Ejercicios: Vectores unitarios, producto escalar y vectorial

El vector $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ representa un desplazamiento en metros. Calcula su módulo y halla el vector unitario $\hat{u}_A$ en su misma dirección y sentido. Comprueba que el módulo de $\hat{u}_A$ es 1.

Dados los vectores $\vec{A} = (2, 3)$ y $\vec{B} = (4, -1)$, calcula el producto escalar $\vec{A}\cdot\vec{B}$. Indica si el resultado es un número o un vector y explica por qué.

Escribe el resultado de los productos vectoriales $\hat{i}\times\hat{j}$, $\hat{j}\times\hat{k}$ y $\hat{k}\times\hat{i}$. Luego calcula el módulo de $\vec{A}\times\vec{B}$ si $|\vec{A}| = 3$, $|\vec{B}| = 4$ y el ángulo entre ellos es de $30^\circ$. Usa $\operatorname{sen}30^\circ = 0{,}5$.

Sean $\vec{A} = (2, -1, 3)$ y $\vec{B} = (1, 4, 2)$.

1. a) Calcula $\vec{A}\cdot\vec{B}$ e indica si los vectores son perpendiculares. Justifica.
2. b) Halla el valor de $k$ para que $\vec{C} = (k, 2, 0)$ sea perpendicular a $\vec{A}$.

Una comerciante jala un carrito de mercado con una fuerza de 50 N que forma un ángulo de $60^\circ$ con el suelo. El carrito se desplaza 10 m en línea recta sobre el piso horizontal. Calcula el trabajo realizado con $W = \vec{F}\cdot\vec{d}$, usando $\cos60^\circ = 0{,}5$. Después indica cuánto valdría el trabajo si la fuerza fuera perpendicular al desplazamiento y explica el resultado.

Dados $\vec{A} = (1, 2, 0)$ y $\vec{B} = (0, 3, 4)$, calcula el producto vectorial $\vec{A}\times\vec{B}$ usando el determinante o la regla de componentes. Comprueba que el vector obtenido es perpendicular a $\vec{A}$ calculando el producto escalar entre ambos.

Para aflojar una tuerca se usa una llave de 0,4 m de longitud. El momento de la fuerza (torque) cumple $|\vec{\tau}| = r\,F\,\operatorname{sen}\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre la llave y la fuerza.

1. a) Calcula el torque si se aplican 100 N formando $30^\circ$ con la llave.
2. b) Calcula el torque con la misma fuerza aplicada perpendicularmente a la llave.
3. c) Calcula qué fuerza haría falta con $\theta = 30^\circ$ para igualar el torque del inciso b.
4. d) Argumenta cómo conviene aplicar la fuerza para aflojar con el menor esfuerzo.

Sean $\vec{A} = (1, 2, 2)$ y $\vec{B} = (2, -2, 1)$.

1. a) Demuestra que son perpendiculares.
2. b) Calcula $|\vec{A}|$ y $|\vec{B}|$.
3. c) Halla $\vec{A}\times\vec{B}$ y calcula su módulo.
4. d) Verifica ese módulo con $|\vec{A}||\vec{B}|\operatorname{sen}\theta$ e indica el valor de $\theta$.
5. e) Escribe el vector unitario en la dirección de $\vec{A}\times\vec{B}$ y explica por qué es perpendicular al plano que forman $\vec{A}$ y $\vec{B}$.