Vectores unitarios, producto escalar y producto vectorial
En un taller de El Alto, un mecánico intenta aflojar una tuerca atascada. Empuja la llave en distintas direcciones: a veces la tuerca casi no se mueve y otras cede de golpe, aunque use la misma fuerza. ¿Qué cambia? Para responder necesitamos dos operaciones nuevas entre vectores, el producto escalar y el producto vectorial. Antes, una herramienta para escribir vectores con orden: los vectores unitarios.
Vectores unitarios $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$
Un vector unitario es un vector de módulo 1. No tiene unidades: solo indica una dirección y un sentido.
Se usan tres unitarios en los ejes del espacio: $\hat{i}$ apunta en el eje $x$, $\hat{j}$ en el eje $y$ y $\hat{k}$ en el eje $z$. Con ellos cualquier vector se escribe como suma de sus componentes:
$$\vec{A} = A_x\,\hat{i} + A_y\,\hat{j} + A_z\,\hat{k} = (A_x, A_y, A_z)$$Para obtener el unitario de un vector $\vec{A}$ se divide el vector entre su módulo. Es el mismo vector «achicado» hasta medir 1, sin cambiar su dirección ni su sentido:
El vector $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ representa un desplazamiento en metros. Calcula su módulo y halla el vector unitario $\hat{u}A$ en su misma dirección y…
El vector $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ representa un desplazamiento en metros. Calcula su módulo y halla el vector unitario $\hat{u}_A$ en su misma dirección y sentido. Comprueba que el módulo de $\hat{u}_A$ es 1.
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores da como resultado un número (un escalar), no un vector. Se escribe con un punto: $\vec{A}\cdot\vec{B}$. Tiene dos formas de calcularse:
¿Por qué aparece el coseno? Porque $|\vec{B}|\cos\theta$ es la proyección de $\vec{B}$ sobre la dirección de $\vec{A}$: mide cuánto de $\vec{B}$ «va en el mismo sentido» que $\vec{A}$.
Las dos fórmulas dan el mismo resultado. La de componentes sirve cuando conoces las coordenadas. La del ángulo sirve cuando conoces los módulos y el ángulo.
El signo del resultado dice cómo están orientados los vectores:
| Ángulo $\theta$ | $\cos\theta$ | $\vec{A}\cdot\vec{B}$ |
|---|---|---|
| $0^\circ \le \theta < 90^\circ$ | positivo | positivo |
| $\theta = 90^\circ$ | 0 | 0 |
| $90^\circ < \theta \le 180^\circ$ | negativo | negativo |
Dados los vectores $\vec{A} = (2, 3)$ y $\vec{B} = (4, -1)$, calcula el producto escalar $\vec{A}\cdot\vec{B}$. Indica si el resultado es un número o un vector y explica…
Dados los vectores $\vec{A} = (2, 3)$ y $\vec{B} = (4, -1)$, calcula el producto escalar $\vec{A}\cdot\vec{B}$. Indica si el resultado es un número o un vector y explica por qué.
Perpendicularidad y trabajo
Del cuadro anterior sale una regla muy útil: si $\theta = 90^\circ$, entonces $\cos 90^\circ = 0$ y el producto escalar vale cero.
Esto permite comprobar perpendicularidad sin medir ángulos, y hallar valores desconocidos. Por ejemplo, $(1, 2)\cdot(4, -2) = 4 - 4 = 0$: son perpendiculares.
Aplicación: el trabajo mecánico. Cuando una fuerza $\vec{F}$ mueve un cuerpo un desplazamiento $\vec{d}$, el trabajo es el producto escalar:
$$W = \vec{F}\cdot\vec{d} = F\,d\cos\theta$$El trabajo se mide en joules (J). Solo cuenta la parte de la fuerza que va en la dirección del movimiento, que es la proyección de la fuerza.
Mueve el ángulo y observa cómo cambia la componente horizontal de la fuerza.
Sean $\vec{A} = (2, -1, 3)$ y $\vec{B} = (1, 4, 2)$. a) Calcula $\vec{A}\cdot\vec{B}$ e indica si los vectores son perpendiculares. Justifica. b) Halla el valor de $k$…
Sean $\vec{A} = (2, -1, 3)$ y $\vec{B} = (1, 4, 2)$.
- a) Calcula $\vec{A}\cdot\vec{B}$ e indica si los vectores son perpendiculares. Justifica.
- b) Halla el valor de $k$ para que $\vec{C} = (k, 2, 0)$ sea perpendicular a $\vec{A}$.
Una comerciante jala un carrito de mercado con una fuerza de 50 N que forma un ángulo de $60^\circ$ con el suelo. El carrito se desplaza 10 m en línea recta sobre el…
Una comerciante jala un carrito de mercado con una fuerza de 50 N que forma un ángulo de $60^\circ$ con el suelo. El carrito se desplaza 10 m en línea recta sobre el piso horizontal. Calcula el trabajo realizado con $W = \vec{F}\cdot\vec{d}$, usando $\cos60^\circ = 0{,}5$. Después indica cuánto valdría el trabajo si la fuerza fuera perpendicular al desplazamiento y explica el resultado.
Producto vectorial
El producto vectorial $\vec{A}\times\vec{B}$ da como resultado un vector. Tiene tres características:
El módulo es el área del paralelogramo que forman $\vec{A}$ y $\vec{B}$. Es máximo con $\theta = 90^\circ$ y vale cero si los vectores son paralelos ($\operatorname{sen}0^\circ = 0$).
