Desplazamiento, velocidad y aceleración angular del sólido rígido
En una bicicleta, la rueda gira como un solo cuerpo. Sin embargo, una piedrecita pegada al neumático recorre mucho más camino por vuelta que otra pegada cerca del eje. ¿Cómo describimos el giro de toda la rueda con una sola magnitud, si cada punto se mueve de forma distinta? Lo resolveremos en este epígrafe.
Sólido rígido y desplazamiento angular
Un sólido rígido es un cuerpo cuyas partículas mantienen siempre las mismas distancias entre sí: no se deforma al moverse. Una rueda, un disco o la hélice de un ventilador se pueden tratar así.
En una rotación alrededor de un eje fijo, todos los puntos describen circunferencias con centro en el eje. Cada punto tiene su propio radio $R$ (su distancia al eje), pero todos giran el mismo ángulo en el mismo tiempo. Por eso el ángulo sirve para describir el movimiento de todo el sólido.
El desplazamiento angular $\Delta\varphi$ es el ángulo que gira el sólido. Se mide en radianes (rad). Un radian es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Una vuelta completa equivale a:
$$1\ \text{vuelta} = 360^\circ = 2\pi\ \text{rad} \approx 6{,}28\ \text{rad}$$Para pasar de vueltas a radianes se multiplica por $2\pi$. Para pasar de grados a radianes se usa $\pi\ \text{rad} = 180^\circ$.
Una rueda de bicicleta da 5 vueltas completas alrededor de su eje. Expresa su desplazamiento angular en radianes. Escribe el resultado en función de $\pi$ y también con…
Una rueda de bicicleta da 5 vueltas completas alrededor de su eje. Expresa su desplazamiento angular en radianes. Escribe el resultado en función de $\pi$ y también con valor numérico aproximado, usando coma decimal.
Velocidad angular y rotación uniforme
Si un sólido gira más ángulo en el mismo tiempo, gira «más rápido». La velocidad angular media es el ángulo girado por unidad de tiempo:
$$\omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}$$Se mide en rad/s. También se usan las revoluciones por minuto (rpm): $1\ \text{rpm} = \dfrac{2\pi}{60}\ \text{rad/s} \approx 0{,}105\ \text{rad/s}$. La frecuencia $f$ (vueltas por segundo, en hertz) y el período $T$ (tiempo de una vuelta) se relacionan con $\omega$ por $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$.
Cuando $\omega$ es constante, la rotación es uniforme (la rotación análoga al MRU). Despejando el ángulo girado:
Es la misma estructura que $x = x_0 + vt$ del MRU: cambian las letras, no las ideas. Su gráfica $\varphi(t)$ es una recta, y la pendiente es $\omega$. La gráfica $\omega(t)$ es una recta horizontal, y el área bajo ella es $\Delta\varphi$.
El disco de un ventilador gira con velocidad angular constante de $20\ \text{rad/s}$. Calcula el desplazamiento angular que realiza en $6\ \text{s}$ y explica qué tipo…
El disco de un ventilador gira con velocidad angular constante de $20\ \text{rad/s}$. Calcula el desplazamiento angular que realiza en $6\ \text{s}$ y explica qué tipo de movimiento de rotación describe esta situación.
Magnitudes angulares y magnitudes lineales
Cada punto del sólido, a una distancia $R$ del eje, describe una circunferencia. Cuando el sólido gira $\Delta\varphi$, el punto recorre un arco $s$. Como un radian es el ángulo cuyo arco mide un radio:
$$s = \Delta\varphi \cdot R$$Si dividimos entre el tiempo, obtenemos la rapidez lineal del punto:
Aquí está la respuesta al inicio: la piedrecita del borde y la cercana al eje tienen la misma $\omega$ (la rueda es una sola), pero distinta $R$, así que la del borde tiene mayor $v$ y recorre más camino por vuelta ($2\pi R$).
Un punto de un sólido rígido está a $0{,}30\ \text{m}$ del eje de giro. El sólido gira con velocidad angular de $10\ \text{rad/s}$. Calcula la rapidez lineal de ese…
Un punto de un sólido rígido está a $0{,}30\ \text{m}$ del eje de giro. El sólido gira con velocidad angular de $10\ \text{rad/s}$. Calcula la rapidez lineal de ese punto y escribe la relación entre la rapidez lineal y la velocidad angular que utilizaste.
Aceleración angular y rotación uniformemente variada
Un esmeril al encenderse no alcanza de golpe su velocidad máxima: $\omega$ va cambiando. La aceleración angular media mide cuánto cambia $\omega$ por unidad de tiempo:
$$\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{\omega - \omega_0}{t}$$Se mide en rad/s². Si $\alpha>0$, $\omega$ aumenta (el sólido acelera, tomando el sentido de giro como positivo). Si $\alpha<0$, $\omega$ disminuye (frena).
