Modelo atómico de Bohr. Aplicación al átomo de hidrógeno
Un día de sol en el Malecón, la luz que llega de una lámpara de hidrógeno en el laboratorio del preuniversitario se descompone en el espectrómetro y aparecen solo unas pocas rayas de color, una de ellas roja. ¿Por qué el hidrógeno no emite todos los colores, sino solo esos? Para responderlo hace falta un modelo del átomo en el que la energía no pueda tomar cualquier valor. Ese modelo es el de Bohr (1913).
Antecedentes: de Thomson a Rutherford
Cuando se descubrió el electrón (J. J. Thomson, 1897) se supo que el átomo no era indivisible. Thomson propuso un modelo: una esfera positiva con los electrones incrustados, como las pasas en un pudín.
En 1911 Rutherford bombardeó una lámina finísima de oro con partículas $\alpha$. Casi todas la atravesaban sin desviarse, pero unas pocas rebotaban hacia atrás. Con el modelo de Thomson eso no podía ocurrir.
Rutherford concluyó que toda la carga positiva y casi toda la masa están en un núcleo muy pequeño, y que los electrones giran a su alrededor, como los planetas alrededor del Sol.
Este modelo planetario tenía un problema grave. Según la física clásica, una carga que gira está acelerada y debe emitir ondas electromagnéticas. El electrón perdería energía y caería en espiral hacia el núcleo en una fracción de segundo. Además, emitiría luz de todos los colores, y no solo las rayas observadas. Bohr corrigió estas dos fallas con postulados nuevos.
Los postulados de Bohr
Bohr mantuvo el átomo nuclear de Rutherford y añadió dos ideas.
«Estacionaria» significa que el estado no cambia con el tiempo. Mientras el electrón permanece en una órbita, la energía del átomo es constante y no se irradia nada. Por eso el átomo es estable.
Las energías están cuantizadas: solo existen ciertos valores $E_1, E_2, E_3, \dots$ y no hay estados intermedios. Esto explica las rayas del espectro: solo pueden salir fotones con energías iguales a diferencias entre niveles.
Enuncia los postulados del modelo atómico de Bohr. Explica con tus palabras qué significa que las órbitas del electrón en el átomo de hidrógeno sean «estacionarias» y…
Enuncia los postulados del modelo atómico de Bohr. Explica con tus palabras qué significa que las órbitas del electrón en el átomo de hidrógeno sean «estacionarias» y qué ocurre con la energía del átomo cuando el electrón permanece en una de ellas.
Radios y energías del hidrógeno
Aplicando sus postulados al átomo de hidrógeno (un protón y un electrón), Bohr obtuvo dos resultados. Aquí los usamos, sin deducirlos. El número $n = 1, 2, 3, \dots$ se llama número cuántico principal.
Los radios crecen como $n^2$: 1, 4, 9, 16… veces $r_1$. Las energías son negativas porque el electrón está ligado al núcleo: hay que aportar energía para arrancarlo. El valor $E = 0$ corresponde al electrón libre y en reposo, a distancia infinita.
El nivel $n = 1$ es el estado fundamental, el de menor energía ($-13{,}6\ \text{eV}$). Los niveles $n \ge 2$ son estados excitados.
Fíjate en que los niveles se van juntando hacia arriba, hacia $E = 0$.
La energía de enlace de un nivel es $|E_n|$: lo que hay que aportar para arrancar el electrón desde ese nivel. Cuanto más cerca del núcleo, más ligado está y mayor es $|E_n|$.
El radio de la primera órbita del átomo de hidrógeno (radio de Bohr) es $r_1 = 0{,}053\ \text{nm}$, y los radios de las órbitas permitidas cumplen $r_n = n^2 r_1$.…
El radio de la primera órbita del átomo de hidrógeno (radio de Bohr) es $r_1 = 0{,}053\ \text{nm}$, y los radios de las órbitas permitidas cumplen $r_n = n^2 r_1$. Calcula el radio de la órbita correspondiente a $n = 3$ y exprésalo en nanómetros.
La energía del electrón en el átomo de hidrógeno viene dada por $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$. Calcula la energía del electrón en el nivel $n = 2$ y en el…
La energía del electrón en el átomo de hidrógeno viene dada por $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$. Calcula la energía del electrón en el nivel $n = 2$ y en el nivel $n = 4$. Indica en cuál de los dos niveles el electrón está más fuertemente ligado al núcleo.
Según el modelo de Bohr, la energía total del electrón en el nivel $n$ es $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$ y el radio de la órbita es $r_n = n^2 r_1$, con…
Según el modelo de Bohr, la energía total del electrón en el nivel $n$ es $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$ y el radio de la órbita es $r_n = n^2 r_1$, con $r_1 = 0{,}053\ \text{nm}$. Un estudiante afirma que, al pasar del nivel $n = 1$ al nivel $n = 3$, el radio de la órbita se triplica y la energía de enlace también se triplica. Analiza la afirmación: calcula la variación del radio y de la energía de enlace (valor absoluto de $E_n$), corrige lo que sea incorrecto y explica el sentido físico del resultado.
Transiciones: emisión y absorción de fotones
Según el segundo postulado, en un salto entre el nivel inicial $n_i$ y el final $n_f$ la energía del fotón es
$$E_{fot} = hf = |E_f - E_i| = 13{,}6\ \text{eV}\left|\dfrac{1}{n_f^2} - \dfrac{1}{n_i^2}\right|$$-
Si el electrón baja ($nf < n_i$), el átomo emite un fotón.
