Media, mediana y moda
Una pequeña empresa nueva de tenis presume: "¡El pago promedio aquí es de $\$3{,}000$ al mes!". Pero seis de los siete empleados ganan $\$2{,}000$ al mes, y el dueño se lleva $\$9{,}000$. ¿Es $\$3{,}000$ un sueldo "típico"? La media, la mediana y la moda no siempre cuentan la misma historia, y al terminar esta página sabrás en cuál confiar.
Las tres medidas de centro
Un solo número que describe el valor "central" o "típico" de un conjunto de datos es una medida de centro. Hay tres comunes.
Por qué la mediana usa el centro: la mitad de los datos está en ella o por debajo, y la otra mitad en ella o por encima. Si $N$ es impar, la mediana está en la posición $\frac{N+1}{2}$ de la lista ordenada.
Cambia los datos de abajo y observa cómo reaccionan las tres medidas.
Si $N$ es impar es aún más fácil. Para $3, 5, 5, 6, 8$ el valor central es $5$, así que la mediana es $5$.
En un experimento de botánica, se ha medido el número de hojas de $8$ plantas de una misma especie tras dos semanas de crecimiento. Los resultados obtenidos son:…
En un experimento de botánica, se ha medido el número de hojas de $8$ plantas de una misma especie tras dos semanas de crecimiento. Los resultados obtenidos son: $12, 15, 14, 12, 16, 12, 18, 13$.
Calcule la media aritmética, la mediana y la moda de estos datos.
Dadas las siguientes dos series de datos referentes al número de libros leídos en un año por dos grupos de jóvenes: Serie A: $2, 4, 5, 7, 9$ Serie B: $1, 3, 4, 6, 8, 10$…
Dadas las siguientes dos series de datos referentes al número de libros leídos en un año por dos grupos de jóvenes:
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Serie A: $2, 4, 5, 7, 9$
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Serie B: $1, 3, 4, 6, 8, 10$
Halle la mediana para cada una de las series y explique la diferencia en el procedimiento de cálculo al tener un número par o impar de datos.
Tablas de frecuencias y gráficas de barras
Cuando un valor se repite muchas veces, es más corto escribir cuántas veces ocurre. La frecuencia $f$ de un valor es el número de veces que aparece. Una gráfica de barras muestra la misma información: la altura de cada barra es la frecuencia.
Este es el número de mascotas que tienen $25$ estudiantes:
| Mascotas $x$ | Frecuencia $f$ | $x \cdot f$ |
|---|---|---|
| 0 | 5 | 0 |
| 1 | 9 | 9 |
| 2 | 6 | 12 |
| 3 | 3 | 9 |
| 4 | 2 | 8 |
| Total | $N = 25$ | $38$ |
Datos categóricos. Si los datos son categorías (colores, ingredientes de pizza, marcas), no se pueden sumar ni ordenar. Solo la moda tiene sentido. Si $9$ estudiantes eligen pepperoni, $7$ queso y $4$ vegetales, la moda es pepperoni. Una "media de ingredientes" no tiene significado.
Las edades de los participantes en un taller de robótica se resumen en la siguiente tabla de frecuencias: $14$ años: $5$ personas $15$ años: $8$ personas $16$ años: $4$…
Las edades de los participantes en un taller de robótica se resumen en la siguiente tabla de frecuencias:
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$14$ años: $5$ personas
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$15$ años: $8$ personas
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$16$ años: $4$ personas
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$17$ años: $3$ personas
Determine la edad media, la edad mediana y la moda.
El siguiente diagrama de barras muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de una clase. A partir del gráfico, construya la tabla de frecuencias y calcule la…
El siguiente diagrama de barras muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de una clase.
A partir del gráfico, construya la tabla de frecuencias y calcule la moda y la media aritmética.
