Ecuación fundamental de la dinámica de rotación y movimiento combinado
Para aflojar un tornillo duro, Lázaro no lo intenta con la mano: usa una llave inglesa larga. ¿Por qué con la llave largo cuesta menos? Y cuando una rueda de bicicleta gira libremente, ¿qué hace falta para que empiece a girar más rápido o para que se detenga? En este apartado verás que en la rotación el torque juega el papel que la fuerza juega en la traslación.
El torque de una fuerza
Una fuerza empuja un cuerpo, pero para hacerlo girar importa además dónde y en qué dirección se aplica. Empujar una puerta cerca de las bisagras es difícil; hacerlo en el borde, perpendicular a la hoja, es fácil.
Si la fuerza forma un ángulo con la barra, solo cuenta su componente perpendicular: el torque es máximo cuando la fuerza es perpendicular a la barra y nulo si su recta de acción pasa por el eje. Convenio de signos: positivo si tiende a girar en sentido contrario a las manecillas del reloj, negativo en el sentido de las manecillas.
Define el torque (momento de una fuerza) respecto a un eje y escribe su unidad en el Sistema Internacional. Indica además cuándo es máximo el torque de una fuerza…
Define el torque (momento de una fuerza) respecto a un eje y escribe su unidad en el Sistema Internacional. Indica además cuándo es máximo el torque de una fuerza aplicada a una barra a cierta distancia del eje.
Lázaro aplica una fuerza de $40\ \text{N}$ perpendicular a una llave inglesa, a $0{,}25\ \text{m}$ del tornillo. Calcula el torque que ejerce sobre el tornillo.
Lázaro aplica una fuerza de $40\ \text{N}$ perpendicular a una llave inglesa, a $0{,}25\ \text{m}$ del tornillo. Calcula el torque que ejerce sobre el tornillo.
Ecuación fundamental de la dinámica de rotación
En la traslación, la fuerza neta produce aceleración: $F_{neta}=ma$. La masa mide la resistencia a cambiar el movimiento. En la rotación pasa lo mismo, pero con otras magnitudes: el torque neto produce aceleración angular, y el momento de inercia $I$ mide la resistencia a cambiar la rotación.
Compara las dos leyes:
| Traslación | Rotación |
|---|---|
| fuerza neta $F$ | torque neto $\tau$ |
| masa $m$ | momento de inercia $I$ |
| aceleración $a$ | aceleración angular $\alpha$ |
| $F=ma$ | $\tau=I\alpha$ |
Si $\alpha$ es constante, se usan las ecuaciones de la rotación uniformemente variada: $\omega=\omega_0+\alpha t$ y $\Delta\varphi=\omega_0 t+\tfrac12\alpha t^2$ (o $\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta\varphi$).
Sobre un volante con momento de inercia de $0{,}50\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ actúa un torque neto de $3{,}0\ \text{N}\cdot\text{m}$. Escribe la ecuación fundamental de…
Sobre un volante con momento de inercia de $0{,}50\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ actúa un torque neto de $3{,}0\ \text{N}\cdot\text{m}$. Escribe la ecuación fundamental de la dinámica de rotación y calcula la aceleración angular del volante.
Un disco homogéneo de $6{,}0\ \text{kg}$ y $0{,}40\ \text{m}$ de radio puede girar alrededor de su eje. Se enrolla una cuerda en su borde y se tira de ella con una…
Un disco homogéneo de $6{,}0\ \text{kg}$ y $0{,}40\ \text{m}$ de radio puede girar alrededor de su eje. Se enrolla una cuerda en su borde y se tira de ella con una fuerza tangencial constante de $12\ \text{N}$. El disco parte del reposo y $I=\tfrac{1}{2}mR^2$.
- a) Calcula el torque aplicado.
- b) Calcula el momento de inercia y la aceleración angular.
- c) Calcula la velocidad angular a los $5\ \text{s}$.
Una rueda con momento de inercia $2{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ gira a $30\ \text{rad/s}$. Un freno aplica un torque constante de frenado de…
Una rueda con momento de inercia $2{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ gira a $30\ \text{rad/s}$. Un freno aplica un torque constante de frenado de $6{,}0\ \text{N}\cdot\text{m}$.
- a) Calcula la aceleración angular de frenado.
- b) Calcula el tiempo que tarda en detenerse.
- c) Calcula el desplazamiento angular hasta detenerse.
