Momento de inercia, teorema de Steiner y energía cinética rotacional
En el Parque Zoológico de La Habana una niña empuja un carrusel con todas sus fuerzas. Vacío, arranca con facilidad; con diez niños sentados en el borde, casi no se mueve. La masa es la que cuenta, pero no solo ella: ¿importa también dónde está colocada? Eso es lo que mide el momento de inercia, y lo vas a descubrir en este apartado.
Qué es el momento de inercia
En la traslación, la masa mide la resistencia de un cuerpo a cambiar su velocidad (primera y segunda leyes de Newton). En la rotación ocurre algo parecido: un sólido rígido se resiste a cambiar su velocidad angular. Esa resistencia se llama momento de inercia.
Pero aquí no basta con la masa. Una puerta cuesta más trabajo abrirla si empujas cerca de las bisagras, y una rueda con el peso en el borde cuesta más ponerla a girar que otra con la misma masa concentrada en el centro. La distribución de la masa respecto al eje también cuenta.
Define con tus palabras qué es el momento de inercia de un sólido rígido respecto a un eje y escribe su unidad en el Sistema Internacional. Explica de qué dos factores…
Define con tus palabras qué es el momento de inercia de un sólido rígido respecto a un eje y escribe su unidad en el Sistema Internacional. Explica de qué dos factores depende.
Masas puntuales: $I = \sum m_i r_i^2$
Empecemos por lo más simple: una partícula de masa $m$ que gira a una distancia $r$ del eje. Su rapidez es $v=\omega r$, así que su energía cinética es $\tfrac12 m v^2=\tfrac12 (m r^2)\omega^2$. La combinación $mr^2$ es justamente su momento de inercia.
Fíjate en que $r$ está al cuadrado: duplicar la distancia al eje cuadruplica la contribución de esa masa.
Una partícula de $0{,}50\ \text{kg}$ gira en una circunferencia de $0{,}40\ \text{m}$ de radio alrededor de un eje. Calcula su momento de inercia respecto a ese eje,…
Una partícula de $0{,}50\ \text{kg}$ gira en una circunferencia de $0{,}40\ \text{m}$ de radio alrededor de un eje. Calcula su momento de inercia respecto a ese eje, considerándola una masa puntual.
Dos esferas pequeñas de $1{,}0\ \text{kg}$ cada una están unidas por una varilla ligera, cuya masa se desprecia, de $1{,}0\ \text{m}$ de longitud. El sistema gira…
Dos esferas pequeñas de $1{,}0\ \text{kg}$ cada una están unidas por una varilla ligera, cuya masa se desprecia, de $1{,}0\ \text{m}$ de longitud. El sistema gira alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su punto medio.
- a) Calcula el momento de inercia del sistema, tratando las esferas como masas puntuales.
- b) Calcula la energía cinética rotacional si gira a $6\ \text{rad/s}$.
- c) Explica qué ocurriría con el momento de inercia si el eje pasara por una de las esferas.
Cuerpos extensos conocidos
Un cuerpo continuo (un disco, una barra) se puede imaginar dividido en muchísimas partículas diminutas. Sumar todas las contribuciones $m_ir_i^2$ requiere matemática que verás más adelante, así que en este curso se dan los resultados. Respecto a un eje que pasa por el centro de masa:
| Cuerpo homogéneo | Eje | $I_{CM}$ |
|---|---|---|
| Partícula | a distancia $r$ | $mr^2$ |
| Disco o cilindro macizo, radio $R$ | perpendicular al disco, por su centro | $\tfrac12 mR^2$ |
| Cilindro hueco de pared delgada, radio $R$ | su eje | $mR^2$ |
| Barra delgada, longitud $L$ | perpendicular a la barra, por su centro | $\tfrac{1}{12}mL^2$ |
Observa la comparación entre el cilindro macizo y el hueco: con igual masa y radio, el hueco tiene el doble de $I$, porque toda su masa está a la distancia $R$ del eje, mientras que en el macizo parte de la masa está cerca del centro.