Se ha preguntado a $20$ personas por su color favorito para el diseño de la interfaz de una nueva aplicación móvil. Los resultados son: Azul: $8$ personas Verde: $5$…
Se ha preguntado a $20$ personas por su color favorito para el diseño de la interfaz de una nueva aplicación móvil. Los resultados son:
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Azul: $8$ personas
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Verde: $5$ personas
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Rojo: $4$ personas
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Amarillo: $3$ personas
Indique cuál es la moda. ¿Tiene sentido calcular la media o la mediana en este caso? Razone su respuesta.
Valores atípicos: cuando la media engaña
La media usa todos los datos, así que un valor extremo, llamado valor atípico (outlier), la arrastra hacia él. La mediana solo depende del orden, así que casi no se mueve.
Volvamos a la empresa. Aquí están los datos de pago en una recta numérica.
En una prueba de control de calidad, se mide el tiempo en segundos que tarda una computadora en arrancar. Se obtienen los siguientes tiempos: $12, 11, 13, 12, 14, 85$.…
En una prueba de control de calidad, se mide el tiempo en segundos que tarda una computadora en arrancar. Se obtienen los siguientes tiempos: $12, 11, 13, 12, 14, 85$.
Calcule la media y la mediana. ¿Cuál de las dos medidas representa mejor la tendencia central de estos datos? Justifique su respuesta.
En una pequeña empresa tecnológica, los salarios mensuales de sus $7$ empleados son: $1200 \text{ \$}, 1250 \text{ \$}, 1300 \text{ \$}, 1200 \text{ \…
En una pequeña empresa tecnológica, los salarios mensuales de sus $7$ empleados son:
$1200 \text{ \$}, 1250 \text{ \$}, 1300 \text{ \$}, 1200 \text{ \$}, 1400 \text{ \$}, 1350 \text{ \$}, 8500 \text{ \$}$.
Calcule la media y la mediana. Redacte un breve texto explicando a los futuros empleados cuál de las dos medidas representa de forma más realista el sueldo habitual que van a cobrar y por qué.
De vuelta al inicio: $\$3{,}000$ no es un sueldo típico. Seis de los siete empleados ganan $\$2{,}000$. Los $\$9{,}000$ del dueño son un valor atípico que sube la media, mientras que la mediana, $\$2{,}000$, describe lo que normalmente ganará un empleado nuevo.
Trabajar hacia atrás desde la media
La fórmula de la media se puede invertir. Multiplica ambos lados por $N$:
Esto convierte los problemas de "hallar el valor que falta" en ecuaciones de un paso. Aquí las cinco calificaciones están dibujadas como distancias a su media de $85$: las diferencias por encima y por debajo de la media se cancelan.
La misma idea sirve para hallar una frecuencia desconocida. Supón que en una fiesta las personas comieron $1$ rebanada ($4$ personas), $2$ rebanadas ($6$ personas), $3$ rebanadas ($f$ personas) o $4$ rebanadas ($5$ personas), y la media fue de $2.5$ rebanadas.
Un estudiante de 10.º grado ha realizado cinco exámenes de matemáticas a lo largo del trimestre. Sus notas en los cuatro primeros son: $6, 7, 5$ y $8$. Si quiere que su…
Un estudiante de 10.º grado ha realizado cinco exámenes de matemáticas a lo largo del trimestre. Sus notas en los cuatro primeros son: $6, 7, 5$ y $8$.
Si quiere que su nota media exacta sea un $7$, ¿qué calificación debe obtener en el quinto examen?
Al calcular la media de las calificaciones de $25$ alumnos, el profesor obtuvo un $6,4$. Posteriormente, revisando los exámenes, se dio cuenta de que había anotado por…
Al calcular la media de las calificaciones de $25$ alumnos, el profesor obtuvo un $6,4$. Posteriormente, revisando los exámenes, se dio cuenta de que había anotado por error un $3$ a un alumno cuya nota real era un $8$.
Calcule la nueva media correcta sin necesidad de conocer todas las notas individuales.
