Image, grandissement et œil réduit

La lentille mince convergente

Une lentille mince convergente est plus épaisse au centre que sur les bords. Elle fait converger un faisceau de rayons parallèles à son axe en un même point : le foyer image $F'$.

On modélise la lumière par des rayons lumineux qui se propagent en ligne droite. Cette étude suppose une lentille mince et un objet proche de l'axe optique. Sur les dessins, on respecte une échelle : on choisit par exemple 1 cm sur le papier pour 5 cm dans la réalité.

On utilise les repères suivants :

• l'axe optique est la droite perpendiculaire à la lentille et passant par son centre $O$ (le centre optique) ;

• le foyer image $F'$ est situé sur l'axe, après la lentille ;

• le foyer objet $F$ est symétrique de $F'$ par rapport à $O$ ;

• la distance focale est $f' = OF'$, exprimée en mètres. Elle est positive pour une lentille convergente.

Plus la distance focale est petite, plus la lentille « dévie fortement » la lumière et plus sa vergence est grande. Par exemple, pour $f' = 25\ \text{cm} = 0{,}25\ \text{m}$, on obtient $C = \dfrac{1}{0{,}25} = 4{,}0\ \delta$.

Construire l'image avec trois rayons

Un objet $AB$ est perpendiculaire à l'axe optique, avec $A$ sur l'axe. L'image $A'B'$ est elle aussi perpendiculaire à l'axe, avec $A'$ sur l'axe. Il suffit donc de trouver l'image $B'$ du point $B$. On trace pour cela des rayons dont on connaît le trajet :

1. un rayon parallèle à l'axe : il ressort de la lentille en passant par $F'$ ;

2. un rayon passant par le centre optique $O$ : il n'est pas dévié ;

3. un rayon passant par le foyer objet $F$ : il ressort parallèle à l'axe.

Les rayons ressortent en se croisant en $B'$ : c'est l'image de $B$. Deux rayons suffisent, le troisième permet de vérifier.

Ici, l'objet est placé au-delà du foyer objet ($OA > f'$ en valeur absolue). L'image est :

• réelle : les rayons s'y croisent vraiment, on peut la recueillir sur un écran placé en $A'$ ;

• renversée : elle est « la tête en bas » par rapport à l'objet ;

• ici plus petite que l'objet, mais cela dépend de la position de l'objet.

Si l'objet est placé entre $F$ et $O$, les rayons ressortent en divergeant : ils ne se croisent pas. Leurs prolongements (en pointillés, vers l'arrière) se croisent en $B'$. L'image est alors virtuelle, droite et agrandie. On ne peut pas la recueillir sur un écran, mais on peut l'observer en regardant à travers la lentille. C'est le principe de la loupe.

Le grandissement

Pour comparer la taille de l'image à celle de l'objet, on utilise le grandissement.

Voici ce qu'on lit sur $\gamma$ :

• $|\gamma| > 1$ : l'image est agrandie ; $|\gamma| < 1$ : elle est réduite ;

• $\gamma < 0$ : l'image est renversée ; $\gamma > 0$ : elle est droite.

Dans le plan, l'axe est orienté dans le sens de la lumière : pour un objet réel, $OA < 0$. Pour une image réelle, $OA' > 0$. On a donc $\gamma < 0$, ce qui est cohérent avec une image renversée.

Pourquoi $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{OA'}{OA}$ ? Dans la figure de la section précédente, le rayon qui passe par $O$ forme deux triangles $OAB$ et $OA'B'$ avec leurs côtés alignés. D'après le théorème de Thalès, les rapports des côtés sont égaux.

En pratique, on calcule souvent en valeur absolue :

(les longueurs sont alors positives) et on lit le sens (droite ou renversée) sur le dessin ou sur le signe de $\gamma$.

La relation de conjugaison

Le dessin donne une idée de l'image, mais il est peu précis. Pour calculer exactement la position de l'image, on utilise la relation de conjugaison.

Cette relation relie la position de l'objet, celle de l'image et la distance focale. Si tu connais deux de ces grandeurs, tu trouves la troisième. Remarque que si l'objet est très loin ($OA \to -\infty$), alors $\dfrac{1}{OA} \approx 0$ et $OA' \approx f'$ : l'image se forme dans le plan focal.

Image virtuelle

Si l'objet est entre $F$ et $O$, on trouve $OA' < 0$ : l'image est avant la lentille, du même côté que l'objet. C'est une image virtuelle, qu'on ne peut pas projeter sur un écran. Le grandissement $\gamma = \dfrac{OA'}{OA}$ est alors positif : l'image est droite.

L'œil réduit

Ton œil fonctionne comme un appareil photo. On le modélise par l'œil réduit :

• le cristallin est une lentille mince convergente, de centre $O$ ;

• la rétine est un écran situé à une distance fixe $OA'$ de la lentille (environ $17\ \text{mm}$) ;

• l'image d'un objet doit se former sur la rétine pour être nette.

Comme la rétine est à distance fixe, c'est la distance focale du cristallin qui change : un muscle déforme le cristallin pour modifier sa vergence. C'est l'accommodation. Au repos, pour un œil normal, l'image d'un objet très éloigné se forme sur la rétine.

Le rayon qui passe par $O$ n'est pas dévié. Il relie $B$ à $B'$ et forme deux triangles semblables $OAB$ et $OA'B'$. D'après le théorème de Thalès :

Un œil myope est « trop convergent » : son cristallin, même au repos, a une distance focale trop courte. Les objets lointains forment leur image avant la rétine, donc elle est floue sur la rétine. Il ne voit net que les objets assez proches. La relation de conjugaison permet de calculer la distance maximale $OA$ à laquelle un objet est vu net.

Pour finir, reviens au début : la diapositive devient une grande image sur l'écran, car l'objet est placé juste au-delà du foyer objet. Alors $OA'$ est grand devant $|OA|$, donc $|\gamma|$ est grand. Pour l'œil, c'est l'inverse : l'objet est loin, donc $|\gamma|$ est très petit.

L'essentiel

• La vergence d'une lentille est $C = \dfrac{1}{f'}$, en dioptries ($\delta$) avec $f'$ en mètres.

• Pour construire l'image, on trace des rayons : un parallèle à l'axe (il passe par $F'$), un par $O$ (non dévié), un par $F$ (il ressort parallèle à l'axe).

• Objet au-delà de $F$ : image réelle et renversée. Objet entre $F$ et $O$ : image virtuelle, droite et agrandie.

• Grandissement : $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$. $|\gamma| > 1$ : agrandie ; $\gamma < 0$ : renversée.

• Relation de conjugaison : $\dfrac{1}{OA'} - \dfrac{1}{OA} = \dfrac{1}{f'}$, avec $OA < 0$ pour un objet réel.

• Œil réduit : cristallin = lentille, rétine = écran à $OA' \approx 17\ \text{mm}$ ; l'image sur la rétine est réelle et renversée.