Satélites y cuerpos celestes

La Estación Espacial Internacional (ISS) orbita a una altura de $400\ \text{km}$ sobre la superficie terrestre. La velocidad orbital de un satélite en órbita circular es $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y radio terrestre $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. El esquema muestra la órbita de la estación (sin escala):

1. a) Expresa el radio de la órbita, $r = R_T + h$, en metros.
2. b) Calcula la velocidad orbital de la ISS, en $\text{m/s}$, y exprésala en $\text{km/s}$.

La Luna, el satélite natural de la Tierra, orbita a una distancia media entre centros de $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula su velocidad orbital con $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, en $\text{m/s}$.
2. b) Compárala con la velocidad orbital de la ISS, unos $7,7\ \text{km/s}$: ¿cuál de los dos cuerpos orbita más rápido y por qué?

La velocidad orbital circular de un satélite es $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.

1. a) Razona, a partir de la expresión, si un satélite más alejado del centro de la Tierra orbita más rápido o más lento que uno cercano.
2. b) Si el radio de la órbita se multiplica por $4$, ¿qué le ocurre a la velocidad orbital? Justifícalo con la expresión.

Un satélite de observación describe una órbita circular de radio $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ con una velocidad orbital de $7,67\ \text{km/s}$.

1. a) Escribe la expresión del período en función del radio y de la velocidad, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$.
2. b) Calcula el período en segundos y exprésalo en minutos.

El telescopio espacial Hubble describe una órbita circular a $540\ \text{km}$ de altura. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T + h}}$.
2. b) Calcula su período orbital, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, y exprésalo en minutos.

La Estación Espacial Internacional completa una órbita en $T = 92\ \text{min}$.

1. a) Calcula cuántas órbitas completas da alrededor de la Tierra en un día ($24\ \text{h}$).
2. b) Razona cuántos amaneceres y cuántas puestas de Sol contemplan los astronautas cada día.
3. c) Si la estación orbitara a mayor altura, ¿daría más o menos órbitas al día? Razona la respuesta con la tercera ley de Kepler.

Las antenas parabólicas de televisión por satélite se instalan fijas, apuntando siempre al mismo punto del cielo.

1. a) Explica, usando las características de la órbita geoestacionaria, por qué no es necesario que la antena persiga al satélite.
2. b) Cita dos aplicaciones de los satélites geoestacionarios y razona qué ventaja aporta en ellas que el satélite parezca inmóvil.

Un satélite geoestacionario debe tener un periodo $T = 24\ \text{h}$. Combinando $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$ con $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$ se obtiene $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa el esquema (sin escala):

1. a) Expresa el periodo en segundos.
2. b) Calcula $r^3$ y, extrayendo la raíz cúbica, el radio de la órbita geoestacionaria.
3. c) Calcula la altura sobre la superficie, $h = r - R_T$, y exprésala en $\text{km}$.

Una empresa de telecomunicaciones va a colocar un satélite geoestacionario sobre el ecuador. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ y período de rotación terrestre $T = 24\ \text{h}$.

1. a) Partiendo de $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$ y de $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$, deduce la expresión $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
2. b) Calcula el radio de la órbita y la altura sobre la superficie.
3. c) Calcula la velocidad del satélite en su órbita y explica por qué, moviéndose a esa velocidad, parece inmóvil visto desde el suelo.

En la superficie terrestre $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$, pero la gravedad disminuye con la altura según $g = \frac{G\cdot M_T}{r^2}$. La ISS orbita con $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el valor de $g$ en la órbita de la ISS.
2. b) Exprésalo como porcentaje del valor en superficie.
3. c) Con ese resultado, explica por qué no es correcto afirmar que en la ISS «no hay gravedad» y qué significa que la estación y sus tripulantes se encuentren en caída libre continua.

Fobos, la mayor de las lunas de Marte, orbita a solo $r = 9,38\cdot10^{6}\ \text{m}$ del centro del planeta. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y masa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula su velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_M}{r}}$.
2. b) Calcula su período, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, y exprésalo en horas.
3. c) Marte rota sobre sí mismo en $24,6\ \text{h}$, en el mismo sentido en que orbita Fobos. Razona si Fobos, visto desde la superficie marciana, sale por el este o por el oeste.

Un estudiante escribe en una prueba: «un satélite geoestacionario está en reposo, porque no se mueve respecto al suelo terrestre; por lo tanto, no necesita velocidad orbital ni tiene aceleración».

1. a) Identifica los dos errores del razonamiento.
2. b) Calcula la velocidad orbital real de un satélite geoestacionario ($r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, $T = 24\ \text{h}$), en $\text{km/s}$.
3. c) Calcula su aceleración centrípeta, $a_c = \frac{v^2}{r}$, e indica qué fuerza la proporciona.

Compara la velocidad orbital de la ISS ($r_{ISS} = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) con la de la Luna ($r_L = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$) alrededor de la Tierra.

1. a) Demuestra, a partir de $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, que el cociente de velocidades es $\frac{v_{ISS}}{v_L} = \sqrt{\frac{r_L}{r_{ISS}}}$.
2. b) Calcula ese cociente con los datos del enunciado.
3. c) Explica, con ayuda de la ley de gravitación universal, por qué los cuerpos más alejados orbitan más lento.

La tercera ley de Kepler también se aplica a los satélites artificiales. Datos: ISS ($r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$, $T = 92\ \text{min}$) y Luna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $T = 27,3$ días). El esquema compara ambas órbitas (sin escala):

1. a) Expresa ambos períodos en segundos y calcula el cociente $\frac{T^2}{r^3}$ para la ISS y para la Luna, en unidades del Sistema Internacional.
2. b) Comprueba que ambos cocientes coinciden (salvo redondeos) y explica por qué tiene que ser así.
3. c) Utiliza ese valor común para predecir el período de un satélite que orbite con $r = 2,0\cdot10^{7}\ \text{m}$ y exprésalo en horas.

Las constelaciones de internet por satélite, como Starlink, emplean miles de satélites a $550\ \text{km}$ de altura, mientras que tres satélites geoestacionarios bastan para dar cobertura a casi todo el planeta. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. El esquema compara las dos órbitas (sin escala):

1. a) Calcula la velocidad y el período orbital de un satélite Starlink.
2. b) Calcula el cociente entre su período y el de un satélite geoestacionario ($24\ \text{h}$) y razona, con la tercera ley de Kepler, por qué los satélites bajos «pasan» tan rápido sobre un observador.
3. c) Explica por qué una órbita baja exige una constelación de miles de satélites para dar cobertura continua, mientras que en órbita geoestacionaria bastan tres.