Ejercicios: Momento de inercia, teorema de Steiner y energía cinética rotacional

Define con tus palabras qué es el momento de inercia de un sólido rígido respecto a un eje y escribe su unidad en el Sistema Internacional. Explica de qué dos factores depende.

Una partícula de $0{,}50\ \text{kg}$ gira en una circunferencia de $0{,}40\ \text{m}$ de radio alrededor de un eje. Calcula su momento de inercia respecto a ese eje, considerándola una masa puntual.

Un volante de inercia tiene un momento de inercia de $2{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ y gira con velocidad angular de $10\ \text{rad/s}$. Calcula su energía cinética rotacional.

Un disco homogéneo de $4{,}0\ \text{kg}$ y $0{,}50\ \text{m}$ de radio gira alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro. Para un disco, $I=\tfrac{1}{2}mR^2$.

1. a) Calcula su momento de inercia.

1. b) Calcula su energía cinética rotacional si gira a $12\ \text{rad/s}$.

Una barra delgada y homogénea de $2{,}0\ \text{kg}$ y $1{,}2\ \text{m}$ de longitud tiene respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro un momento de inercia $I_{CM}=\tfrac{1}{12}mL^2$.

1. a) Calcula $I_{CM}$.

1. b) Aplica el teorema de Steiner para hallar el momento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por uno de sus extremos.

Dos esferas pequeñas de $1{,}0\ \text{kg}$ cada una están unidas por una varilla ligera, cuya masa se desprecia, de $1{,}0\ \text{m}$ de longitud. El sistema gira alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su punto medio.

1. a) Calcula el momento de inercia del sistema, tratando las esferas como masas puntuales.

1. b) Calcula la energía cinética rotacional si gira a $6\ \text{rad/s}$.

1. c) Explica qué ocurriría con el momento de inercia si el eje pasara por una de las esferas.

Una rueda de un molino, de $50\ \text{kg}$, se modela como un disco homogéneo de $0{,}80\ \text{m}$ de radio. Gira a $3\ \text{rev/s}$ alrededor de su eje central.

1. a) Convierte la velocidad angular a rad/s.

1. b) Calcula su energía cinética rotacional.

1. c) Se instala la misma rueda con un eje paralelo desplazado $0{,}20\ \text{m}$ del centro. Calcula el nuevo momento de inercia con el teorema de Steiner y compara con el anterior. Explica por qué cambió.

Alejandro y Claudia comparan dos cilindros de igual masa, $3{,}0\ \text{kg}$, e igual radio, $0{,}20\ \text{m}$. El primero es un cilindro macizo con $I=\tfrac{1}{2}mR^2$. El segundo es un cilindro hueco de pared delgada con $I=mR^2$. Ambos giran a $15\ \text{rad/s}$ alrededor de su eje.

1. a) Calcula el momento de inercia y la energía cinética rotacional de cada uno.

1. b) Argumenta por qué, con la misma masa y el mismo radio, los momentos de inercia son distintos.

1. c) Si ambos recibieran la misma energía para ponerlos en rotación desde el reposo, ¿cuál alcanzaría mayor velocidad angular? Justifica tu respuesta.