Lois de Kirchhoff et mailles

Définir avec vos propres mots ces trois éléments de la topologie d'un circuit : (a) nœud, (b) branche et (c) maille. Donner un exemple de chacun en décrivant un circuit simple comportant deux piles et trois résistances.

Associer chaque notion à sa définition : (1) nœud, (2) branche, (3) maille, avec : (a) portion de circuit entre deux nœuds consécutifs, parcourue par le même courant ; (b) chemin fermé qui commence et se termine au même point sans passer deux fois par la même branche ; (c) point du circuit où se rejoignent trois conducteurs ou plus.

Les règles des circuits en série et en dérivation (le courant est le même en série, la tension est la même en dérivation) sont en réalité des cas particuliers des lois de Kirchhoff. Expliquer à quelle loi correspond chacune et pourquoi les lois de Kirchhoff servent pour les circuits qui ne sont ni en série ni en dérivation.

Énoncer avec vos propres mots la loi des nœuds (ou première loi de Kirchhoff) et l'expliquer à l'aide d'une analogie hydraulique : que se passe-t-il pour le débit d'eau dans une conduite qui se divise en deux ?

Un courant de $5\ \text{A}$ arrive à un nœud par un câble et un courant de $2\ \text{A}$ en sort par une autre branche. En appliquant la loi des nœuds ($I_\text{entrent} = I_\text{sortent}$), calculer quel courant sort par la troisième branche du nœud et expliquer le raisonnement.

Un camarade affirme : « la loi des nœuds signifie que la charge électrique ne peut pas s'accumuler en un point du circuit : tout ce qui entre doit sortir ». Indiquer si l'affirmation est vraie ou fausse et la justifier physiquement.

Un courant de $3\ \text{A}$ arrive à un nœud par un câble et $1\ \text{A}$ sortent par l'une des deux autres branches. Calculer le courant qui sort par la dernière branche en appliquant $I_1 = I_2 + I_3$ et expliquer pourquoi il ne peut pas sortir plus de courant qu'il n'en entre.

Deux câbles amènent à un nœud des courants de $4\ \text{A}$ et $2\ \text{A}$, et $5\ \text{A}$ sortent par un troisième. (a) Calculer la valeur et le sens (entrant ou sortant) du courant dans le quatrième câble. (b) Vérifier le résultat en écrivant $\sum I = 0$ avec des signes (courants entrants positifs, sortants négatifs).

Entre deux nœuds se trouvent deux branches en dérivation : dans la première, de résistance $2\ \Omega$, circule un courant de $6\ \text{A}$. (a) En appliquant la loi des nœuds, calculer le courant de la seconde branche si le câble commun amène $9\ \text{A}$. (b) Calculer la résistance de cette seconde branche sachant que les deux branches sont soumises à la même tension. (c) Expliquer à l'aide de la loi des nœuds et de la loi d'Ohm pourquoi la branche de plus faible résistance est parcourue par le plus grand courant.

Énoncer avec vos propres mots la loi des mailles (ou seconde loi de Kirchhoff) : lorsqu'on parcourt entièrement n'importe quel chemin fermé d'un circuit, la somme des montées et des chutes de tension vaut $\sum V = 0$. L'expliquer avec l'analogie d'une promenade circulaire en montagne (on monte et on descend, mais on revient à la même altitude).

Dans une maille comportant une pile de $12\ \text{V}$ et deux résistances, on mesure des chutes de tension de $5\ \text{V}$ et $7\ \text{V}$. (a) Vérifier que la loi des mailles est respectée en écrivant la somme avec des signes. (b) Expliquer ce qui se passerait pour le courant de la maille si les chutes de tension mesurées avaient une somme inférieure à la tension de la pile.

Une branche formée d'une pile de $12\ \text{V}$ (parcourue de son pôle négatif vers son pôle positif) et d'une résistance de $3\ \Omega$ est traversée par un courant de $2\ \text{A}$. Calculer la différence de tension entre les extrémités de la branche en la parcourant dans le sens du courant (elle monte de $12\ \text{V}$ dans la pile et chute de $I \cdot R$ dans la résistance) et expliquer chaque terme de votre calcul.