Para los unitarios de los ejes, el producto vectorial sigue un orden cíclico:
$$\hat{i}\times\hat{j} = \hat{k}, \qquad \hat{j}\times\hat{k} = \hat{i}, \qquad \hat{k}\times\hat{i} = \hat{j}$$Si inviertes el orden, cambia el signo: $\hat{j}\times\hat{i} = -\hat{k}$. En general, $\vec{B}\times\vec{A} = -\,\vec{A}\times\vec{B}$. Además, $\hat{i}\times\hat{i} = 0$.
Por componentes se usa la regla del determinante:
$$\vec{A}\times\vec{B} = (A_yB_z - A_zB_y)\,\hat{i} + (A_zB_x - A_xB_z)\,\hat{j} + (A_xB_y - A_yB_x)\,\hat{k}$$Escribe el resultado de los productos vectoriales $\hat{i}\times\hat{j}$, $\hat{j}\times\hat{k}$ y $\hat{k}\times\hat{i}$. Luego calcula el módulo de…
Escribe el resultado de los productos vectoriales $\hat{i}\times\hat{j}$, $\hat{j}\times\hat{k}$ y $\hat{k}\times\hat{i}$. Luego calcula el módulo de $\vec{A}\times\vec{B}$ si $|\vec{A}| = 3$, $|\vec{B}| = 4$ y el ángulo entre ellos es de $30^\circ$. Usa $\operatorname{sen}30^\circ = 0{,}5$.
Dados $\vec{A} = (1, 2, 0)$ y $\vec{B} = (0, 3, 4)$, calcula el producto vectorial $\vec{A}\times\vec{B}$ usando el determinante o la regla de componentes. Comprueba que…
Dados $\vec{A} = (1, 2, 0)$ y $\vec{B} = (0, 3, 4)$, calcula el producto vectorial $\vec{A}\times\vec{B}$ usando el determinante o la regla de componentes. Comprueba que el vector obtenido es perpendicular a $\vec{A}$ calculando el producto escalar entre ambos.
Torque: el producto vectorial en la llave
Volvamos al taller. El efecto de girar de una fuerza se llama momento de la fuerza o torque:
$$\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}, \qquad |\vec{\tau}| = r\,F\operatorname{sen}\theta$$Aquí $\vec{r}$ va desde el eje de giro (la tuerca) hasta el punto donde aplicas la fuerza, y $\theta$ es el ángulo entre la llave y la fuerza. Se mide en N·m.
Por el seno, el torque es máximo cuando la fuerza es perpendicular a la llave ($\theta = 90^\circ$). Si empujas en la misma línea de la llave ($\theta = 0^\circ$), el torque es cero: la tuerca no gira.
Así se responde la pregunta del inicio: el mecánico afloja la tuerca cuando empuja perpendicular a la llave, porque ahí $\operatorname{sen}\theta = 1$. Para ganar más torque con la misma fuerza también puede usar una llave más larga.
Para aflojar una tuerca se usa una llave de 0,4 m de longitud. El momento de la fuerza (torque) cumple $|\vec{\tau}| = r\,F\,\operatorname{sen}\theta$, donde $\theta$ es…
Para aflojar una tuerca se usa una llave de 0,4 m de longitud. El momento de la fuerza (torque) cumple $|\vec{\tau}| = r\,F\,\operatorname{sen}\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre la llave y la fuerza.
- a) Calcula el torque si se aplican 100 N formando $30^\circ$ con la llave.
- b) Calcula el torque con la misma fuerza aplicada perpendicularmente a la llave.
- c) Calcula qué fuerza haría falta con $\theta = 30^\circ$ para igualar el torque del inciso b.
- d) Argumenta cómo conviene aplicar la fuerza para aflojar con el menor esfuerzo.
Sean $\vec{A} = (1, 2, 2)$ y $\vec{B} = (2, -2, 1)$. a) Demuestra que son perpendiculares. b) Calcula $|\vec{A}|$ y $|\vec{B}|$. c) Halla $\vec{A}\times\vec{B}$ y…
Sean $\vec{A} = (1, 2, 2)$ y $\vec{B} = (2, -2, 1)$.
- a) Demuestra que son perpendiculares.
- b) Calcula $|\vec{A}|$ y $|\vec{B}|$.
- c) Halla $\vec{A}\times\vec{B}$ y calcula su módulo.
- d) Verifica ese módulo con $|\vec{A}||\vec{B}|\operatorname{sen}\theta$ e indica el valor de $\theta$.
- e) Escribe el vector unitario en la dirección de $\vec{A}\times\vec{B}$ y explica por qué es perpendicular al plano que forman $\vec{A}$ y $\vec{B}$.
Resumen
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Un vector unitario mide 1: $\hat{u}_A = \vec{A}/|\vec{A}|$. Los unitarios de los ejes son $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ y $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$.
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El producto escalar da un número: $\vec{A}\cdot\vec{B} = AB\cos\theta = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$. Si es 0, los vectores son perpendiculares.
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El trabajo es $W = \vec{F}\cdot\vec{d} = Fd\cos\theta$ (en J).
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El producto vectorial da un vector perpendicular a los dos: módulo $AB\operatorname{sen}\theta$, sentido por la mano derecha, y $\hat{i}\times\hat{j} = \hat{k}$ en orden cíclico.
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Cambiar el orden en $\vec{A}\times\vec{B}$ cambia el signo. El torque $|\vec{\tau}| = rF\operatorname{sen}\theta$ es máximo con la fuerza perpendicular.