Teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas
Mi Teleférico sube de La Paz a El Alto por un cable inclinado. No puedes estirar una cinta métrica a lo largo del cable, pero sí puedes medir cuánto sube y cuánto avanza en horizontal. ¿Cómo se calcula entonces la longitud del cable, o su inclinación? Con un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras y tres razones llamadas seno, coseno y tangente. En el siguiente tema las usarás para trabajar con vectores.
El triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de $90^\circ$ (ángulo recto). Sus lados tienen nombre propio:
-
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Siempre es el lado más largo.
-
Los catetos son los dos lados que forman el ángulo recto.
Los dos ángulos que no son rectos son agudos (menores de $90^\circ$) y suman $90^\circ$.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
¿Por qué funciona? Si dibujas un cuadrado sobre cada lado, el área del cuadrado grande (el de la hipotenusa) es exactamente la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños. Puedes verlo moviendo los catetos aquí:
Despejando, también puedes hallar un cateto: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.
En un triángulo rectángulo los catetos miden 6 cm y 8 cm. Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa. Escribe primero la fórmula que usas y señala cuál…
En un triángulo rectángulo los catetos miden 6 cm y 8 cm. Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa. Escribe primero la fórmula que usas y señala cuál es la hipotenusa en el triángulo.
Una escalera de 13 m de longitud se apoya en una pared de modo que su base queda a 5 m de la pared. Calcula la altura que alcanza la escalera sobre la pared usando el…
Una escalera de 13 m de longitud se apoya en una pared de modo que su base queda a 5 m de la pared. Calcula la altura que alcanza la escalera sobre la pared usando el teorema de Pitágoras. Indica qué lado del triángulo representa cada medida.
Seno, coseno y tangente
Dos rampas pueden tener distinto tamaño y la misma inclinación. Lo que se mantiene igual en todas ellas es la proporción entre sus lados. Esas proporciones dependen solo del ángulo y se llaman razones trigonométricas.
Fíjate en un ángulo agudo $\alpha$. Respecto a él, un cateto es el opuesto (está enfrente) y el otro es el adyacente (está pegado al ángulo).
Como la hipotenusa es el lado mayor, el seno y el coseno de un ángulo agudo siempre están entre 0 y 1. La tangente puede ser cualquier número positivo: cuanto más empinado el ángulo, mayor es.
Define el seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mediante los lados cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa. Luego aplícalo a…
Define el seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mediante los lados cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa. Luego aplícalo a un triángulo de lados 3, 4 y 5, tomando el ángulo $\alpha$ opuesto al cateto de longitud 3, y calcula $\operatorname{sen}\alpha$, $\cos\alpha$ y $\tan\alpha$.
Valores que conviene conocer
Hay ángulos cuyas razones se usan tanto que conviene recordarlas. Para otros ángulos usas la calculadora (en modo grados) o un dato del enunciado.
| Ángulo | $\operatorname{sen}$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| $30^\circ$ | $0{,}5$ | $\approx 0{,}87$ | $\approx 0{,}58$ |
| $37^\circ$ | $\approx 0{,}60$ | $\approx 0{,}80$ | $\approx 0{,}75$ |
| $45^\circ$ | $\approx 0{,}71$ | $\approx 0{,}71$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\approx 0{,}87$ | $0{,}5$ | $\approx 1{,}73$ |
Observa que a $45^\circ$ los dos catetos son iguales, por eso $\tan 45^\circ = 1$. Y que $\tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt 3}$ y $\tan 60^\circ = \sqrt 3$.
Calcular alturas y distancias
La idea es siempre la misma: dibuja el triángulo rectángulo, marca lo que sabes y lo que buscas, y elige la razón que relaciona esos lados.
Para hallar un ángulo cuando conoces dos lados, calcula la razón y busca el ángulo con la calculadora (teclas $\operatorname{sen}^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$). Muchas veces basta comparar la tangente con 1: si $\tan\theta > 1$, entonces $\theta > 45^\circ$.
