Ejercicios: Descomposición de vectores y ley de senos y cosenos

Una fuerza de 100 N forma un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal. Descomponla en sus componentes horizontal $F_x$ y vertical $F_y$. Usa $\operatorname{sen}30^\circ = 0{,}5$ y $\cos30^\circ \approx 0{,}87$, y escribe las fórmulas que empleas.

En un triángulo de lados $a$, $b$ y $c$, el ángulo $\gamma$ es el opuesto al lado $c$. Escribe la ley de cosenos para calcular $c$ y la ley de senos que relaciona los tres lados con sus ángulos opuestos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$. Indica en qué tipo de datos conviene usar cada una.

Un vector tiene componentes $V_x = 6$ y $V_y = 8$ (en unidades de newton). Calcula su módulo con el teorema de Pitágoras y escribe la expresión de la tangente del ángulo que forma con el eje $x$. Calcula el valor numérico de esa tangente.

Dos fuerzas de 5 N y 8 N actúan sobre un mismo punto y el ángulo entre ellas, medido con ambos vectores saliendo del punto, es de $60^\circ$. Calcula el módulo de la resultante con la ley de cosenos para la suma $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB\cos\theta$. Usa $\cos60^\circ = 0{,}5$ y expresa el resultado con una cifra decimal.

Un topógrafo mide un triángulo en un terreno de Cochabamba. Un lado mide $a = 10$ m y es opuesto a un ángulo de $30^\circ$. Otro ángulo mide $45^\circ$ y se opone al lado $b$. Aplica la ley de senos para calcular $b$. Usa $\operatorname{sen}30^\circ = 0{,}5$ y $\operatorname{sen}45^\circ \approx 0{,}71$.

Sobre un anillo actúan dos fuerzas: $F_1 = 50$ N, que forma $37^\circ$ con el eje $x$ positivo, y $F_2 = 30$ N dirigida en el sentido negativo del eje $x$. Usa $\operatorname{sen}37^\circ \approx 0{,}6$ y $\cos37^\circ \approx 0{,}8$.

1. a) Calcula las componentes de cada fuerza.
2. b) Halla las componentes de la resultante.
3. c) Calcula su módulo.

Un auto de 200 kg está detenido sobre una calle inclinada $30^\circ$ respecto de la horizontal. Su peso, de 2.000 N, apunta verticalmente hacia abajo. Descompón el peso en una componente paralela a la calle y otra perpendicular a ella. Usa $\operatorname{sen}30^\circ = 0{,}5$ y $\cos30^\circ \approx 0{,}87$. Luego analiza qué ocurre con ambas componentes si la inclinación aumenta a $60^\circ$ y explica por qué una calle más empinada hace más difícil frenar el auto.

Tres fuerzas actúan sobre un mismo punto: $F_1 = 30$ N hacia el eje $x$ positivo, $F_2 = 40$ N hacia el eje $y$ positivo y $F_3 = 20$ N hacia el eje $x$ negativo.

1. a) Calcula la resultante de $F_1$ y $F_2$ con la ley de cosenos, o con Pitágoras si el ángulo lo permite, y explica por qué ese camino es válido aquí.
2. b) Calcula la resultante total por componentes.
3. c) Halla su módulo y su ángulo con el eje $x$ usando $\tan^{-1}$ con calculadora.
4. d) Indica qué fuerza adicional equilibraría el sistema.