Suma de vectores por métodos gráficos
Dos personas jalan un carrito en el mercado Rodríguez: una con 3 N y la otra con 4 N. ¿Cuánta fuerza «total» hacen? Depende de hacia dónde jalan. Con los vectores no basta sumar números: hay que sumar también las direcciones. Al final de la página volverás a este carrito.
Dibujar un vector a escala
Un vector se dibuja como una flecha. Su longitud es proporcional al módulo, su orientación marca la dirección y la punta indica el sentido. Como una fuerza de 20 N no cabe en el cuaderno, usamos una escala: por ejemplo, 1 cm = 5 N.
Para dibujar: longitud en el papel = módulo ÷ valor de la escala. Para leer: módulo = longitud medida × valor de la escala.
Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas perpendiculares: 20 N hacia el este y 15 N hacia el norte. Usa la escala 1 cm = 5 N. a) Calcula la longitud en centímetros con que…
Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas perpendiculares: 20 N hacia el este y 15 N hacia el norte. Usa la escala 1 cm = 5 N.
- a) Calcula la longitud en centímetros con que dibujarías cada vector.
- b) Explica cómo trazarías la resultante con el método del paralelogramo.
- c) Indica cuántos centímetros debería medir la resultante en tu dibujo y qué módulo en newtons representa.
Método del triángulo y del paralelogramo
La suma de vectores se llama resultante $\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}$. Es un solo vector que produce el mismo efecto que los dos juntos.
Método del triángulo (para dos vectores):
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Dibuja $\vec{A}$ a escala.
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Desde la punta de $\vec{A}$ dibuja $\vec{B}$, con su misma dirección y sentido.
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La resultante va del origen de $\vec{A}$ a la punta de $\vec{B}$.
Método del paralelogramo (dos vectores con el mismo origen):
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Dibuja $\vec{A}$ y $\vec{B}$ saliendo del mismo punto.
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Por la punta de cada uno traza una paralela al otro. Se forma un paralelogramo.
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La resultante es la diagonal que sale del origen común.
Los dos métodos dan la misma resultante: el triángulo es la mitad del paralelogramo.
Dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ tienen el mismo origen. Describe, paso a paso, cómo hallarías su resultante con el método del paralelogramo. Indica dónde queda el…
Dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ tienen el mismo origen. Describe, paso a paso, cómo hallarías su resultante con el método del paralelogramo. Indica dónde queda el origen de la resultante y qué representa la diagonal que trazas.
Método del polígono
Con tres o más vectores se usa el método del polígono: se colocan uno a continuación del otro, el origen de cada uno en la punta del anterior, sin cambiar su módulo ni su dirección. La resultante une el origen del primero con la punta del último. Con solo dos vectores, este método es el del triángulo.
Quieres sumar tres vectores de distinto módulo y dirección. Explica en qué consiste el método del polígono y cómo se coloca cada vector respecto del anterior. Indica…
Quieres sumar tres vectores de distinto módulo y dirección. Explica en qué consiste el método del polígono y cómo se coloca cada vector respecto del anterior. Indica cómo se reconoce la resultante en el dibujo. Explica también qué método del triángulo o del polígono se usa cuando se suman solo dos vectores.
Inti camina en el patio de su colegio realizando tres desplazamientos sucesivos: 6 m hacia el este, 8 m hacia el norte y 6 m hacia el oeste. Con la escala 1 cm = 2 m,…
Inti camina en el patio de su colegio realizando tres desplazamientos sucesivos: 6 m hacia el este, 8 m hacia el norte y 6 m hacia el oeste. Con la escala 1 cm = 2 m, dibuja los tres vectores uno a continuación del otro (método del polígono) y traza la resultante. Indica qué módulo y qué dirección tiene el desplazamiento total, y explica por qué la componente este-oeste se cancela.
Casos especiales y ángulos
Según el ángulo entre los vectores, la resultante cambia:
| Situación | Módulo de la resultante | Dirección |
|---|---|---|
| Misma dirección y sentido | $A+B$ (la suma) | la de ambos |
| Misma dirección, sentidos contrarios | $|A-B|$ (la diferencia) | la del mayor |
| Perpendiculares | $\sqrt{A^2+B^2}$ | entre ambos |
Si las fuerzas son iguales (50 N) y forman 120°, el paralelogramo es un rombo, porque tiene los cuatro lados iguales. La diagonal lo divide en dos triángulos equiláteros, así que la resultante mide también 50 N.
