Intensidad del campo gravitacional de un sistema de masas

El campo gravitatorio $\vec{g}$ en un punto se define como la fuerza por unidad de masa que actuaría sobre una masa de prueba colocada en él: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

1. a) A partir de esa definición, demuestra que $1\ \text{N/kg} = 1\ \text{m/s}^2$.
2. b) Explica con tus palabras qué significa que en un punto del espacio el campo valga $g = 3,7\ \text{N/kg}$: ¿qué fuerza sufriría una masa de $1\ \text{kg}$? ¿Y una de $10\ \text{kg}$?

El campo gravitatorio es una magnitud vectorial.

1. a) Indica la dirección y el sentido del vector $\vec{g}$ creado por la Tierra en un punto cualquiera de su entorno.
2. b) Dibuja en tu cuaderno el vector campo gravitatorio en ocho puntos repartidos alrededor del planeta (un mapa del campo): ¿qué tienen en común las direcciones de todos los vectores y cómo cambia el módulo al alejarse del planeta?
3. c) Explica por qué se dice que el campo gravitatorio es central y atractivo.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

El valor de la gravedad en la superficie terrestre se puede obtener a partir de la ley de la gravitación universal, como se muestra en la figura.

1. a) Partiendo de la ley de la gravitación universal y de la definición de campo gravitatorio (fuerza por unidad de masa), deduce la expresión del módulo del campo gravitatorio $g$ que crea un planeta esférico de masa $M$ y radio $R$ en su superficie.
2. b) Calcula su valor para la Tierra. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Compara el resultado con el valor habitual $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

Antes de enviar una misión tripulada a Marte conviene conocer la gravedad en su superficie.

1. a) Calcula el módulo del campo gravitatorio en la superficie de Marte. Datos: masa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$, radio de Marte $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) El radio de Marte es aproximadamente la mitad del terrestre y, sin embargo, su gravedad es bastante menor que la mitad de la terrestre: explica a qué se debe fijándote en la masa.

El campo gravitatorio de una masa puntual disminuye con el cuadrado de la distancia. El gráfico muestra esa dependencia:

1. a) Si a una distancia $r$ del centro de un planeta el campo vale $g$, ¿cuánto vale a una distancia $2\cdot r$? Razona la respuesta a partir de $g = G\cdot\frac{M}{r^2}$.
2. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra, expresada en radios terrestres $R_T$, el campo vale la cuarta parte del valor en la superficie?
3. c) ¿A qué altura sobre la superficie corresponde esa distancia?

Sobre una mesa de laboratorio se colocan dos masas puntuales de $10\ \text{kg}$ cada una, separadas $2,0\ \text{m}$. Sea $P$ un punto de la recta que las une, situado fuera del segmento, a $1,0\ \text{m}$ de una masa y a $3,0\ \text{m}$ de la otra. La disposición se muestra en la figura.

1. a) Calcula el módulo del campo que crea cada masa en $P$ e indica su sentido ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Como ambos campos tienen la misma dirección y sentido, calcula el campo total en $P$.

Dos masas puntuales, $m_1 = 5,0\ \text{kg}$ y $m_2 = 10\ \text{kg}$, están fijas en una mesa de laboratorio, en las posiciones $x_1 = 0$ y $x_2 = 2,0\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el campo que crea cada masa en el punto $x = 0,50\ \text{m}$, indicando módulo y sentido ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Aplica el principio de superposición para obtener el campo total en ese punto.
3. c) Razona hacia dónde se aceleraría una pequeña masa de prueba que se soltara allí en reposo.

Tres masas puntuales iguales, de $6,0\ \text{kg}$, están alineadas en las posiciones $x = 0$, $x = 1,0\ \text{m}$ y $x = 3,0\ \text{m}$ de una regla de laboratorio, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el campo que crea cada una de ellas en el punto $x = 2,0\ \text{m}$, indicando módulo y sentido ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Aplica la superposición y calcula el campo total en ese punto.
3. c) Sin resolver la ecuación, razona si debe existir algún punto entre $x = 2,0\ \text{m}$ y $x = 3,0\ \text{m}$ donde el campo total se anule: fíjate en el sentido del campo total en $x = 2,0\ \text{m}$ y en lo que ocurre al acercarse a la masa situada en $x = 3,0\ \text{m}$.

En un laboratorio de metrología se quiere medir el campo gravitatorio creado por una esfera maciza de plomo de $100\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el módulo del campo a $0,50\ \text{m}$ de su centro, tratando la esfera como una masa puntual ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Expresa el resultado en notación científica y compara su orden de magnitud con el del campo gravitatorio terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$): ¿qué conclusión sacas sobre la dificultad de la medición?