Una rampa de 10 m de longitud forma un ángulo de $30^\circ$ con el suelo. Usa $\operatorname{sen}30^\circ = 0{,}5$ y $\cos30^\circ \approx 0{,}87$ para calcular: a) la…
Una rampa de 10 m de longitud forma un ángulo de $30^\circ$ con el suelo. Usa $\operatorname{sen}30^\circ = 0{,}5$ y $\cos30^\circ \approx 0{,}87$ para calcular:
- a) la altura que alcanza la rampa;
- b) la distancia horizontal que cubre.
Comprueba tus resultados con el teorema de Pitágoras.
En El Alto, un poste proyecta una sombra de 8 m de largo sobre el suelo horizontal cuando los rayos del sol forman con el suelo un ángulo de elevación de $37^\circ$. Usa…
En El Alto, un poste proyecta una sombra de 8 m de largo sobre el suelo horizontal cuando los rayos del sol forman con el suelo un ángulo de elevación de $37^\circ$. Usa $\tan37^\circ \approx 0{,}75$ para calcular la altura del poste. Luego calcula la longitud del rayo de luz desde la punta del poste hasta el extremo de la sombra.
Un tramo del cable de un teleférico sube 300 m de altura mientras avanza 400 m en horizontal. Calcula la longitud del cable en ese tramo. Luego halla…
Un tramo del cable de un teleférico sube 300 m de altura mientras avanza 400 m en horizontal. Calcula la longitud del cable en ese tramo. Luego halla $\operatorname{sen}\theta$, $\cos\theta$ y $\tan\theta$, donde $\theta$ es el ángulo que forma el cable con la horizontal. Indica si $\theta$ es mayor o menor que $45^\circ$ y justifica con la tangente.
Problemas con dos triángulos
A veces el dato que falta lo da otro triángulo. Entonces planteas una ecuación por triángulo y resuelves el sistema.
Una escalera de 5 m está apoyada en una pared con su base a 3 m de ella. a) Calcula la altura que alcanza y el coseno del ángulo que forma con el suelo. b) Se aleja la…
Una escalera de 5 m está apoyada en una pared con su base a 3 m de ella.
- a) Calcula la altura que alcanza y el coseno del ángulo que forma con el suelo.
- b) Se aleja la base 1 m más de la pared, sin cambiar la longitud de la escalera. Calcula la nueva altura y el nuevo coseno del ángulo.
- c) Compara ambas situaciones: ¿cuánto baja la parte superior de la escalera y cómo cambia el ángulo con el suelo? Argumenta si es más estable la primera o la segunda posición.
Desde un punto $A$ del suelo, la cima de un cerro se ve con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Desde un punto $B$, ubicado 50 m más cerca de la base del cerro y en la…
Desde un punto $A$ del suelo, la cima de un cerro se ve con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Desde un punto $B$, ubicado 50 m más cerca de la base del cerro y en la misma línea, se ve con un ángulo de $45^\circ$. Considera $\tan30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ con $\sqrt{3}\approx 1{,}73$.
- a) Plantea dos ecuaciones para la altura $h$ del cerro y la distancia $d$ de $B$ a la base.
- b) Resuelve el sistema y halla $d$ y $h$.
- c) Explica por qué la altura resulta igual a la distancia $d$ en el punto $B$.
Resumen
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En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y los catetos son los otros dos.
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Pitágoras: $c^2 = a^2 + b^2$. Para un cateto, resta: $a^2 = c^2 - b^2$.
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$\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{\text{op}}{\text{hip}}$, $\cos\alpha = \dfrac{\text{ady}}{\text{hip}}$, $\tan\alpha = \dfrac{\text{op}}{\text{ady}}$ (SOH–CAH–TOA).
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Valores útiles: $30^\circ$ ($0{,}5$; $0{,}87$; $0{,}58$), $45^\circ$ ($0{,}71$; $0{,}71$; $1$), $60^\circ$ ($0{,}87$; $0{,}5$; $1{,}73$).
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Para un problema: dibuja el triángulo, identifica lados conocidos y buscados, elige la razón y despeja.
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Vuelve al principio: la longitud del cable del teleférico se halla con Pitágoras, y su inclinación con la tangente.