Dans une seule maille sont branchées l'une après l'autre une pile de $12\ \text{V}$, une pile de $4\ \text{V}$ montée en opposition (leurs pôles positifs face à face) et une résistance totale de $8\ \Omega$. (a) Calculer la tension nette qui fait circuler le courant et la valeur de celui-ci $I$. (b) Calculer la chute de tension dans la résistance. (c) Écrire l'équation complète de la maille, $\sum V = 0$, en vérifiant qu'elle est satisfaite.

Pour charger une batterie de $6\ \text{V}$, on la branche en opposition avec un chargeur de $12\ \text{V}$ par l'intermédiaire d'une résistance de limitation de $3\ \Omega$, de façon à former une seule maille.

1. a) Calculer le courant de charge $I$ qui circule dans la maille (appliquer la loi d'Ohm à la tension nette qui fait circuler le courant et à la résistance).

1. b) Calculer la puissance fournie par le chargeur, celle absorbée par la batterie et celle dissipée par la résistance ($P = V \cdot I$ pour chaque élément).

1. c) Vérifier que la puissance fournie est la somme des puissances absorbées et expliquer ce que signifie ce bilan.

Le circuit de la figure comporte deux piles et trois résistances réparties en deux mailles, avec les courants de branche indiqués, comme le montre la figure.

(a) Écrire l'équation du nœud supérieur qui relie les trois courants de branche ($I_1$, $I_2$ et $I_3$). (b) Écrire l'équation de la maille de gauche (celle qui contient la pile de $12\ \text{V}$, $R_1$ et $R_3$) en appliquant $\sum V = 0$. (c) Écrire l'équation de la maille de droite. Il n'est pas nécessaire de résoudre le système : seulement de le poser.

Un circuit à deux mailles comporte une pile de $6\ \text{V}$ avec $R_1 = 1\ \Omega$ dans la branche de gauche, une pile de $4\ \text{V}$ avec $R_2 = 2\ \Omega$ dans la branche de droite et $R_3 = 2\ \Omega$ dans la branche commune. En notant $I_1$ et $I_2$ les courants des branches latérales et $I_3 = I_1 + I_2$ celui de la branche commune, poser (sans résoudre) les trois équations de Kirchhoff du circuit : celle du nœud et celles des deux mailles.

Un camarade affirme avoir résolu un circuit à deux mailles (pile de $12\ \text{V}$ avec $R_1 = 3\ \Omega$, pile de $8\ \text{V}$ avec $R_2 = 2\ \Omega$ et $R_3 = 2\ \Omega$ dans la branche commune) et dit que les courants sont $I_1 = 2\ \text{A}$, $I_2 = 1\ \text{A}$ et $I_3 = 3\ \text{A}$. Vérifier si sa solution est correcte en contrôlant, avec les nombres donnés : (a) la loi du nœud et (b) la loi des deux mailles.

Un circuit à deux mailles comporte une pile de $14\ \text{V}$ en série avec $R_1 = 2\ \Omega$ dans la branche de gauche, une pile de $9\ \text{V}$ en série avec $R_2 = 1\ \Omega$ dans la branche de droite et $R_3 = 2\ \Omega$ dans la branche commune. (a) Poser le système d'équations de Kirchhoff avec les courants de branche $I_1$ et $I_2$ (le courant de la branche commune est $I_1 + I_2$). (b) Le résoudre et donner les trois courants avec leur unité. (c) Vérifier la solution en contrôlant le nœud et l'une des mailles.

Le circuit de la figure comporte deux piles dans les branches latérales et une résistance dans la branche commune, dont le courant est marqué d'un point d'interrogation, comme le montre la figure.

(a) Poser le système d'équations de Kirchhoff du circuit. (b) Le résoudre et calculer les trois courants de branche, en particulier celui de la branche commune indiqué sur la figure. (c) Vérifier le résultat avec la loi des nœuds.

Un circuit ne comporte que deux nœuds, $A$ (en haut) et $B$ (en bas), reliés par trois branches en dérivation :

• Branche 1 : une pile de $12\ \text{V}$ en série avec une résistance de $2\ \Omega$, le pôle positif de la pile étant tourné vers le nœud $A$.

• Branche 2 : une résistance de $6\ \Omega$.

