Descomposición de vectores y ley de senos y cosenos
En una calle empinada de La Paz, un auto detenido no se mueve... hasta que el freno falla. El peso del auto apunta siempre hacia abajo, pero la calle está inclinada. ¿Qué parte de ese peso empuja al auto calle abajo y qué parte lo aprieta contra el piso? Para responder hay que aprender a descomponer un vector. Al final de la página volveremos a esta calle.
Componentes de un vector en el plano
Un vector inclinado se puede reemplazar por dos vectores perpendiculares que, juntos, hacen el mismo efecto: uno horizontal ($V_x$) y otro vertical ($V_y$). Se llaman componentes.
Piensa en Wilmer, que jala un carrito de feria con una cuerda inclinada. La cuerda no jala solo hacia adelante: una parte del jalón va hacia adelante y otra parte levanta un poco el carrito. Esas dos partes son las componentes.
El vector $V$ y sus dos componentes forman un triángulo rectángulo donde $V$ es la hipotenusa. Por eso se usan seno y coseno (si necesitas repasarlos, mira el apartado de Pitágoras y funciones trigonométricas):
$$V_x = V\cos\theta \qquad V_y = V\operatorname{sen}\theta$$Aquí $\theta$ es el ángulo del vector con el eje $x$. La razón: el coseno es cateto adyacente entre hipotenusa, y $V_x$ es el cateto adyacente al ángulo; el seno es cateto opuesto entre hipotenusa, y $V_y$ es el cateto opuesto.
Mueve el ángulo: cuando $\theta$ crece, $V_x$ se achica y $V_y$ crece.
Una fuerza de 100 N forma un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal. Descomponla en sus componentes horizontal $F_x$ y vertical $F_y$. Usa…
Una fuerza de 100 N forma un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal. Descomponla en sus componentes horizontal $F_x$ y vertical $F_y$. Usa $\operatorname{sen}30^\circ = 0{,}5$ y $\cos30^\circ \approx 0{,}87$, y escribe las fórmulas que empleas.
De las componentes al vector: módulo y ángulo
A veces ocurre al revés: conoces $V_x$ y $V_y$ y quieres el vector completo. Como las componentes son los catetos y el vector es la hipotenusa:
La tangente es cateto opuesto entre cateto adyacente, y aquí el opuesto es $V_y$ y el adyacente $V_x$.
Un vector tiene componentes $V_x = 6$ y $V_y = 8$ (en unidades de newton). Calcula su módulo con el teorema de Pitágoras y escribe la expresión de la tangente del ángulo…
Un vector tiene componentes $V_x = 6$ y $V_y = 8$ (en unidades de newton). Calcula su módulo con el teorema de Pitágoras y escribe la expresión de la tangente del ángulo que forma con el eje $x$. Calcula el valor numérico de esa tangente.
Resultante por componentes
Cuando actúan varias fuerzas sobre el mismo punto, el método más seguro es el analítico por componentes:
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Descompón cada vector en $x$ e $y$ (con signo: derecha y arriba son positivos, izquierda y abajo negativos).
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Suma las componentes por separado: $R_x = \sum F_x$ y $R_y = \sum F_y$.
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Recompón: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$ y $\tan\theta = R_y/R_x$.
Funciona porque las componentes en $x$ y en $y$ son independientes: lo que pasa en horizontal no afecta lo que pasa en vertical.
Sobre un anillo actúan dos fuerzas: $F_1 = 50$ N, que forma $37^\circ$ con el eje $x$ positivo, y $F_2 = 30$ N dirigida en el sentido negativo del eje $x$. Usa…
Sobre un anillo actúan dos fuerzas: $F_1 = 50$ N, que forma $37^\circ$ con el eje $x$ positivo, y $F_2 = 30$ N dirigida en el sentido negativo del eje $x$. Usa $\operatorname{sen}37^\circ \approx 0{,}6$ y $\cos37^\circ \approx 0{,}8$.
- a) Calcula las componentes de cada fuerza.
- b) Halla las componentes de la resultante.
- c) Calcula su módulo.
Tres fuerzas actúan sobre un mismo punto: $F_1 = 30$ N hacia el eje $x$ positivo, $F_2 = 40$ N hacia el eje $y$ positivo y $F_3 = 20$ N hacia el eje $x$ negativo. a)…
Tres fuerzas actúan sobre un mismo punto: $F_1 = 30$ N hacia el eje $x$ positivo, $F_2 = 40$ N hacia el eje $y$ positivo y $F_3 = 20$ N hacia el eje $x$ negativo.
- a) Calcula la resultante de $F_1$ y $F_2$ con la ley de cosenos, o con Pitágoras si el ángulo lo permite, y explica por qué ese camino es válido aquí.
- b) Calcula la resultante total por componentes.
- c) Halla su módulo y su ángulo con el eje $x$ usando $\tan^{-1}$ con calculadora.
- d) Indica qué fuerza adicional equilibraría el sistema.
Descomposición en el espacio
El mundo no es plano. Un dron que sube sobre el lago Titicaca se mueve en tres direcciones: este-oeste ($x$), norte-sur ($y$) y arriba-abajo ($z$). Un vector en el espacio tiene tres componentes $V_x$, $V_y$ y $V_z$, y su módulo es la extensión de Pitágoras a tres dimensiones:
Se obtiene aplicando Pitágoras dos veces: primero en el plano $xy$ para la diagonal $\sqrt{V_x^2 + V_y^2}$ y luego con $V_z$.