Un disco homogéneo de $4{,}0\ \text{kg}$ y $0{,}50\ \text{m}$ de radio gira alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro. Para un disco,…
Un disco homogéneo de $4{,}0\ \text{kg}$ y $0{,}50\ \text{m}$ de radio gira alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro. Para un disco, $I=\tfrac{1}{2}mR^2$.
- a) Calcula su momento de inercia.
- b) Calcula su energía cinética rotacional si gira a $12\ \text{rad/s}$.
Teorema de Steiner
Una misma barra tiene un $I$ si la haces girar por el centro y otro distinto si la haces girar por un extremo. No hay que repetir toda la suma para cada eje: si conoces $I_{CM}$ (respecto a un eje por el centro de masa), el teorema de Steiner da el momento de inercia respecto a cualquier eje paralelo a ese.
El término $md^2$ siempre es positivo: desplazar el eje del centro de masa solo puede aumentar $I$. El menor momento de inercia de un cuerpo, para una dirección dada, es el que corresponde al eje por su centro de masa.
Una barra delgada y homogénea de $2{,}0\ \text{kg}$ y $1{,}2\ \text{m}$ de longitud tiene respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro un momento de inercia…
Una barra delgada y homogénea de $2{,}0\ \text{kg}$ y $1{,}2\ \text{m}$ de longitud tiene respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro un momento de inercia $I_{CM}=\tfrac{1}{12}mL^2$.
- a) Calcula $I_{CM}$.
- b) Aplica el teorema de Steiner para hallar el momento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por uno de sus extremos.
Energía cinética rotacional
Un cuerpo que gira tiene energía cinética aunque su centro no se desplace. Sumamos la de cada partícula, con $v_i=\omega r_i$ y la misma $\omega$ para todas (sólido rígido):
$$E_c=\sum \tfrac12 m_i v_i^2=\tfrac12\Big(\sum m_ir_i^2\Big)\omega^2$$Muchos datos vienen en revoluciones: recuerda que $1\ \text{rev}=2\pi\ \text{rad}$, así que $\omega=2\pi f$ si $f$ está en rev/s.
Esto responde también a una pregunta práctica: si dos cuerpos reciben la misma energía, $\tfrac12I\omega^2$ es igual para ambos, así que el de menor $I$ alcanza mayor $\omega$.
Un volante de inercia tiene un momento de inercia de $2{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ y gira con velocidad angular de $10\ \text{rad/s}$. Calcula su energía cinética…
Un volante de inercia tiene un momento de inercia de $2{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ y gira con velocidad angular de $10\ \text{rad/s}$. Calcula su energía cinética rotacional.
Una rueda de un molino, de $50\ \text{kg}$, se modela como un disco homogéneo de $0{,}80\ \text{m}$ de radio. Gira a $3\ \text{rev/s}$ alrededor de su eje central. a)…
Una rueda de un molino, de $50\ \text{kg}$, se modela como un disco homogéneo de $0{,}80\ \text{m}$ de radio. Gira a $3\ \text{rev/s}$ alrededor de su eje central.
- a) Convierte la velocidad angular a rad/s.
- b) Calcula su energía cinética rotacional.
- c) Se instala la misma rueda con un eje paralelo desplazado $0{,}20\ \text{m}$ del centro. Calcula el nuevo momento de inercia con el teorema de Steiner y compara con el anterior. Explica por qué cambió.
Alejandro y Claudia comparan dos cilindros de igual masa, $3{,}0\ \text{kg}$, e igual radio, $0{,}20\ \text{m}$. El primero es un cilindro macizo con…
Alejandro y Claudia comparan dos cilindros de igual masa, $3{,}0\ \text{kg}$, e igual radio, $0{,}20\ \text{m}$. El primero es un cilindro macizo con $I=\tfrac{1}{2}mR^2$. El segundo es un cilindro hueco de pared delgada con $I=mR^2$. Ambos giran a $15\ \text{rad/s}$ alrededor de su eje.
- a) Calcula el momento de inercia y la energía cinética rotacional de cada uno.
- b) Argumenta por qué, con la misma masa y el mismo radio, los momentos de inercia son distintos.
- c) Si ambos recibieran la misma energía para ponerlos en rotación desde el reposo, ¿cuál alcanzaría mayor velocidad angular? Justifica tu respuesta.