Poleas con masa: traslación y rotación juntas
Si una cuerda cuelga de una polea que tiene masa, hay que aplicar dos ecuaciones: la segunda ley de Newton al bloque y $\tau=I\alpha$ a la polea. Las enlaza una condición: la cuerda no resbala, así que la rapidez de la cuerda es la del borde de la polea y
$$a = \alpha R$$Una polea de $2{,}0\ \text{kg}$ y $0{,}10\ \text{m}$ de radio, modelada como disco homogéneo, tiene una cuerda ligera enrollada. De la cuerda cuelga un bloque de…
Una polea de $2{,}0\ \text{kg}$ y $0{,}10\ \text{m}$ de radio, modelada como disco homogéneo, tiene una cuerda ligera enrollada. De la cuerda cuelga un bloque de $1{,}0\ \text{kg}$. El sistema se suelta del reposo y la cuerda no resbala en la polea. Toma $g=10\ \text{m/s}^2$ y desprecia el rozamiento en el eje.
- a) Dibuja mentalmente el diagrama de fuerzas del bloque y escribe su ecuación de movimiento. Escribe también la ecuación de rotación de la polea.
- b) Relaciona la aceleración del bloque con la aceleración angular de la polea y calcula la aceleración del bloque.
- c) Calcula la tensión de la cuerda y compárala con el peso del bloque. Explica por qué es menor.
Rodar sin deslizar: energía de traslación y de rotación
Una pelota que rueda por el suelo hace dos cosas a la vez: su centro de masa se traslada y el cuerpo gira alrededor de él. Su energía cinética total es la suma:
Esa condición permite escribir todo con una sola incógnita. Para un cilindro macizo ($I=\tfrac12mR^2$): $E_c=\tfrac12mv^2+\tfrac14mv^2=\tfrac34mv^2$, y la rotación aporta un tercio del total. Para una esfera maciza ($I=\tfrac25mR^2$): $E_c=\tfrac{7}{10}mv^2$, y la rotación aporta $\tfrac27$.
Una esfera maciza de $2{,}0\ \text{kg}$ y $0{,}10\ \text{m}$ de radio rueda sin deslizar por un plano horizontal con rapidez de su centro de masa de $3{,}0\ \text{m/s}$.…
Una esfera maciza de $2{,}0\ \text{kg}$ y $0{,}10\ \text{m}$ de radio rueda sin deslizar por un plano horizontal con rapidez de su centro de masa de $3{,}0\ \text{m/s}$. Para una esfera maciza, $I=\tfrac{2}{5}mR^2$.
- a) Calcula la velocidad angular de la esfera.
- b) Calcula la energía cinética de traslación y la de rotación.
- c) Calcula la energía cinética total.
Rodar por un plano inclinado
Un cilindro y un bloque salen del reposo de lo alto de una rampa. ¿Cuál llega primero? Para el bloque sin rozamiento, la energía potencial se convierte toda en traslación: $mgh=\tfrac12mv^2$. Para el cilindro que rueda sin deslizar, la fuerza de rozamiento estático permite que ruede y no disipa energía (el punto de contacto está instantáneamente en reposo), así que se conserva la energía mecánica, pero se reparte entre traslación y rotación:
$$mgh=\tfrac12mv^2+\tfrac12I\omega^2$$Un cilindro macizo homogéneo de $4{,}0\ \text{kg}$ y $0{,}20\ \text{m}$ de radio, con $I=\tfrac{1}{2}mR^2$, parte del reposo en lo alto de un plano inclinado de…
Un cilindro macizo homogéneo de $4{,}0\ \text{kg}$ y $0{,}20\ \text{m}$ de radio, con $I=\tfrac{1}{2}mR^2$, parte del reposo en lo alto de un plano inclinado de $2{,}0\ \text{m}$ de altura y rueda sin deslizar hasta la base. Toma $g=10\ \text{m/s}^2$.
- a) Aplica la conservación de la energía mecánica y calcula la rapidez de su centro de masa al llegar a la base.
- b) Calcula qué fracción de la energía cinética total corresponde a la rotación.
- c) Compara el resultado con la rapidez que tendría un bloque que desliza sin rozamiento desde la misma altura. Argumenta la diferencia.
Resumen
Vuelve al principio: con la llave larga el brazo $d$ es mayor, y el mismo esfuerzo produce más torque sobre el tornillo.