• Branche 3 : une pile de $4\ \text{V}$ en série avec une résistance de $1\ \Omega$, le pôle positif de la pile étant également tourné vers le nœud $A$.

1. a) Expliquer pourquoi ce circuit ne peut pas être résolu en associant des résistances en série et en dérivation.

1. b) Poser les équations de Kirchhoff nécessaires pour le résoudre, en définissant au préalable les courants de branche avec leur sens.

1. c) Indiquer combien d'équations indépendantes sont nécessaires et pourquoi.

Dans le circuit de la figure, comportant deux piles et trois résistances identiques de $1\ \Omega$, on a mesuré les courants des branches latérales, comme le montre la figure.

(a) Calculer le courant de la branche commune en appliquant uniquement la loi des nœuds, sans résoudre aucun système. (b) Avec les trois courants connus, calculer la chute de tension dans chaque résistance. (c) Vérifier que les mesures sont cohérentes en contrôlant la loi des mailles dans les deux mailles du circuit.

Dans un circuit à deux mailles, la branche de gauche comporte une pile de $20\ \text{V}$ avec $R_1 = 4\ \Omega$, celle de droite une pile de $18\ \text{V}$ avec $R_2 = 6\ \Omega$ et la branche commune $R_3 = 4\ \Omega$. (a) Poser et résoudre le système de Kirchhoff. (b) Avec les courants obtenus, calculer la puissance fournie par chaque pile et celle dissipée par chaque résistance. (c) Vérifier que la puissance totale fournie est égale à celle dissipée et expliquer pourquoi il doit toujours en être ainsi.

Une pile réelle de $12\ \text{V}$ a une résistance interne de $0{,}5\ \Omega$, qui peut être représentée en série avec elle. (a) Lorsqu'on y branche une charge de $5{,}5\ \Omega$, calculer le courant du circuit et la tension que l'on mesurerait aux bornes de la pile (elle n'est plus de $12\ \text{V}$). (b) Expliquer pourquoi la tension aux bornes diminue quand le courant augmente. (c) Expliquer ce qu'il adviendrait de cette tension si la charge était un court-circuit et pourquoi c'est dangereux.

Deux piles de tensions différentes, $6\ \text{V}$ et $4\ \text{V}$, de résistance interne $0{,}5\ \Omega$ chacune, sont branchées en dérivation (positif avec positif) sans aucune charge extérieure. (a) Dessiner le circuit équivalent et calculer, en appliquant Kirchhoff à la maille formée par les deux piles, le courant qui circule entre elles même sans charge. (b) Calculer la puissance dissipée par ce courant dans les résistances internes. (c) Utiliser le résultat pour expliquer pourquoi il ne faut jamais brancher en dérivation des piles ou des batteries de tensions différentes.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Défi du thème. Comment assureriez-vous l'éclairage de secours d'un poste sanitaire isolé ? Concevoir et valider un circuit mixte en courant continu avec deux sources indépendantes ($12,0\text{ V}$ et $9,0\text{ V}$) pour alimenter trois récepteurs critiques.

1. Données réelles : Rechercher les spécifications de trois lampes à DEL de signalisation dans des catalogues techniques en ligne afin d'en déduire les résistances équivalentes commerciales.

2. Résolution analytique : Dessiner le schéma du circuit formant deux mailles actives. Appliquer la loi d'Ohm et les lois de Kirchhoff pour calculer analytiquement les intensités de chaque branche et la tension aux bornes de chaque composant.

3. Simulation virtuelle : Monter le circuit dans Tinkercad Circuits. Brancher des voltmètres et des ampèremètres virtuels aux points clés pour relever les mesures expérimentales.

4. Proposition argumentée : Rédiger un court compte rendu avec LibreOffice contenant le schéma, le développement algébrique pas à pas et un tableau comparatif entre les valeurs théoriques et simulées, en justifiant tout écart.

Seront évalués :

• L'application rigoureuse des lois de Kirchhoff et la résolution mathématique du système d'équations.

• Un montage fonctionnel et ordonné dans Tinkercad avec un branchement correct des instruments de mesure.

• La clarté et l'esprit critique dans la confrontation des résultats analytiques avec les relevés simulés dans le tableau.