El Sol, por su enorme masa, también crea un campo gravitatorio apreciable a distancias astronómicas.

1. a) Calcula el módulo del campo gravitatorio del Sol en la órbita de la Tierra ($M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, distancia media $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compara el resultado con el campo en la superficie terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$): ¿cuántas veces menor es?
3. c) Si el Sol tira de nosotros con ese campo, ¿por qué no nos arranca de la superficie terrestre? (Pista: la Tierra y todo lo que hay sobre ella caen juntos hacia el Sol.)

El origen de las mareas está en que el campo gravitatorio de la Luna no es uniforme sobre toda la Tierra. El esquema muestra la geometría del problema:

1. a) Calcula el módulo del campo lunar en el punto de la superficie terrestre más cercano a la Luna (su distancia a la Luna es $d - R_T$).
2. b) Calcula el módulo del campo lunar en el punto de la superficie más alejado de la Luna (distancia $d + R_T$).
3. c) Calcula la diferencia entre ambos y explica por qué esa diferencia, aunque pequeña, «estira» los océanos y produce dos zonas de pleamar. Datos: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

Entre la Tierra y la Luna existe un punto en el que sus campos gravitatorios se cancelan. El esquema muestra la situación:

1. a) Con el origen en el centro de la Tierra, escribe la condición de anulación: $G\cdot\frac{M_T}{x^2} = G\cdot\frac{M_L}{(d - x)^2}$, donde $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ es la distancia Tierra–Luna.
2. b) Simplifica $G$, toma raíces cuadradas y despeja $x$ usando $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ (observa que $\frac{M_T}{M_L} \approx 81$, cuya raíz es $9$).
3. c) ¿A qué distancia de la Luna queda ese punto? Razona por qué está mucho más cerca de la Luna que de la Tierra.

Una nave de $1,2\cdot10^{4}\ \text{kg}$ viaja de la Tierra a la Luna por la recta que une sus centros.

1. a) Calcula a qué distancia del centro de la Tierra se anula el campo gravitatorio total (Tierra más Luna). Datos: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; toma $\sqrt{\frac{M_T}{M_L}} \approx 9$.
2. b) ¿Qué fuerza gravitatoria neta ejercen entre la Tierra y la Luna sobre la nave cuando está en ese punto?
3. c) Con los motores apagados, la nave se desplaza $10^{6}\ \text{m}$ desde ese punto hacia la Luna: calcula allí el campo total (módulo y sentido) y razona si el punto de anulación es una posición de equilibrio estable o inestable.

Dos masas puntuales iguales, $m = 2,0\ \text{kg}$, están en los puntos $(0; 0)$ y $(2; 0)\ \text{m}$ del plano, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula la distancia de cada masa al punto $P(1; 1)\ \text{m}$ y el módulo del campo que cada una crea en $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Dibuja en tu cuaderno los dos vectores campo en $P$ y razona qué componentes se cancelan por simetría.
3. c) Sabiendo que cada vector forma $45^\circ$ con la vertical ($\cos 45^\circ \approx 0,71$), calcula el campo total en $P$: módulo, dirección y sentido.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Tres masas puntuales iguales, $m = 100\ \text{kg}$, ocupan tres vértices de un cuadrado de lado $L = 2,0\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el módulo del campo que crea cada masa en el cuarto vértice (ojo: la masa del vértice opuesto dista $L\cdot\sqrt{2}$). Dato: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Descompón los tres vectores campo en las direcciones de los lados del cuadrado y calcula las componentes del campo total ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).
3. c) Calcula el módulo del campo total y razona, por simetría, por qué su dirección es la de la diagonal.
4. d) ¿Qué fuerza sufriría una masa de prueba de $50\ \text{kg}$ colocada en ese vértice?

Tres masas puntuales iguales, $m = 150\ \text{kg}$, están en los vértices de un triángulo equilátero de lado $L = 3,0\ \text{m}$. El centroide dista $\frac{L}{\sqrt{3}}$ de cada vértice. La figura muestra la disposición:

1. a) Razona, usando la simetría y la suma de tres vectores iguales que forman $120^\circ$ entre sí, que el campo total en el centroide es nulo.
2. b) Se retira una de las masas: aplicando la superposición, demuestra que el campo en el centroide es igual y opuesto al que creaba la masa retirada, y calcula su módulo ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Calcula la fuerza que sufriría una masa de $20\ \text{kg}$ colocada en el centroide e indica su dirección y sentido.