Ley de cosenos y ley de senos
Hasta ahora los triángulos eran rectángulos. Pero muchas veces dos vectores forman un ángulo cualquiera (no de $90^\circ$), y el triángulo que forman no es rectángulo. Para eso hay dos leyes. En un triángulo de lados $a$, $b$, $c$ y ángulos opuestos $\alpha$, $\beta$, $\gamma$:
La ley de cosenos es el teorema de Pitágoras corregido: si $\gamma = 90^\circ$, $\cos\gamma = 0$ y queda $c^2 = a^2 + b^2$.
Cada lado está frente a su ángulo (por ejemplo $a$ frente a $\alpha$). Ese "frente" es lo que más se confunde.
Suma de dos vectores
Cuando sumas dos vectores $A$ y $B$ que salen del mismo punto con un ángulo $\theta$ entre ellos, el paralelogramo se divide en triángulos. En el triángulo el ángulo opuesto a la resultante es $180^\circ - \theta$, y como $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$, la ley de cosenos queda:
Cambia el ángulo del segundo vector: con $0^\circ$ la resultante es la suma de módulos; con $180^\circ$, la resta.
En un triángulo de lados $a$, $b$ y $c$, el ángulo $\gamma$ es el opuesto al lado $c$. Escribe la ley de cosenos para calcular $c$ y la ley de senos que relaciona los…
En un triángulo de lados $a$, $b$ y $c$, el ángulo $\gamma$ es el opuesto al lado $c$. Escribe la ley de cosenos para calcular $c$ y la ley de senos que relaciona los tres lados con sus ángulos opuestos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$. Indica en qué tipo de datos conviene usar cada una.
Dos fuerzas de 5 N y 8 N actúan sobre un mismo punto y el ángulo entre ellas, medido con ambos vectores saliendo del punto, es de $60^\circ$. Calcula el módulo de la…
Dos fuerzas de 5 N y 8 N actúan sobre un mismo punto y el ángulo entre ellas, medido con ambos vectores saliendo del punto, es de $60^\circ$. Calcula el módulo de la resultante con la ley de cosenos para la suma $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB\cos\theta$. Usa $\cos60^\circ = 0{,}5$ y expresa el resultado con una cifra decimal.
Un topógrafo mide un triángulo en un terreno de Cochabamba. Un lado mide $a = 10$ m y es opuesto a un ángulo de $30^\circ$. Otro ángulo mide $45^\circ$ y se opone al…
Un topógrafo mide un triángulo en un terreno de Cochabamba. Un lado mide $a = 10$ m y es opuesto a un ángulo de $30^\circ$. Otro ángulo mide $45^\circ$ y se opone al lado $b$. Aplica la ley de senos para calcular $b$. Usa $\operatorname{sen}30^\circ = 0{,}5$ y $\operatorname{sen}45^\circ \approx 0{,}71$.
Aplicación: el peso en un plano inclinado
Volvamos a la calle empinada. El peso $P$ del auto apunta hacia abajo, pero conviene descomponerlo en dos ejes girados junto con la calle: uno paralelo a ella y otro perpendicular.
El ángulo entre el peso y la perpendicular a la calle es igual a la inclinación $\alpha$ de la calle (los lados de ambos ángulos son perpendiculares entre sí). Por eso:
Un auto de 200 kg está detenido sobre una calle inclinada $30^\circ$ respecto de la horizontal. Su peso, de 2.000 N, apunta verticalmente hacia abajo. Descompón el peso…
Un auto de 200 kg está detenido sobre una calle inclinada $30^\circ$ respecto de la horizontal. Su peso, de 2.000 N, apunta verticalmente hacia abajo. Descompón el peso en una componente paralela a la calle y otra perpendicular a ella. Usa $\operatorname{sen}30^\circ = 0{,}5$ y $\cos30^\circ \approx 0{,}87$. Luego analiza qué ocurre con ambas componentes si la inclinación aumenta a $60^\circ$ y explica por qué una calle más empinada hace más difícil frenar el auto.
Vuelve al principio: en la calle empinada, el peso del auto se reparte en $P\operatorname{sen}\alpha$ (lo jala calle abajo) y $P\cos\alpha$ (lo aprieta contra el pavimento). Cuanto más empinada es la calle, mayor es la primera y menor la segunda, por eso los frenos y el freno de mano trabajan más.
Resumen
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Componentes: $V_x = V\cos\theta$ y $V_y = V\operatorname{sen}\theta$, con $\theta$ medido desde el eje $x$.
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Recomponer: $V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}$ y $\tan\theta = V_y/V_x$ (cuida el cuadrante según los signos).
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Resultante por componentes: suma las $x$ por un lado y las $y$ por otro; luego aplica Pitágoras. En equilibrio, $R = 0$.
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En el espacio: $V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2}$.
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Ley de cosenos: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$; para la suma de vectores, $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB\cos\theta$. Ley de senos: $a/\operatorname{sen}\alpha = b/\operatorname{sen}\beta = c/\operatorname{sen}\gamma$.
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Plano inclinado: $P_\parallel = P\operatorname{sen}\alpha$ y $P_\perp = P\cos\alpha$.