Perímetros, áreas y volúmenes
La cancha de tu unidad educativa necesita una nueva línea de pintura alrededor, un terreno de los valles necesita malla para cercarlo y el tanque de agua de tu casa tiene que llenarse. Son tres preguntas distintas: ¿cuánto mide el borde?, ¿cuánta superficie cubre?, ¿cuánto espacio ocupa por dentro? Al final de la página sabrás responder cada una y no las confundirás.
Perímetro: la medida del borde
El perímetro es la longitud del contorno de una figura plana. Es como caminar alrededor de la cancha y contar los metros: se suman todos los lados. Se mide en unidades de longitud: m, cm, km.
Por qué: el perímetro es solo la suma de los lados; en el rectángulo hay dos lados iguales de cada tipo, por eso se escribe $2b + 2h$.
La cancha de la unidad educativa de Mateo tiene forma rectangular, con 28 m de largo y 15 m de ancho. Calcula el perímetro de la cancha e indica la unidad en que se…
La cancha de la unidad educativa de Mateo tiene forma rectangular, con 28 m de largo y 15 m de ancho. Calcula el perímetro de la cancha e indica la unidad en que se expresa el resultado.
Área de figuras planas
El área es la cantidad de superficie que cubre una figura. Imagina cubrir el piso con baldosas cuadradas de 1 m de lado: el área es cuántas baldosas entran. Por eso se mide en unidades cuadradas: m², cm², km².
Por qué: un triángulo es la mitad de un rectángulo de la misma base y altura. La altura es perpendicular a la base, no es el lado inclinado.
Una plaza de Cochabamba tiene una pileta circular de $3{,}0$ m de radio. Calcula el área que ocupa la pileta. Usa $\pi \approx 3{,}14$ y escribe el resultado con su…
Una plaza de Cochabamba tiene una pileta circular de $3{,}0$ m de radio. Calcula el área que ocupa la pileta. Usa $\pi \approx 3{,}14$ y escribe el resultado con su unidad.
Valentina quiere cercar con malla un terreno rectangular de $12$ m por $8$ m en los valles de Cochabamba, y luego sembrar papas en toda su superficie. Calcula la…
Valentina quiere cercar con malla un terreno rectangular de $12$ m por $8$ m en los valles de Cochabamba, y luego sembrar papas en toda su superficie. Calcula la longitud de malla necesaria y el área sembrada. Si la malla cuesta Bs 9 el metro, calcula también el costo total de la malla.
Unidades de área y combinación de figuras
Un metro cuadrado es un cuadrado de 1 m por 1 m. Como 1 m = 100 cm, ese cuadrado mide $100 \cdot 100 = 10.000$ cm². Por eso las unidades de área cambian con el cuadrado del factor de longitud.
Cuando una superficie tiene un hueco (una ventana, una puerta), se calcula el área total y se resta el área del hueco.
Una pared de $4$ m de largo y $2{,}5$ m de alto de una casa en El Alto lleva una ventana rectangular de $1{,}5$ m por $1$ m. Calcula el área de la pared que se debe…
Una pared de $4$ m de largo y $2{,}5$ m de alto de una casa en El Alto lleva una ventana rectangular de $1{,}5$ m por $1$ m. Calcula el área de la pared que se debe pintar, sin contar la ventana, y expresa el resultado en $\text{m}^2$ y en $\text{cm}^2$.
Volumen de cuerpos geométricos
El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo. Se mide en unidades cúbicas (m³, cm³): cuántos cubitos de 1 unidad de arista caben dentro.
La idea general: en un prisma o un cilindro, volumen = área de la base × altura.
Por qué: se apilan capas iguales a la base hasta llegar a la altura. El cono y la pirámide ocupan un tercio del prisma o cilindro con la misma base y altura.
Un tanque de agua con forma de cubo tiene $2$ m de arista. Calcula su volumen en metros cúbicos y escribe la fórmula que usaste.
