La energía en el movimiento oscilatorio

Una masa oscila horizontalmente unida a un resorte, sin rozamiento, entre las posiciones $x = -A$ y $x = +A$. La figura muestra el oscilador con esas posiciones marcadas.

1. a) ¿En qué posición o posiciones es máxima la energía potencial elástica?
2. b) ¿En qué posición es máxima la energía cinética?
3. c) ¿En qué posiciones la energía cinética es nula? Justificá tus respuestas con las fórmulas $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ y $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.

Las poleas y el arco de un arco de tiro deportivo se comportan en conjunto como un resorte de constante equivalente $k = 300\ \text{N/m}$. Al tensarlo, la cuerda se desplaza $x = 0,1\ \text{m}$. Calculá la energía potencial elástica almacenada, $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$.

El resorte del lanzador de un pinball tiene una constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. La figura muestra cómo crece la energía potencial elástica con la compresión.

1. a) Calculá la energía potencial elástica almacenada cuando se comprime $0,1\ \text{m}$ y cuando se comprime $0,2\ \text{m}$.
2. b) ¿Qué energía adicional hay que aportar para pasar de una compresión a la otra?
3. c) ¿Por qué no vale decir que «el doble de compresión es el doble de energía»? Razoná con la fórmula.

La energía mecánica de un oscilador masa-resorte es $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, donde $A$ es la amplitud. En el laboratorio, un oscilador tiene $k = 200\ \text{N/m}$ y oscila con amplitud $A = 0,05\ \text{m}$. Calculá su energía mecánica.

El vibrador de un teléfono celular almacena una energía mecánica de $2\ \text{J}$ mientras oscila.

1. a) ¿Cuánto vale su energía cinética máxima? ¿En qué posición se alcanza?
2. b) ¿Cuánto vale su energía potencial elástica máxima? ¿En qué posiciones se alcanza?
3. c) ¿Qué relación hay entre esos dos valores y la energía mecánica? Justificalo.

Un carro de $m = 0,5\ \text{kg}$ unido a un resorte pasa por la posición de equilibrio con una velocidad de $2\ \text{m/s}$.

1. a) Calculá su energía cinética en ese punto.
2. b) ¿Cuánto vale en ese punto su energía potencial elástica? ¿Y su energía mecánica? Justificalo.

La membrana de un altavoz se puede modelar como un oscilador masa-resorte de masa $m = 0,4\ \text{kg}$ y constante elástica efectiva $k = 250\ \text{N/m}$, que vibra con amplitud $A = 0,08\ \text{m}$.

1. a) Calculá la energía mecánica de la vibración.
2. b) Toda esa energía es cinética al pasar por el equilibrio: calculá la velocidad máxima de la membrana.
3. c) Comprobá que coincide con el valor que da la expresión $v_{max} = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$.

El martillo de un timbre eléctrico oscila con amplitud $A = 5\ \text{cm}$ impulsado por un resorte de constante $k = 800\ \text{N/m}$; su masa es $m = 0,1\ \text{kg}$.

1. a) Expresá la amplitud en metros y calculá la energía mecánica del oscilador.
2. b) Calculá la energía cinética máxima del martillo.
3. c) Calculá la velocidad máxima del martillo.

Un oscilador de $m = 1\ \text{kg}$ y $k = 100\ \text{N/m}$ oscila primero con amplitud $A = 0,1\ \text{m}$ y después con amplitud $A' = 0,2\ \text{m}$.

1. a) Calculá la energía mecánica en cada caso y su cociente $\frac{E_m'}{E_m}$.
2. b) Calculá la velocidad máxima en cada caso y su cociente $\frac{v_{max}'}{v_{max}}$.
3. c) Generalizá el resultado: si la amplitud se multiplica por un factor $n$, ¿por qué factor se multiplican la energía mecánica y la velocidad máxima? Justificalo con las fórmulas.

Un oscilador masa-resorte tiene una energía mecánica constante $E_m$.