Vuelve al principio: con 3 N y 4 N en la misma dirección y sentido la resultante es 3 + 4 = 7 N hacia donde jalan ambas; en sentidos contrarios es 4 − 3 = 1 N hacia donde jala la de 4 N.
Dos personas jalan un carrito de mercado con fuerzas de 3 N y 4 N. Halla el módulo de la fuerza resultante en dos casos: a) ambas jalan en la misma dirección y el mismo…
Dos personas jalan un carrito de mercado con fuerzas de 3 N y 4 N. Halla el módulo de la fuerza resultante en dos casos:
- a) ambas jalan en la misma dirección y el mismo sentido;
- b) jalan en la misma dirección, pero en sentidos contrarios.
Indica además hacia dónde apunta la resultante en cada caso.
Dos personas tiran de una carga con fuerzas de 50 N cada una, y las direcciones de las fuerzas forman entre sí un ángulo de $120^\circ$. Traza con una escala adecuada el…
Dos personas tiran de una carga con fuerzas de 50 N cada una, y las direcciones de las fuerzas forman entre sí un ángulo de $120^\circ$. Traza con una escala adecuada el paralelogramo de fuerzas y su diagonal. Mide la resultante y compara su módulo con el de cada fuerza. Explica por qué la figura que se forma es un rombo y qué relación guardan sus triángulos con el resultado.
Tres fuerzas de 10 N cada una actúan sobre un mismo punto y forman ángulos de $120^\circ$ entre sí. Con el método del polígono, dibuja las tres fuerzas una a…
Tres fuerzas de 10 N cada una actúan sobre un mismo punto y forman ángulos de $120^\circ$ entre sí. Con el método del polígono, dibuja las tres fuerzas una a continuación de la otra. Indica qué figura se obtiene, cuánto vale la resultante y qué significa ese valor para el equilibrio del punto. Explica por qué el resultado no depende del orden en que coloques las fuerzas.
Resta de vectores y producto por un escalar
Resta: $\vec{A}-\vec{B}=\vec{A}+(-\vec{B})$. El vector $-\vec{B}$ tiene el mismo módulo y dirección que $\vec{B}$, pero sentido contrario. Se dibuja $-\vec{B}$ y se suma con cualquiera de los métodos.
Producto por un escalar: $k\vec{A}$ tiene módulo $|k|\cdot A$ y la misma dirección que $\vec{A}$. Si $k>0$ conserva el sentido; si $k<0$ lo invierte. Por ejemplo, $2\vec{A}$ es el doble de largo y $-\tfrac12\vec{A}$ es la mitad, al revés.
Aplicación: el bote en el río Mamoré
Un bote apunta perpendicular a la orilla con 4 m/s respecto del agua, y la corriente va paralela a la orilla a 3 m/s. El río mide 200 m de ancho. Las velocidades se suman como vectores.
El tiempo no depende de la corriente porque esta solo empuja paralelamente a la orilla; no acerca ni aleja al bote de la otra orilla. Solo cambia dónde llega.
Un bote cruza el río Mamoré apuntando perpendicularmente a la orilla con una rapidez de 4 m/s respecto del agua. La corriente arrastra el agua paralelamente a la orilla…
Un bote cruza el río Mamoré apuntando perpendicularmente a la orilla con una rapidez de 4 m/s respecto del agua. La corriente arrastra el agua paralelamente a la orilla a 3 m/s. El río mide 200 m de ancho.
- a) Con una escala adecuada, traza gráficamente la velocidad resultante del bote respecto de la orilla y halla su módulo.
- b) Calcula el tiempo que tarda en cruzar.
- c) Calcula cuánto se desplaza el bote a lo largo de la orilla durante el cruce.
- d) Explica por qué el tiempo de cruce no depende de la velocidad de la corriente.
Resumen
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Los vectores se dibujan a escala: longitud = módulo ÷ escala.
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Triángulo (dos vectores en cadena) y paralelogramo (mismo origen, diagonal) dan la misma resultante.
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Polígono: vectores en cadena; la resultante une el origen del primero con la punta del último. El orden no cambia el resultado.
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Misma dirección: se suman o restan los módulos; perpendiculares: $\sqrt{A^2+B^2}$.
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Resta: se suma el opuesto. Producto por escalar: cambia el módulo y, si es negativo, el sentido.