Un tanque de agua con forma de cubo tiene $2$ m de arista. Calcula su volumen en metros cúbicos y escribe la fórmula que usaste.
Superficie lateral y capacidad en litros
La superficie lateral de un cilindro es el rectángulo que se obtiene al desenrollar su pared, sin las tapas: su ancho es la circunferencia de la base y su alto es $h$.
Para pasar volumen a capacidad (litros) se usan estas equivalencias:
Un recipiente cilíndrico del laboratorio tiene $10$ cm de radio y $25$ cm de altura. Calcula su volumen en $\text{cm}^3$ (usa $\pi \approx 3{,}14$) y exprésalo también…
Un recipiente cilíndrico del laboratorio tiene $10$ cm de radio y $25$ cm de altura. Calcula su volumen en $\text{cm}^3$ (usa $\pi \approx 3{,}14$) y exprésalo también en litros, sabiendo que $1\ \text{L} = 1.000\ \text{cm}^3$.
Un tanque cilíndrico de $1{,}2$ m de diámetro y $2$ m de altura se llena con agua hasta los tres cuartos de su altura. Usa $\pi \approx 3{,}14$. a) Calcula el volumen de…
Un tanque cilíndrico de $1{,}2$ m de diámetro y $2$ m de altura se llena con agua hasta los tres cuartos de su altura. Usa $\pi \approx 3{,}14$.
- a) Calcula el volumen de agua en $\text{m}^3$ y en litros ($1\ \text{m}^3 = 1.000\ \text{L}$).
- b) Si una familia consume $150$ L por día, ¿para cuántos días alcanza esa agua?
- c) Calcula el área de la superficie lateral del tanque, sin contar las tapas.
Misma unidad antes de calcular
El error más común en problemas de volumen es mezclar metros con centímetros. Si multiplicas 6 m × 0,4 m × 20 cm, el resultado no tiene sentido. Pasa todas las medidas a la misma unidad antes de calcular, y recuerda que los volúmenes cambian con el cubo del factor: $1\ \text{m}^3 = 100 \cdot 100 \cdot 100 = 1.000.000\ \text{cm}^3$.
Para saber cuántas piezas pequeñas caben en un cuerpo grande, divide volumen entre volumen (sin contar huecos).
Un muro de adobe tiene forma de prisma rectangular de $6$ m de largo, $0{,}4$ m de espesor y $2{,}5$ m de alto. Cada adobe mide $40$ cm × $20$ cm × $10$ cm. Ignora el…
Un muro de adobe tiene forma de prisma rectangular de $6$ m de largo, $0{,}4$ m de espesor y $2{,}5$ m de alto. Cada adobe mide $40$ cm × $20$ cm × $10$ cm. Ignora el espacio del barro entre adobes.
- a) Calcula el volumen del muro y el volumen de un adobe, ambos en $\text{m}^3$.
- b) Estima cuántos adobes se necesitan para construirlo.
- c) Explica por qué conviene pasar todas las medidas a una misma unidad antes de calcular.
Resumen
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Perímetro: longitud del contorno, en m. Rectángulo $2b + 2h$; círculo $2\pi r$.
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Área: superficie cubierta, en m². Rectángulo $b \cdot h$; triángulo $\frac{b h}{2}$; círculo $\pi r^2$. $1\ \text{m}^2 = 10.000\ \text{cm}^2$.
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Volumen: espacio ocupado, en m³. Cubo $a^3$; cilindro $\pi r^2 h$. $1\ \text{m}^3 = 1.000\ \text{L}$ y $1\ \text{L} = 1.000\ \text{cm}^3$.
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Cilindro: área lateral $2\pi r h$; usa siempre el radio.
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Pasa todo a la misma unidad antes de calcular.
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Vuelve al principio: la línea de la cancha es perímetro, la malla y la siembra se calculan con perímetro y área, y el tanque se llena según su volumen.