1. a) Describí cómo varía la energía potencial elástica $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ con la posición: ¿qué forma tiene su gráfica frente a $x$ entre $-A$ y $+A$?
2. b) La energía cinética en cada punto es $E_c = E_m - E_p$. Describí cómo varía $E_c$ con la posición.
3. c) ¿Qué representa el punto donde se cruzan las gráficas de $E_c$ y $E_p$? Dibujá en tu cuaderno las tres gráficas ($E_p$, $E_c$ y $E_m$) frente a la posición.

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un carro de $m = 0,5\ \text{kg}$ oscila sobre una mesa sin rozamiento unido a un resorte de $k = 400\ \text{N/m}$, con amplitud $A = 0,1\ \text{m}$. La figura muestra cómo se reparte la energía del oscilador en función de la posición.

1. a) Calculá la energía mecánica del oscilador, $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calculá la energía potencial elástica cuando la elongación es $x = 0,06\ \text{m}$.
3. c) Calculá la energía cinética en ese mismo punto y, a partir de ella, la velocidad del carro.

Un oscilador masa-resorte oscila con amplitud $A = 0,1\ \text{m}$. Se quiere encontrar la posición donde la energía cinética y la energía potencial elástica son iguales.

1. a) Planteá la condición $E_c = E_p$ teniendo en cuenta que $E_c + E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, y demostrá que en ese punto $E_p = \frac{1}{4} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Despejá la elongación y calculá su valor numérico.
3. c) Comprobá que el resultado es menor que la amplitud: ¿es razonable?

Un oscilador masa-resorte tiene $k = 100\ \text{N/m}$ y oscila con amplitud $A = 0,1\ \text{m}$.

1. a) Calculá la energía mecánica y la energía potencial elástica en los puntos $x = 0$, $x = 0,05\ \text{m}$ y $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calculá la energía cinética en esos mismos tres puntos.
3. c) Con esos valores, dibujá en tu cuaderno los gráficos de $E_p(x)$, $E_c(x)$ y $E_m(x)$ entre $-A$ y $+A$ y describilos: forma de cada curva, puntos de corte con los ejes y punto de cruce entre $E_p$ y $E_c$.
4. d) Calculá la posición exacta donde los gráficos de $E_p$ y $E_c$ se cruzan.

Podés hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un oscilador de $m = 0,2\ \text{kg}$ y $k = 50\ \text{N/m}$ oscila con amplitud $A = 0,2\ \text{m}$.

1. a) Calculá su energía mecánica.
2. b) Calculá la energía potencial, la energía cinética y la velocidad cuando la elongación es $x = 0,16\ \text{m}$.
3. c) Demostrá, usando $E_c = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (A^2 - x^2)$, que la velocidad es la mitad de la máxima cuando $x = A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, y calculá esa posición.

En un oscilador armónico se mide que, cuando la elongación vale $x = \frac{A}{2}$, la energía cinética es de $6\ \text{J}$.

1. a) Demostrá que en ese punto la energía potencial elástica vale la cuarta parte de la energía mecánica, es decir, $E_p = \frac{E_m}{4}$.
2. b) A partir de la medida, calculá la energía mecánica del oscilador.
3. c) Calculá la energía cinética al pasar por el equilibrio y la energía potencial en los extremos.

En una cuna de Newton (el péndulo de bolas de acero de los escritorios de oficina), una bola de $m = 0,3\ \text{kg}$ se eleva $h = 0,2\ \text{m}$ sobre su punto más bajo antes de soltarla (tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra la bola elevada, a punto de soltarse.

1. a) Calculá su energía potencial gravitatoria respecto al punto más bajo, $E_p = m \cdot g \cdot h$.
2. b) ¿En qué se transformará esa energía al soltar la bola? ¿Cuánto valdrá la energía cinética al pasar por el punto más bajo?

Una gimnasta salta sobre una cama elástica y oscila verticalmente, sin perder contacto con la lona, entre un punto más alto y un punto más bajo.

1. a) ¿En qué punto de la oscilación es máxima su energía potencial gravitatoria?
2. b) ¿En qué punto es máxima la energía potencial elástica almacenada por la lona?
3. c) ¿Dónde es máxima su energía cinética? Justificá las tres respuestas por el intercambio de energías.