En una zapatería se ha registrado el número de pares vendidos según la talla durante un fin de semana. La talla media vendida ha sido $39,5$. Conociendo los siguientes…
En una zapatería se ha registrado el número de pares vendidos según la talla durante un fin de semana. La talla media vendida ha sido $39,5$. Conociendo los siguientes datos, determine el número de pares vendidos de la talla $40$ (representado por $f$).
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Talla $38$: $4$ pares
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Talla $39$: $8$ pares
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Talla $40$: $f$ pares
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Talla $41$: $5$ pares
Media ponderada
No todos los valores cuentan igual. En muchas clases, el examen final vale más que la tarea. Entonces cada valor se multiplica por su peso antes de sumar.
Las medias ponderadas también responden preguntas de "¿qué necesito?", usando una desigualdad (también llamada inecuación).
La calificación final de la asignatura de Física se calcula mediante una media ponderada. Las prácticas de laboratorio valen un $20\%$, los trabajos de investigación un…
La calificación final de la asignatura de Física se calcula mediante una media ponderada. Las prácticas de laboratorio valen un $20\%$, los trabajos de investigación un $30\%$ y el examen final un $50\%$.
Si una alumna tiene un $8$ en las prácticas, un $6$ en los trabajos y un $7,5$ en el examen final, calcule su nota media final.
En la evaluación de una asignatura, la nota final se calcula con tres componentes: Examen parcial (peso $30\%$) Trabajo de investigación (peso $20\%$) Examen final (peso…
En la evaluación de una asignatura, la nota final se calcula con tres componentes:
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Examen parcial (peso $30\%$)
-
Trabajo de investigación (peso $20\%$)
-
Examen final (peso $50\%$)
Un estudiante tiene un $4,5$ en el parcial y un $6$ en el trabajo. La nota del examen final debe ser un número entero o con un solo decimal exacto. ¿Cuál es la nota mínima que debe sacar en el examen final para que su media ponderada sea al menos de $5,0$? Si la nota máxima es $10$, ¿es posible que alcance una media de $8,0$?
Combinar grupos y mezclas
También puedes usar una media ponderada cuando los pesos son los tamaños de los grupos. No puedes simplemente promediar las medias de dos grupos. Un grupo más grande debe contar más.
Cuando uno de los pesos es la incógnita, escribe una ecuación.
La misma idea funciona para las mezclas. Si una mezcla tiene una fracción $x$ de un ingrediente y $1 - x$ de otro, el valor medio de la mezcla es una media ponderada con esas fracciones como pesos.
Una empresa de logística tiene dos plantas industriales. En la planta de Houston trabajan $45$ operarios con un salario medio de $1800 \text{ \$}…
Una empresa de logística tiene dos plantas industriales. En la planta de Houston trabajan $45$ operarios con un salario medio de $1800 \text{ \$}$. En la planta de Chicago trabajan $30$ operarios con un salario medio de $2100 \text{ \$}$.
Calcule el salario medio de todos los operarios de la empresa en su conjunto.
Un inversor compra acciones de una compañía durante tres meses consecutivos. El primer mes compra $n$ acciones a un precio medio de $12 \text{ \$}…
Un inversor compra acciones de una compañía durante tres meses consecutivos. El primer mes compra $n$ acciones a un precio medio de $12 \text{ \$}$. El segundo mes compra el doble de acciones que el primer mes a un precio medio de $15 \text{ \$}$. El tercer mes compra $50$ acciones a $10 \text{ \$}$.
Si el precio medio global de todas las acciones compradas en los tres meses es de $13 \text{ \$}$, ¿cuántas acciones compró en el primer mes?
Una aleación metálica está compuesta por dos metales $A$ y $B$. La densidad del metal $A$ es de $3 \text{ g/cm}^3$ y la del metal $B$ es de $8 \text{ g/cm}^3$. Si la…
Una aleación metálica está compuesta por dos metales $A$ y $B$. La densidad del metal $A$ es de $3 \text{ g/cm}^3$ y la del metal $B$ es de $8 \text{ g/cm}^3$.
