Ejercicios: Teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas

En un triángulo rectángulo los catetos miden 6 cm y 8 cm. Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa. Escribe primero la fórmula que usas y señala cuál es la hipotenusa en el triángulo.

Define el seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mediante los lados cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa. Luego aplícalo a un triángulo de lados 3, 4 y 5, tomando el ángulo $\alpha$ opuesto al cateto de longitud 3, y calcula $\operatorname{sen}\alpha$, $\cos\alpha$ y $\tan\alpha$.

Una escalera de 13 m de longitud se apoya en una pared de modo que su base queda a 5 m de la pared. Calcula la altura que alcanza la escalera sobre la pared usando el teorema de Pitágoras. Indica qué lado del triángulo representa cada medida.

Una rampa de 10 m de longitud forma un ángulo de $30^\circ$ con el suelo. Usa $\operatorname{sen}30^\circ = 0{,}5$ y $\cos30^\circ \approx 0{,}87$ para calcular:

1. a) la altura que alcanza la rampa;
2. b) la distancia horizontal que cubre.

Comprueba tus resultados con el teorema de Pitágoras.

En El Alto, un poste proyecta una sombra de 8 m de largo sobre el suelo horizontal cuando los rayos del sol forman con el suelo un ángulo de elevación de $37^\circ$. Usa $\tan37^\circ \approx 0{,}75$ para calcular la altura del poste. Luego calcula la longitud del rayo de luz desde la punta del poste hasta el extremo de la sombra.

Un tramo del cable de un teleférico sube 300 m de altura mientras avanza 400 m en horizontal. Calcula la longitud del cable en ese tramo. Luego halla $\operatorname{sen}\theta$, $\cos\theta$ y $\tan\theta$, donde $\theta$ es el ángulo que forma el cable con la horizontal. Indica si $\theta$ es mayor o menor que $45^\circ$ y justifica con la tangente.

Una escalera de 5 m está apoyada en una pared con su base a 3 m de ella.

1. a) Calcula la altura que alcanza y el coseno del ángulo que forma con el suelo.
2. b) Se aleja la base 1 m más de la pared, sin cambiar la longitud de la escalera. Calcula la nueva altura y el nuevo coseno del ángulo.
3. c) Compara ambas situaciones: ¿cuánto baja la parte superior de la escalera y cómo cambia el ángulo con el suelo? Argumenta si es más estable la primera o la segunda posición.

Desde un punto $A$ del suelo, la cima de un cerro se ve con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Desde un punto $B$, ubicado 50 m más cerca de la base del cerro y en la misma línea, se ve con un ángulo de $45^\circ$. Considera $\tan30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ con $\sqrt{3}\approx 1{,}73$.

1. a) Plantea dos ecuaciones para la altura $h$ del cerro y la distancia $d$ de $B$ a la base.
2. b) Resuelve el sistema y halla $d$ y $h$.
3. c) Explica por qué la altura resulta igual a la distancia $d$ en el punto $B$.