resuelve la inecuación $|2x - 5| \le 3$ y representa el conjunto solución en forma de intervalo.

En un experimento de óptica, la posición $x$ de una lente a lo largo de un riel unidimensional debe satisfacer simultáneamente dos condiciones para que la imagen esté enfocada: la distancia a la fuente de luz $A$ (situada en $x=10$) debe ser mayor de $5\text{ cm}$, y la distancia a la pantalla $B$ (situada en $x=30$) debe ser menor de $12\text{ cm}$. Expresa estas condiciones mediante un sistema de inecuaciones con valor absoluto y determina el intervalo válido para la posición $x$.

Encuentra el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|x + 2| + |x - 3| \le 7$. Expresa el resultado en forma de intervalo.

La figura muestra la gráfica de la función $f(x) = |x + 2| + |x - 3|$ y la recta $y = 7$, para que puedas contrastar tu resultado.

Resuelve la inecuación con valores absolutos anidados $||x - 1| - 2| \le 1$ y expresa la solución final como la unión de dos intervalos cerrados.

Expresa como unión de intervalos el conjunto de todos los números reales que cumplen la inecuación cuadrática $x^2 - 4x - 5 > 0$.

La medida del radio de una esfera es $r = 5.0 \pm 0.1\text{ cm}$. Utilizando las propiedades de las desigualdades y los intervalos en la recta real, determina el intervalo estricto en el que se encuentra el volumen exacto de la esfera, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Considera el valor de $\pi$ sin aproximar en los extremos del intervalo resultante.

Explica los pasos para representar de forma exacta el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.

En el diseño de la fachada de un edificio, se utiliza la proporción áurea $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Basándote en la figura adjunta, justifica analíticamente por qué la construcción mostrada determina exactamente el valor de $\phi$ en la recta real.

Demuestra, encontrando un ejemplo explícito, que entre los números racionales $\frac{10}{7}$ y $\frac{143}{100}$ existe al menos un número irracional.