Si la densidad media de la aleación resultante es de $6 \text{ g/cm}^3$, ¿qué porcentaje del volumen total de la aleación corresponde al metal $B$? (Tenga en cuenta que la densidad media de una aleación se comporta como la media ponderada de las densidades de sus componentes respecto a sus fracciones de volumen).
Datos agrupados
A veces los datos vienen en intervalos (clases), como en un histograma, y los valores individuales se pierden. Hacemos como si todos los valores de una clase fueran iguales al punto medio de la clase. El intervalo $[a, b)$ incluye a $a$ pero no a $b$, y su punto medio es $\frac{a + b}{2}$.
Estos son los minutos diarios de streaming de $30$ estudiantes.
Cuando faltan dos frecuencias, usa dos ecuaciones: una para el total de datos y otra para la media.
En un estudio sobre el consumo de agua en una comunidad, se ha registrado el gasto mensual en metros cúbicos ($m^3$) de varias viviendas, agrupado en los siguientes…
En un estudio sobre el consumo de agua en una comunidad, se ha registrado el gasto mensual en metros cúbicos ($m^3$) de varias viviendas, agrupado en los siguientes intervalos:
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$[0, 10)$: $12$ viviendas
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$[10, 20)$: $25$ viviendas
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$[20, 30)$: $18$ viviendas
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$[30, 40)$: $5$ viviendas
Calcule el consumo medio de agua e indique cuál es la clase modal.
El siguiente histograma representa el tiempo (en minutos) que dedican al día un grupo de personas a hacer deporte. Calcule el tiempo medio dedicado al deporte a partir…
El siguiente histograma representa el tiempo (en minutos) que dedican al día un grupo de personas a hacer deporte.
Calcule el tiempo medio dedicado al deporte a partir de las marcas de clase extraídas del gráfico.
En un centro médico se ha registrado el nivel de colesterol de $50$ pacientes. La media aritmética de la distribución es $194 \text{ mg/dL}$. En la tabla se han borrado…
En un centro médico se ha registrado el nivel de colesterol de $50$ pacientes. La media aritmética de la distribución es $194 \text{ mg/dL}$. En la tabla se han borrado accidentalmente dos frecuencias, $f_1$ y $f_2$.
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$[160, 180)$: $10$ pacientes
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$[180, 200)$: $f_1$ pacientes
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$[200, 220)$: $f_2$ pacientes
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$[220, 240)$: $8$ pacientes
Plantee y resuelva un sistema de ecuaciones para encontrar las frecuencias absolutas $f_1$ y $f_2$.
Mediana de datos agrupados y gráfica acumulada
Con datos agrupados no puedes señalar el valor central, pero sí puedes hallar la clase que lo contiene y luego estimar. Haz una columna de frecuencias acumuladas (totales parciales) y busca la primera clase cuyo total llegue a $\frac{N}{2}$.
Una gráfica de frecuencias acumuladas (también llamada ojiva) marca los totales parciales sobre los límites de las clases y une los puntos con segmentos. Para hallar la mediana, empieza en la altura $\frac{N}{2}$ del eje vertical, ve horizontalmente hasta la gráfica y luego baja hasta el eje horizontal. Es exactamente la interpolación de arriba.
La pendiente de cada segmento es $\frac{f}{w}$, así que el segmento más inclinado pertenece a la clase con más valores. Esa es la clase modal (cuando las clases tienen anchos iguales). Aquí el segmento más inclinado es $[20, 30)$, que tiene más trabajadores.
Se ha medido la masa en libras de un grupo de $40$ paquetes en una oficina de correos, obteniendo la siguiente distribución: $[0, 5)$: $6$ paquetes $[5, 10)$: $14$…
Se ha medido la masa en libras de un grupo de $40$ paquetes en una oficina de correos, obteniendo la siguiente distribución:
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$[0, 5)$: $6$ paquetes
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$[5, 10)$: $14$ paquetes
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$[10, 15)$: $12$ paquetes
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$[15, 20)$: $8$ paquetes
Encuentre el intervalo donde se sitúa la mediana y estime su valor exacto utilizando la fórmula de interpolación lineal.