La bola de acero de una máquina de demolición cuelga de un cable de $l = 2\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo cuando el cable forma un ángulo de $60^\circ$ con la vertical (tomá $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). La altura que desciende respecto al punto más bajo es $h = l \cdot (1 - \cos 60^\circ)$. La situación se muestra en la figura.

1. a) Calculá esa altura $h$.
2. b) Aplicá la conservación de la energía, $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$, y calculá la velocidad de la bola al pasar por el punto más bajo.
3. c) ¿Depende esa velocidad de la masa de la bola? Justificalo.

El tambor de una lavadora, durante el centrifugado, vibra con una energía mecánica de $1,44\ \text{J}$. Los amortiguadores que lo sujetan se comportan como un resorte de constante efectiva $k = 200\ \text{N/m}$.

1. a) Despejá la amplitud de la fórmula $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calculá la amplitud de la vibración, en metros, y expresala también en centímetros.

Una persona se balancea en una liana de $l = 2\ \text{m}$ y pasa por el punto más bajo a $3\ \text{m/s}$ (tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra el balanceo.

1. a) Calculá la altura máxima que alcanza sobre el punto más bajo, aplicando $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h$.
2. b) La altura y el ángulo máximo $\theta$ con la vertical cumplen $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$. Calculá el valor de $\cos\theta$ y deducí el ángulo máximo que alcanza la liana.

Un oscilador real con rozamiento pierde el $10\ \%$ de su energía mecánica en cada ciclo. Parte con una energía inicial $E_0 = 2\ \text{J}$. La figura muestra cómo decrece la amplitud de la oscilación con el tiempo.

1. a) Calculá la energía mecánica que le queda después de $5$ ciclos.
2. b) Teniendo en cuenta que $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, es decir, que la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, calculá en qué factor se ha reducido la amplitud tras esos $5$ ciclos.
3. c) ¿En qué se ha transformado la energía perdida? Explicá por qué el período de la oscilación, sin embargo, apenas cambia aunque la amplitud disminuya (pista: ¿de qué magnitudes depende $T$?).

Un péndulo de demostración de laboratorio tiene una longitud $l = 1\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo formando $60^\circ$ con la vertical (tomá $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Recordá que la altura sobre el punto más bajo es $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$. La figura muestra el péndulo en las tres posiciones consideradas.

1. a) Calculá la velocidad máxima que alcanza al pasar por el punto más bajo.
2. b) Calculá su velocidad cuando el hilo forma $30^\circ$ con la vertical, aplicando la conservación de la energía entre los puntos de $60^\circ$ y $30^\circ$.
3. c) Compará las dos velocidades: ¿por qué la velocidad a $30^\circ$ es más de la mitad de la máxima aunque el ángulo sea justo la mitad?

Una esfera de acero de $m = 2\ \text{kg}$ cuelga de una cuerda de $l = 2,5\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo formando $30^\circ$ con la vertical (tomá $g = 9,8\ \text{m/s}^2$; recordá $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$).

1. a) Calculá la energía mecánica del péndulo respecto al punto más bajo de la trayectoria.
2. b) Calculá la velocidad máxima al pasar por el punto más bajo.
3. c) Si la esfera tuviera el doble de masa y se soltara desde el mismo ángulo, ¿cómo cambiarían la energía mecánica y la velocidad máxima? Justificalo con las fórmulas y explicá por qué una de ellas no cambia.

Un juguete lanza verticalmente una bola de $m = 0,05\ \text{kg}$ mediante un resorte de constante $k = 500\ \text{N/m}$ que se comprime $x = 0,1\ \text{m}$ antes de soltarse (tomá $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El lanzamiento se muestra en la figura.

1. a) Calculá la energía potencial elástica almacenada en el resorte comprimido.
2. b) Suponiendo que toda esa energía se convierte en energía cinética de la bola, calculá su velocidad de salida.
3. c) Calculá la altura máxima que alcanzará la bola, aplicando de nuevo la conservación de la energía.
4. d) El juguete real alcanza menos altura de la calculada. Citá al menos dos causas energéticas que lo expliquen.