-
Si sube ($n_f > n_i$), el átomo absorbe un fotón (o energía de otro origen) de energía justa.
Para pasar de energía a longitud de onda se usa $E_{fot} = hf = \dfrac{hc}{\lambda}$, es decir, $\lambda = \dfrac{hc}{E_{fot}}$ con $E$ en julios. Para convertir: $1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}$.
Ionización
Para ionizar el átomo hay que llevar el electrón hasta $E = 0$ ($n \to \infty$). Desde el estado fundamental hacen falta $0 - (-13{,}6) = 13{,}6\ \text{eV}$. Es la energía de ionización del hidrógeno.
Para una excitación (por ejemplo de $n = 1$ a $n = 4$) se necesita menos: $E_4 - E_1 = -0{,}85 + 13{,}6 = 12{,}75\ \text{eV}$. El electrón sigue ligado. Si el átomo absorbe un fotón con energía mayor de 13,6 eV, el electrón queda libre y le sobra energía cinética.
Un átomo de hidrógeno pasa del nivel $n = 3$ al nivel $n = 2$ y emite un fotón. Usando $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$, calcula la energía del fotón en…
Un átomo de hidrógeno pasa del nivel $n = 3$ al nivel $n = 2$ y emite un fotón. Usando $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$, calcula la energía del fotón en electronvoltios y en julios (usa $1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}$). Indica si el átomo emite o absorbe energía en esta transición.
Calcula la longitud de onda del fotón emitido cuando un átomo de hidrógeno pasa del nivel $n = 3$ al nivel $n = 2$. Utiliza $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$,…
Calcula la longitud de onda del fotón emitido cuando un átomo de hidrógeno pasa del nivel $n = 3$ al nivel $n = 2$. Utiliza $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$, $h = 6{,}63\times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3{,}0\times 10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}$. Expresa el resultado en nanómetros e indica si la radiación pertenece a la región visible (de 400 nm a 700 nm aproximadamente).
Un electrón de un átomo de hidrógeno se encuentra en el estado fundamental. Calcula la energía mínima que debe absorber para pasar al nivel $n = 4$ y la energía…
Un electrón de un átomo de hidrógeno se encuentra en el estado fundamental. Calcula la energía mínima que debe absorber para pasar al nivel $n = 4$ y la energía necesaria para ionizar el átomo desde ese estado fundamental. Compara ambos valores y explica qué representa cada uno. Usa $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$.
Todas las transiciones posibles y límites del modelo
Si el electrón está en $n = 4$, no tiene por qué bajar directamente al fundamental. Puede hacerlo en uno o varios saltos. Las rutas son: $4\to1$, $4\to2$, $4\to3$, $3\to1$, $3\to2$ y $2\to1$. Son 6 líneas posibles, aunque solo hay 3 niveles por debajo del cuarto. Eso se debe a que cada par de niveles da una línea, no solo cada nivel con el siguiente.
| Transición | Energía del fotón (eV) |
|---|---|
| 4 → 3 | $-0{,}85 + 1{,}51 = 0{,}66$ |
| 4 → 2 | $-0{,}85 + 3{,}40 = 2{,}55$ |
| 3 → 2 | $1{,}89$ |
| 4 → 1 | $-0{,}85 + 13{,}6 = 12{,}75$ |
| 3 → 1 | $-1{,}51 + 13{,}6 = 12{,}09$ |
| 2 → 1 | $-3{,}40 + 13{,}6 = 10{,}2$ |
El fotón de menor energía es el de $4\to3$ (0,66 eV) y el de mayor, el de $4\to1$ (12,75 eV). Un átomo aislado emite un solo fotón en cada salto. Pero una muestra de gas tiene muchísimos átomos, con sus electrones en distintos niveles, y por eso emite a la vez todas las líneas posibles.
Limitaciones del modelo
El modelo de Bohr tuvo mucho éxito con el hidrógeno, pero tiene límites:
-
Con átomos de varios electrones ya no da resultados correctos.
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No explica por qué algunas líneas son más intensas que otras ni el desdoblamiento de líneas en un campo magnético.
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Mezcla ideas clásicas (órbitas) con postulados cuánticos que no justifica.
La teoría cuántica posterior sustituyó las órbitas por estados descritos mediante probabilidades. Aun así, los niveles de energía del hidrógeno que obtuvo Bohr se mantienen.
Un átomo de hidrógeno, inicialmente en el nivel $n = 4$, regresa al estado fundamental. Determina todas las transiciones posibles (directas o en cascada) y calcula la…
Un átomo de hidrógeno, inicialmente en el nivel $n = 4$, regresa al estado fundamental. Determina todas las transiciones posibles (directas o en cascada) y calcula la energía de cada fotón que puede emitirse. Indica cuál es la transición que produce el fotón de menor energía y cuál el de mayor energía, y explica por qué el número de líneas espectrales posibles es mayor que el número de niveles menos uno. Usa $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$.
Vuelve al principio: la raya roja del hidrógeno es la transición $3 \to 2$, con $\lambda \approx 656\text{–}660\ \text{nm}$. El hidrógeno solo emite esos colores porque solo existen ciertas diferencias de energía entre sus niveles.