Cuando $\alpha$ es constante, la rotación es uniformemente variada, igual que el MRUV pero con magnitudes angulares:
Una cuenta rápida justifica la segunda: la gráfica $\omega(t)$ es una recta y el ángulo girado es el área bajo ella. Si parte del reposo, esa área es un triángulo de base $t$ y altura $\alpha t$, es decir, $\tfrac{1}{2}\alpha t^2$.
Si $\omega$ y $\alpha$ tienen el mismo signo, el sólido acelera. Si tienen signos opuestos, frena.
| MRUV | Rotación uniformemente variada |
|---|---|
| $x$ | $\varphi$ |
| $v$ | $\omega$ |
| $a$ | $\alpha$ |
| $v = v_0 + at$ | $\omega = \omega_0 + \alpha t$ |
| $\Delta x = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ | $\Delta\varphi = \omega_0 t + \tfrac12 \alpha t^2$ |
Un esmeril parte del reposo y acelera de manera uniforme hasta alcanzar $120\ \text{rad/s}$ en $8\ \text{s}$. a) Calcula su aceleración angular. b) Calcula el…
Un esmeril parte del reposo y acelera de manera uniforme hasta alcanzar $120\ \text{rad/s}$ en $8\ \text{s}$.
- a) Calcula su aceleración angular.
- b) Calcula el desplazamiento angular durante esos $8\ \text{s}$.
- c) Expresa ese desplazamiento en vueltas.
La tabla muestra la velocidad angular de una turbina que se frena de manera uniforme. | $t$ (s) | 0 | 2 | 4 | 6 | |---|---|---|---|---| | $\omega$ (rad/s) | 60 | 45 | 30…
La tabla muestra la velocidad angular de una turbina que se frena de manera uniforme.
| $t$ (s) | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| $\omega$ (rad/s) | 60 | 45 | 30 | 15 |
- a) Determina la aceleración angular a partir de la tabla e interpreta su signo.
- b) Calcula en qué instante se detiene la turbina.
- c) Calcula cuántos radianes gira desde $t=0$ hasta que se detiene.
Aceleración tangencial y centrípeta de un punto
Un punto del sólido a distancia $R$ del eje tiene dos efectos de «aceleración» a la vez, porque su velocidad lineal cambia de dos maneras:
-
Cambia su módulo (rapidez) si el sólido acelera: eso es la aceleración tangencial $a_t$, dirigida según la tangente a la trayectoria.
-
Cambia su dirección porque la trayectoria es curva: eso es la aceleración centrípeta $a_c$, dirigida hacia el eje.
La relación $a_t = \alpha R$ sale de la de $v = \omega R$: si $\omega$ cambia $\Delta\omega$, la rapidez cambia $\Delta\omega \cdot R$. Ambas aceleraciones crecen con $R$, así que el borde «sufre» más que los puntos cercanos al eje.
Un disco de $0{,}20\ \text{m}$ de radio tiene una aceleración angular constante de $3\ \text{rad/s}^2$ y parte del reposo. Al cabo de $4\ \text{s}$, para un punto…
Un disco de $0{,}20\ \text{m}$ de radio tiene una aceleración angular constante de $3\ \text{rad/s}^2$ y parte del reposo. Al cabo de $4\ \text{s}$, para un punto situado en el borde del disco, calcula:
- a) la velocidad angular del disco,
- b) la rapidez lineal del punto,
- c) su aceleración tangencial.
Un grupo de la ESBU estudia la rueda de un molino de agua de $1{,}5\ \text{m}$ de radio. Parte del reposo y adquiere aceleración angular constante, de modo que a los…
Un grupo de la ESBU estudia la rueda de un molino de agua de $1{,}5\ \text{m}$ de radio. Parte del reposo y adquiere aceleración angular constante, de modo que a los $10\ \text{s}$ da 20 vueltas completas.
- a) Calcula la aceleración angular de la rueda.
- b) Calcula la velocidad angular a los $10\ \text{s}$.
- c) Para un punto del borde en ese instante, calcula la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta. Compara ambas e indica cuál domina.
Dos puntos, A y B, pertenecen a un mismo disco rígido que gira con aceleración angular constante. A está a $0{,}10\ \text{m}$ del eje y B a $0{,}40\ \text{m}$. El disco…
Dos puntos, A y B, pertenecen a un mismo disco rígido que gira con aceleración angular constante. A está a $0{,}10\ \text{m}$ del eje y B a $0{,}40\ \text{m}$. El disco parte del reposo y en $5\ \text{s}$ alcanza una velocidad angular de $25\ \text{rad/s}$.
- a) Argumenta qué magnitudes angulares son iguales para A y B y cuáles magnitudes lineales son diferentes.
- b) Calcula la rapidez lineal y la aceleración tangencial de cada punto a los $5\ \text{s}$.
- c) Calcula la distancia recorrida por cada punto durante esos $5\ \text{s}$ y explica la razón entre ambas.