El siguiente polígono de frecuencias acumuladas (ojiva) muestra la distribución de las marcas obtenidas por un grupo de $100$ atletas en la prueba de salto de longitud.…
El siguiente polígono de frecuencias acumuladas (ojiva) muestra la distribución de las marcas obtenidas por un grupo de $100$ atletas en la prueba de salto de longitud.
A partir del gráfico, estime el valor de la mediana. Si los datos se agruparan en una tabla de frecuencias con los intervalos del eje horizontal, ¿cuál sería la clase modal? Justifique sus respuestas basándose en las pendientes del gráfico.
¿Qué le pasa a la media cuando cambian los datos?
Supón que un maestro suma $5$ puntos a cada calificación, o que una tienda sube todos los precios $10\%$. ¿Cómo cambian las medidas de centro?
En palabras: sumar $b$ a todo desplaza el centro $b$ unidades. Multiplicar todo por $a$ multiplica el centro por $a$.
La media de las alturas de un equipo de baloncesto de $10$ jugadores es de $192 \text{ cm}$. Si todos los jugadores deciden usar un modelo de tenis especiales que…
La media de las alturas de un equipo de baloncesto de $10$ jugadores es de $192 \text{ cm}$.
Si todos los jugadores deciden usar un modelo de tenis especiales que aumentan su altura en $4 \text{ cm}$, ¿cuál será la nueva altura media del equipo? ¿Cambiará la moda si existía una altura más frecuente?
Sea una variable estadística $X$ con media $\bar{x} = 15$. Se define una nueva variable $Y$ mediante la transformación lineal $y_i = 3x_i - 4$. Demuestre…
Sea una variable estadística $X$ con media $\bar{x} = 15$. Se define una nueva variable $Y$ mediante la transformación lineal $y_i = 3x_i - 4$.
Demuestre algebraicamente, aplicando las propiedades del sumatorio y de la media aritmética, que la media de la nueva variable es $\bar{y} = 3\bar{x} - 4$, y calcule su valor numérico.
Todo junto: problemas de razonamiento
Los problemas más difíciles te dan pistas sobre la media, la mediana, la moda y el rango, o te dicen cómo cambia la media al agregar un valor. El plan siempre es el mismo: convertir cada pista en una ecuación o una desigualdad.
Pista → matemáticas
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Media $= m$ para $N$ valores: la suma es $m \cdot N$.
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Mediana de cinco valores ordenados $a \le b \le c \le d \le e$: es $c$.
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Rango: $e - a$.
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Al agregar un valor nuevo $D$: nueva suma $=$ suma anterior $+\, D$ y nueva cantidad $= N + 1$.
La media de un conjunto de $n$ datos es $\bar{x}$. Si añadimos un nuevo dato de valor $D$, la nueva media aumenta en $2$ unidades. Si en lugar de $D$, añadimos un dato…
La media de un conjunto de $n$ datos es $\bar{x}$. Si añadimos un nuevo dato de valor $D$, la nueva media aumenta en $2$ unidades. Si en lugar de $D$, añadimos un dato de valor $D - 15$, la nueva media disminuye en $1$ unidad respecto a la media original $\bar{x}$.
Plantee las ecuaciones correspondientes y calcule el número de datos original $n$.
Se tiene un conjunto de cinco números enteros positivos ordenados de menor a mayor: $a, b, c, d, e$. Se sabe que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones: La…
Se tiene un conjunto de cinco números enteros positivos ordenados de menor a mayor: $a, b, c, d, e$.
Se sabe que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:
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La moda es $4$.
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La mediana es $5$.
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La media aritmética es $6$.
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El rango (diferencia entre el mayor y el menor) es $7$.
Determine el valor exacto de los cinco números, razonando paso a paso su respuesta.